向量内积、外积和混合积

向量内积、外积和混合积 1 点乘 1.1 定义 点乘，也叫向量的内积、数量积。两个向量的点乘结果是一个标量，不妨假定向量为，则点乘大小为： 令，则。 1.2 坐标示 设=（x1,y1,z1）,=（x2,y2,z2），则： 1.3 几何意义 点乘的几何意义是：是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度。 1.4 应用 （1）计算两个矢量的夹角，取值范围为。这里有两个特殊值，当点乘为零时，则表示两个向量垂直；点乘取最大值（等于两个向量模的乘积）时，表示两个向量平行；（非零向量） （2）如果两个矢量均为单位矢量（即模为1），则点乘结果表示夹角余弦； （3）如果其中一个矢量是单位矢量，则点乘结果表示非单位矢量在单位矢量方向上的投影； （4）从视点到多边形任意一个顶点的矢量与多边形的法向量的点积的符号（>0）多边形在视点背面看不到应    删除。（<0）多边形在视点的正面能看到。 （5）求平面外一点到平面的距离。从该点向平面上的点画一条矢量再与平面的法向量点乘求的绝对值。 （6）方向角与方向余弦。方向角定义为非零向量与坐标轴正向的夹角。设于x, y, z轴的夹角分别为，则： 如果是单位向量，则。 2 叉乘 2.1 定义 叉乘，也叫向量的外积、向量积。两个向量叉乘的结果仍为一向量，不妨设为（x3,y3,z3）。向量c的方向与a,b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。大小为： 令，则，指的是到的夹角，具有方向性。 2.2 坐标表示 =（x3,y3,z3）=（y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2），矩阵表示为 2.3 几何意义 大小为以向量和为相邻两边的平行四边形所围的面积。 2.4 应用 （1）已知三角形三个顶点坐标，可以用叉乘计算三角形面积； （2）物理学中，已知力和力臂，则可用叉乘求力矩； （3）判断两向量夹角的正负，即方向性。 （4）判断两个向量的关系。叉乘为0时，平行；最值时，垂直。（非零向量） 3 混合积 3.1 定义 向量即混合积，记作，结果是标量。混合积正负的判断方法：混合积 (a,b,c) 的符号是正还是负取决于 ∠ (a×b ， c ) 是锐角还是钝角，即 a×b 与 c 是指向 a ， b 所在平面的同侧还是异侧，这相当于 a ， b ， c 三个向量依序构成右手系还是左手系。 3.2 坐标表示 3.3 几何意义 混合积的绝对值表示以为棱的平行六面体的体积。 3.4 应用 （1）求平行六面体或四面体（六分之一六面体体积）的体积； （2）判断三个向量是否共面。共面的充要条件是； （3）判断四点是否共面。四点共面的充要条件是 不妨设一点坐标