基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析

基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析 基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度 分析 浙江理工大学,第24卷,第4期,2007年7月 JournalofZhejiangSci—TechUniversity Vo1.24.No.4.Ju1.2007 文章编号:1673—3851(2007)04—0433—06 基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析 李秦川,杨元兆,陈巧红,胡旭东 (浙江理工大学浙江省现代纺织装备技术重点实验室,杭州310018) 摘要:少自由度并联机构自由度的减少本质上是因为受到分支施加的结构约束的合成作用决定.运用螺旋 理论描述单个分支约束及所有分支约束的合成,并从几何上直接分析约束的线性相关性,判别出机构自由度的性 质,同时给出公共约束,冗余约束存在的几何条件和相应的判别计算公式,在此基础上得到普遍适用于少自由度并 联机构自由度计算的修正Grtibler—Kutzbach计算公式和一种等价的完全依靠约束分析的自由度计算公式.笔者提 出的方法不仅适用于对称少自由度并联机构,也适用于非对称少自由度并联机构. 关键词:少自由度并联机构;螺旋理论;自由度 中图分类号:TH112文献标识码:A 0引言 自由度数为3,4,5的少自由度空间并联机构是国际并联机器人学术界和工业界的研究热点.自由度分 析属于机构学中的基本科学问题.然而,少自由度并联机构的自由度计算长期以来没有有效的方法和公式, 一 般机构自由度计算使用的Griabler—Kutzbach公式很难被正确应用于少自由度并 联机器人上.正如文献 [1]中指出:很难为闭环运动链定义一个通用的自由度计算公式. 自由度分析这一基本理论问题的难以解决,制约了现代空间机构学的发展,例如机型综合以及实际应 用.各国研究者或以复杂的运动学分析,或经过繁琐的概念推理来导出少自由度机构的自由度性质,或靠经 验直观来推断机构的自由度数和性质l_2叫]. 少自由度并联机构动平台自由度的减少本质上是因为受到了分支施加的结构约束的影响,因此通过约 束分析即机构的受力分析来讨论机构的自由度应该是最直接有效的方法.然而传统的受力分析难以描绘复 杂的空间受力状态,从几何的角度看,少自由度并联机构中具有多个结构约束,可以力偶,力线矢或者力螺旋 的形式存在,彼此呈空间分布的关系.同时其位置和方向随机构的运动而变化,如何在连续运动中去描述和 分析仍未得到解决. 本文引入螺旋理论描述单个分支约束及所有分支约束的合成,并从几何上直接分析约束的线性相关性, 判别出机构自由度的性质,同时给出公共约束,冗余约束存在的几何条件和相应的判别计算公式,在此基础 上得到普遍适用于少自由度并联机构自由度计算的修正Grt~bler—Kutzbach计算公式和一种等价的完全依 靠约束分析的自由度计算公式.笔者提出的方法不仅适用于对称少自由度并联机构,也适用于非对称少自 由度并联机构. 1基本概念 在螺旋理论中[5],单位螺旋$一(;,x)=(Z72;abC)可用来示一个转动副或一个力线矢,式 收稿日期:2006一l2—28 基金项目:浙江省教育厅资助项目(20040402/0410124一F) 作者简介:李秦JiI(1975一),男,陕西西乡人,副教授,主要从事并联机器人理论和技术研究. 434浙江理工大学2007年第24卷 中s是螺旋轴线方向的单位矢量,r是螺旋轴线上任意一点的位置矢量,式中z,,表示转动副轴线或力线 矢轴线的3个方向余弦.一个移动副或一个力偶矢量可以表示为$一(0;s):(O00;zyn). 当两个螺旋$一(iS.)和$一(;)的互易积为零时,即: $.$一s?so,+s,?so:0 称$和$互为反螺旋或互逆.当$表示一个运动螺旋,而$表示一个力螺旋时,上式的意义为力螺旋$ 对运动螺旋$所表示的运动做功为零,即不约束该运动. 自由度的减少是因为受到了约束.在对称少自由度并联机构中,每个分支施加给动平台一个或几个结构 约束,所有分支结构约束的合成就决定了动平台失去的自由度.可以运用螺旋理论分别在分支和机构两级来 描述这种结构约束. 当分支运动链中所有的运动副都用单位运动螺旋表示,则这些单位运动螺旋构成分支运动螺旋系,和分 支运动螺旋系中所有螺旋相逆的全部线性无关的反螺旋构成分支约束螺旋系,描述分支运动链对动平台施 加的结构约束.所有分支约束螺旋的合成构成机构约束螺旋系,对应于机构被约束的自由度.如以单位运动 螺旋表示机构的自由度,则这些螺旋构成机构运动螺旋系.注意到螺旋系的相关性已被证明与坐标系的选择 无关啪. 由于运动螺旋和力螺旋是瞬时量,在进行约束分析时就需要判别机构自由度是否 为瞬时.只需通过辨 别机构约束螺旋系在动平台发生可行的任意连续运动后是否改变即可.如机构约束螺旋系不改变,则机构自 由度不为瞬时.一般通过对机构各分支中运动副轴线间的几何关系进行简单的分析和观察就可得到结果. 在本文中,用$表示第i个分支中第J个运动副对应的单位运动螺旋;$;表示第i个分支施加给动平 台的第.个约束螺旋;$r表示机构约束螺旋系中第个约束螺旋. 2少自由度并联机构的阶和冗余约束 在1997年,黄真等?用螺旋理论重新定义公共约束,给出阶的计算方法,解释了用Grtibler-Kutzbach公 式计算自由度的基本原理. 公共约束可以定义为:当机构所有的运动副均以运动螺旋$表示,构成一个螺旋系A,若存在一个与 螺旋系A中每一个螺旋$均相逆的反螺旋$,这就是该机构的一个公共约束.所有线性无关的反螺旋$ 构成约束螺旋系B,则机构的公共约束数为: = Rank(B)一Rank({$l$.$=0,$?A})(1) 式(1)中Rank(B)表示求螺旋系B的最大线性无关数或维数. 则机构的阶数为: d=6一(2) 在对称的少自由度并联机构中,各分支对动平台施加的约束种类和数目都相同.根据前面的定义,这里 可以得到公共约束存在的几何条件:如果每个分支对动平台施加的同类约束在空间满足共轴的几何条件,则 构成一个螺旋1系,成为机构的一个公共约束. 考虑一个具有P个相同结构的分支,且自由度数为M(M<6)的对称并联机构,每个分支向动平台施加 g个结构约束,则机构约束螺旋系由P?g个约束螺旋构成,且在非奇异位形下机构约束螺旋系的维数必须是 6一M. 除了构成公共约束的结构约束,剩余的z个约束构成一个螺旋k(是?z)系,则冗余约束数可由式(3) 给出: =1一是(3) 显然,施加于动平台上所有分支约束数P?g应该等于生成公共约束所需的约束数?P和剩余的约束数 Z的总和,即: P?q—?P+Z(4) 把式(3)代人式(4),消去l后可得: P?q—?声4-4-k(5) 第4期李秦川等:基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析435 根据式(5)可得冗余约束数为: 一乡?g—?乡一是(6) 3基于约束分析的自由度计算公式 机构约束螺旋系决定机构在瞬时被约束的自由度.如果机构约束螺旋系在机构发生任意可行连续运动 后不变,则该机构被约束的自由度不会改变,从而可知该机构的自由度. 考虑了冗余约束的一般Grtibler—Kutzbach公式为: g M—d(n—g一1)+?厂!+(7)f=1 这样式(1),(2),(6)和式(7)共同构成了修正的Grtibler—Kutzbach公式,普遍适用于少自由度并联机构的自 由度计算. 注意到机构被约束的自由度数为机构约束螺旋系的维数6一M,每一个公共约束约束掉机构的一个自 由度,而除了公共约束后剩余的z个约束中线性无关的忌个约束约束掉机构的忌个自由度,因此有式(8) 成立: 忌一6一M—(8) 把式(8)代入式(6),消去是整理后可得: M一6一乡?g+(乡一1)+(9) 式(9)即为基于约束分析的少自由度并联机构自由度计算公式.下面证明式(7)和修正的Grtibler—Kutzbach 公式是等价的. 为便于分析,把多自由度的运动副或铰链看作是单自由度运动副的组合.考虑一个自由度数为M(M< 6)的对称并联机构,每个分支中含有W个单自由度运动副,则分支约束数为: g一6一W(10) 机构中运动副的总数g可由下式(11)给出: g一(11) 显然,g同时也是机构中所有运动副具有的自由度数的总和,即: g ?厂f—g(12)i=1 分支中的杆件数,2可由式(13)给出: ,2一p(w一1)+2(13) 把式(2),式(11),式(12),式(13)代入式(7)整理后有: M一6—6p—++pw+(14) 把式(1O)代入式(9)整理后同样可得: M一6—6p—++pw+(15) 可见式(14)和式(15)是相同的,因此可证明式(7)和修正的Grtibler-Kutzbach公式是等价的. 基于螺旋理论的少自由度并联机构的自由度分析的具体步骤可归纳如下: 步骤1在初始位形下,写出分支运动螺旋系,对其求反螺旋可得分支约束螺旋系. 步骤2分析分支约束在不同几何条件下的线性相关性,确定机构的公共约束,冗余 约束,并得到机 构约束螺旋系. 步骤3检查机构约束螺旋系在动平台发生连续运动后是否改变,如不改变,则机构 不是瞬时机构,由 机构约束螺旋系可知动平台被约束的自由度. 步骤4用式(7)或式(9)验证结果. 4非对称并联机构自由度分析实例 图1所示为一种三分支的非对称并联机构,其中M表示动平台,B表示定平 台;(RRR)表示三个轴线交 浙江理工大学2007年第24卷 于一点的转动副,称为3R球面子链;(RR)表示两个轴线交于 一 点的转动副,称为2R球面子链;RRR表示三个轴线相互平行 的转动副;RR表示两个轴线相互平行的转动副. 在分支1中,第一个移动副$平行于定平台;第二个转动 副的轴线$垂直于定平台;第三,四,五个转动副轴线$., $,$.交于一点,构成一个3R球面子链. 在分支2中,前三个转动副轴线$,$和$.均垂直于 定平台,后两个转动副轴线$,$交于一点,构成一个2R球 面子链. 在分支3中,第一个移动副$.平行定平台;第二,三转动 副轴线$..和$..垂直于定平台;最后两个转动副轴线$., $..交于一点,构成一个2R球面子链.图1PR(RRR)一垦垦(RR)一P里(RR)并联机构 称分支中2R或3R球面子链的中心点为分支中心点,在装 配时保证三个分支中心点重合为一点,称为机构中心点.选取机构中心点为参考系 坐标O—XYZ原点,参考坐 标系Z轴垂直于定平台向上. 分支1的运动螺旋系为: $l1一(000;l110) $12一(001;a2b20) $13一(Z333;00O)(16) $l4一(1444;000) $15一(1555;000) 对式(16)求反螺旋可得分支1的约束螺旋系为: $】一(001;000)(17) 式(17)中$表示一个过机构中心点且垂直于定平台的约束力. 分支2的运动螺旋系为: $21一(001;口1b1O) $22一(001;a2b20) $23一(001;a3b30)(18) $24一(Z444;000) $25一(1555;000) 对式(18)求反螺旋可得分支2的约束螺旋系和分支1的约束螺旋系相同,即$一$. 分支3的运动螺旋系为: $3l一(000;lllO) $32一(001;a2b20) $33一(001;a3b30)(19) $34一(Z444;00O) $35一(15m55;000) 对式(19)求反螺旋可得分支3的约束螺旋系和分支1的约束螺旋系相同,即$;一$i. 显然尽管三个分支运动链结构不同,它们对动平台施加的结构约束相同.三个分支约束力线矢满足共轴 的几何条件,构成一个公共约束,即:1.且此公共约束即为机构约束螺旋系,约束动平台沿Z轴方向的移 动.由式(2)可知,d一5. 容易看出分支运动链中各运动副轴线间的几何关系在动平台发生连续运动时并不改变,因此各分支运 动螺旋系和约束螺旋系也不改变.由于三个分支中心点重合为机构中心点,从而保 证三个分支约束力线矢始 第4期李秦川等:基于螺旋理论的少自由度并联机构自由度分析437 终共轴,即机构约束螺旋系在动平台发生连续运动后不变.因此该机构不是瞬时机 构,具有三个转动自由度 和两个XY平面内的移动自由度. 由于三个分支约束力线矢构成了公共约束,没有剩余的约束,即有l一0,志:0.由式 (6)可得: 72—3?1—1?3—0—0(20) 由式(9)可得: M一6—3?1+1(3—1)+0—5(21) 5对称并联机构自由度分析实例 图2所示为4-RPRRR并联机构,其中第一个转动副轴线$和第 三个转动副轴线$平行于定平台;第二个移动副$垂直于$和 $最后两个转动副轴线$和$都垂直于动平台.初始位形下,动 平台平行于定平台.s 取第i个分支的第一个转动副的中心点为第i个分支坐标系的原 点,z轴和第一个转动副轴线重合,轴垂直于定平台向上.则第i个 分支运动螺旋系为: $1一(100;000) $f2一(000;0m2,z2) $一(100;0b3f3)(22) $4一(001;a4b40) $5一(001;a5b50) 对式(23)求反螺旋可得第i个分支约束螺旋系为: 图24-RPR并联机构 R $一(000;010).(23) 式(23)表明一个RPRRR分支对动平台施加一个方向的约束力偶.全部四个分支一共施加四个力偶,都平 行于定平台,满足共面的几何条件.在此几何条件下,这四个力偶线性相关,等价于两个力偶,即: $1一(000;100) $2一(000;010) 式(25)中两个力偶构成机构约束螺旋系,约束动平台在XY平面内的两个转动自由度. 动平台在发生任意可行连续运动后仍平行于定平台,分支运动链中各运动副轴线间的几何关系在动平 台发生连续运动时并不改变,因此各分支运动螺旋系和约束螺旋系也不改变.即机构约束螺旋系在动平台发 生连续运动后不变.因此该机构不是瞬时机构,具有三个移动自由度和一个绕Z轴的转动自由度. 由于没有共轴的约束,该机构没有公共约束,即一0.四个共面的约束力偶线性相关,构成一个螺旋2 系,即志一2.由式(6)可得: 一4?1—0?4—2—2(25) 由式(9)可得: M一6—4?1+0(3—1)+2—4.(26) 6结论 a)在约束分析这个统一的框架下,公共约束和冗余约束可以通过引入螺旋理论,从几何上直接判别约束 的线性相关性,从而分别给出有效的计算判别方法., b)本文提出的修正Grtibler-Kutzbach计算公式和基于约束分析的自由度计算公式可普遍适用于对称 及非对称少自由度并联机构自由度分析和计算. 参考文献: [1]MerletJP.Parallelrobots[-M].Netherland:KluwerAcademicPublishers,2000. 438浙江理工大学2007年第24卷 E2]TsaiLW,WalshGCandStamperRE.KinematicsofaNovelThreeDOFTranslationalP1atformEC]//IEEEInternation— alConferenceonRoboticsandAutomation,Minneapolis:IEEE,1996:3446--3451. 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MobilityAnalysisofLower—MobilityParallelMechanisms BasedonScrewTheory LIQin—chuan,YANGYuan—zhao,CHENQiao,hong,HUXu—dong (ProvincialKeyLaboratoryofModernTextileMachinery,ZhejiangSci,TechUniversity, Hangzhou310018,China) Abstract:ThecombinedeffectoflimbstructuralconstraintsbasicallydeterminestheredUCtionof mobilityoflower— mobilityparallelmechanisms.TheIimbconstraintandthecombinedeffectofalllimb constraintscanbedescribedusingscrewtheory.Thelineardependenceofal11imbconstraintscanbe judgedgeometricallyandthepropertiesofmobilitycanbeobtained.Further,thegeometricalconditionsof existenceofcommonconstraintandredundantconstraintareproposedwithcorrespondingequations.Con— sequently,arevisedGrfibler— Kutzbachcriterionandamobilitycriterionintermsofconstraintanalysisare proposed,bothofwhichcanbeappliedtomobilityanalysisofgenerallower— mobilityparallelmechanisms. Themethodologyintroducedhereisapplicabletobothsymmetricalandasymmetricallower--mobilityparal—— lelmechanisms. Keywords:Lower—mobilityparallelmechanism;Screwtheory;Mobility (责任编辑:陈和榜)