专题-正方形的问题

专题 正方形的问题 第 3 页 共 4 页 初中数学竞赛辅导专题讲座 正方形的问题 例题精讲 例1如图1，已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点.MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N.(1)求证：MD=MN; (2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图2所示，则结论“MD=MN”还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请|说明理由. 例2如图2，正方形ABCD中．E是CD的中点，F是DA的中点，连接BE与CF相交于P.求证： AP=AB. 例3如图，E是正方形ABCD内的一点，分别以AE、BE为边向△ABE形外作正方形AEMN和正方形BEFG.猜想线段AG、CN有什么关系，并证明你的猜想. 图1 图2 图3 图4 巩固基础练 1. (广西省初中数学竞赛题)图5和图6都是用8个直角边长分别为a,b(a>b)的直角三角形拼成的图形.关于这两个图形的下列说法：①四边形ABCD和四边形EFGH的周长相等；②四边形ABCD和四边形EFCH的面积相等；③四边形ABCD和四边形EFGH的面积之差为(a-b)2.其中正确的是 ( ) A.只有① B.只有①和③ C.只有③ D.只有①和② 2. (台湾省中考题)将一块边长为a的正方形，与四块边长为b的正方形(其中b>a)，拼成如图7，其中AB、BC、CD、AD组成一个四边形.则四边形ABCD的面积为 ( ) A.b2+(b-a)2 B. b2+a2 C. (b+a)2 D. a2+2ab 3. 如图8，在正方形ABCD中，E为CD上一点，延长BC到F，使CF=CE，连接DF，BE与DF相交于G，则下面结论错误的是( ) A.BE=DF B.BG⊥DF C.∠F+∠CEB=900 D.∠ FDC+∠ABG=900 图5 图6 图7 图8 4. (河南省中考题) 如图9，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转与△CBP/重合，若PB=3，则PP/= . 5. 把边长为l的正方形对折n次后，所得的图形的面积是 . 6. (广州市中考题)如图10，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE、FG、HI都垂直于AD，EF、GH、IJ都垂直于AO，若已知S△AJI=1，则S正方形ZABCD= . 7. (北京市初中数学竞赛题)如图11，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10，并且P到CD边的距离也等于10，则正方形ABCD的面积为 . 8. (“希望杯”邀请赛) 一个长方形如图12所示，恰分成6个正方形，其中最小的正方形面积是1cm2.求这个长方形的面积. 图9 图10 图11 图12 9. 如图13，正方形ABCD对角线相交于点0，点P、Q分别是BC、CD上的点，AQ⊥DP. 求证：OQ⊥OP. 10.如图14，P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC于E．PF⊥CD于F.求证：AP=EF. 提高过渡练 1. 如图15，在正方形ABCD外作正△ABE，BD、EC相交于F.则∠AFD的大小为 ( ) A. 400 B. 450 C .500 D. 600 2. (“五羊杯”初三竞赛题)如图16，正方形ABCD的边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为 ( ) A. B . C. D . 图13 图14 图15 图16 3. 如图17，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE=a,AF=b，若SEFGH=2/3，则 等于 ( ) A. B. C. D. 4. (“希望杯”邀请赛试题)如图18，直角三角形ABC中，∠ C=900,AC=3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC= ，那么BC的长为 . 5. (北京市初二数学竞赛题) 如图19，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰是一个菱形，则∠ EAB= . 6. 如图20，最大正方形的边长是8cm，则最小正方形的边长 是 cm. 图17 图18 图19 图20 7. (“希望杯”邀请赛试题)如图21，正方形ABCD中，AB= ，点E、F分别在BC、CD上．且∠BAE=300, DAF=150,求△AEF的面积. 8. 如图22，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上点，且∠EAF=450.求证：∠FEC=2∠ BAE. 9. 如图23，正方形ABCD中，BE∥AC，AE=AC.求证：CE=CF. 10.如图24，向△ABC的外侧作正方形ABDE、ACFG.过A作AH⊥BC于H，AH与EG交于P. 求证：BC=2AP. 图21 图22 图23 图24 顶级超强练 1. 如图25，正方形ABCD的对角线相交于点0， ∠BAC的平分线交BC于E，DH⊥AE于H，交AB、AC于F、G.则FB与GO的关系是 ( ) A. FB=2GO B. FB=GO C.FB= GO D.FB= GO 2. 如图26，正方形纸片ABCD中，E为BC中点，折叠正方形，使点A与点E重合，压平后，得折痕MN.设梯形ADMN的面积为S1，梯形BCMN的面积为S2，则S1 ∶S2的值为 ( ) A. 2∶3 B. 3∶5 C. 4∶7 D. 5∶8 3. M是边长为l的正方形ABCD内一点，若MA2-MB2=0.5，∠CMD=900，则∠MCD= . 4. 如图27，P为正方形ABCD内一点，若PA=1，PB=2，PC=3，则∠APB= ，正方形ABCD的边长= 5. 如图28，在△ABC每一条边上分别向形外作正方形AGFC，正方形BCED和正方形ABKH.连接EF、HG、DK，CM是△ABC的中线. 求证： . 图25 图26 图27 图28 6. 如图29，A、B、C三个村庄在一条东西向的公路沿线上，AB=2 km，BC=3 km，在B村的正北方有一个D村，测得∠ADC=450.今将△ACD区域规划为开发区，除其中4 km2的水塘外，均作为绿化或建筑用地．试求这个开发目的建筑及绿化用地的面积是多少平方千米? 7. 如图30，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动. (1)判断四边形EFPQ的形状； (2)EP是否总经过某一点,并说明理由； (3)四边形EFPQ的顶点位于何处时，其面积最小、最大?各是多少? 8. 如图31，在正方形ABCD中，AK和AN是∠A 内的二射线，BK⊥AK，BL⊥AN，DM⊥AK，DN⊥AN. 求证：KL=MN. 9. 如图32，分别以△ABC的边AB、AC为边，在△ABC外侧作正方形ABDE、ACFG，正方形的中心分别为P、Q；M、L分别是BC、EG的中点. 求证：LPMQ是正方形. 图29 图30 图31 图32 10.操作：将一把三角尺放在边长为l的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q . 探究：设A、P两点间的距离为x. (1)当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的太小关系?证明你观察得到的结论； (2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，写出y与x间的关系式，并写出x的取值范围； (3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否能构成等腰三自形?如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由. _1211530451.unknown _1211530739.unknown _1211530880.unknown _1211531132.unknown _1211531720.unknown _1212406817.unknown _1211531055.unknown _1211530740.unknown _1211530643.unknown _1211530738.unknown _1211530597.unknown _1211530521.unknown _1211530282.unknown _1211530342.unknown _1211530159.unknown