4 基于连续性的分析

麻省理工学院 电气与计算机科学系 6.243j（2003秋季）非线性系统动力学 A.Megretski 讲座4：基于连续性的1 这一讲介绍了几个定性的系统分析方法，这些方法是基于拓扑自变量的， 也就是依赖于有关函数的连续性的自变量。 4.1 利用广义拓扑变量分析 这一节包含一些非特定依赖于状态空间形状的结论，他们对常见种类的 系统是有确实根据的。首先，从上一讲的例子开始，到离散时间自治系统的 例子结束，我们来证明定理的广义性。 4.1.1 渐近稳定平衡点的吸引子 下式确定了一个自治时不变离散时间系统， x(t+ 1) = f(x(t)), x(t) ∈ X, t = 0, 1, 2, ... (4.1) 其中 X 是 Rn 的给定子集，f : X 7→ X 是给定函数。前面讲过，只要 xk ， x∞ ∈ X，且当 k →∞ 时 xk → x∞ ，就有 k →∞ 时 f(xk)→ f(x∞) ，f 就 称为连续的。特别是这示定义在有限集 X 上的每一个函数都是连续的。 离散时间模型的一个重要来源就是微分方程的离散化。假设函数 a : Rn 7→ Rn 使 x(0) = x¯ 的 ODE x˙(t) = a(x(t)) (4.2) 存在解，并且对所有 x¯ ∈ Rn ，在时间间隔 t ∈ [0, 1] 上此解是唯一的。那么当 f(x¯) = x(1, x¯) 时离散时间系统（4.1）描述的就是连续时间系统（4.2）在离散 时间采样下的变换。特别指出，如果 a 是连续的，那么 f 也是连续的。 如果对所有满足系统（4.1）的 x = x(t)，|x(0)− x¯0| < d时存在 d > 0使 得 t→∞ 时 x(t)→ x¯0 ，那么我们称这个在 X 闭合区域内的点对系统（4.1） 局部吸引。请注意，这些局部吸引点不必是平衡点，即使是，也不必是渐近稳 定平衡点。 若 x¯0 ∈ R ，如果在（4.1）的所有初始状态 x¯ ∈ X 下集合 A = A(x¯0) 定 义了一个解 x(t)，当 t→∞时，该解趋近于 x¯0 ，那么这个集合称为 x¯0 的吸 引子。 12003年9月17日版 1 定理4.1 如果 f 是连续的， x¯0 对（4.1）局部吸引，那么吸引子 A = A(x¯0) 是 X 上的(相对)开子集，而且它的边界 d(A)（在 X 中）是f不变的，也就是 只要 x¯ ∈ d(A)，就有 f(x¯) ∈ d(A) 。 前面讲过，若子集 Y ⊂ X ⊂ Rn ，如果对所有 y ∈ Y ，存在 r > 0 使得 所有满足 |x− y| < r 的 x ∈ X 都属于Y，那么它称为 X 内相关开子集。如果 对每一 r > 0存在 y ∈ Y 和 z ∈ X/Y 使得 |y− x| < r 和 |z− x| < r 成立，那 么所有这样的 x ∈ X 构成的集合称为 X 内子集 Y ⊂ X ⊂ Rn 的边界。 例4.1 假设系统（4.1）在 X = Rn 上由连续函数 f : Rn 7→ Rn 定义。若 |x(0)| < 1 ，当 t → ∞ 时所有解趋近于零；若 |x(0)| > 100 ，当 t → ∞ 时所 有解趋近于无穷。那么，根据定理4.1，吸引子 A = A(0) 的边界是非空的f不 变集合。根据假设，对所有 x¯ ∈ A(0) 有 1 ≤ |x¯| ≤ 100 。因此，我们可以得到 结论：对所有 t ，（4.1）存在满足约束 1 ≤ |x¯| ≤ 100 的解。 例4.2 对在 X = Rn 上由连续函数 f : Rn 7→ Rn 定义的系统（4.1），有可能 每一个轨迹都趋近于两个平衡状态中的一个。但是，这两个 平衡状态不可能 都是局部吸引的。否则，根据定理4.1，Rn 将由没有交集的两个开集的组合 来表示，这与 Rn 的连通性概念相矛盾。 4.1.2 定理4.1的证明 根据局部吸引的定义，对所有满足（4.1）的 x = x(t) ， |x(0) − x¯0| < d 时存在 d > 0 使得 t → ∞ 时 x(t) → x¯0 。任取 x¯1 ∈ A(x¯0) ，令 x1 = x1(t) 是 x(0) = x¯1 时（4.1）的解，那么当 t → ∞ 时 x1(t) → x¯0 ，因此对足够大 的 t1 有 |x1(t1)| < d/2。因为 f 是连续的，所以对每个确定的 t ∈ {0, 1, 2, · · ·} x(t) 是 x(0) 的连续函数，因此，只要 |x(0) − x¯1| < δ 就存在 δ > 0 使得 |x(t1) − x1(t1)| < d/2 。因为这表明 |x(t1) − x¯0| < d ，我们可以得到每个 x¯ ∈ X 时 x¯ ∈ A(x¯0) 使得 |x¯− x¯1| < δ 成立，这就证明了 A = A(x¯0) 是开的。 为了说明 d(A)是f不变的，首先注意到 A本身是f不变的。任取 x¯ ∈ d(A)， 由边界的定义，存在序列 x¯k ∈ A趋近于 x¯。那么，由 f 的连续性，序列 f(x¯k) 趋近于 f(x¯) 。如果 f(x¯) ∈/ A ，这表明 f(x¯) ∈ d(A) 。下面我们来解释不可能 出现相反的情况。实际上，如果 f(x¯) ∈ A ，由于已证明 A 是开的，那么存在 ² > 0 ，对所有 z ∈ X 有 z ∈ A 使得 |z − f (¯x)| < ² 成立。因为 f 是连续的， 只要 y ∈ X 时 |y − x¯| < δ 就存在 δ > 0 使得 |f(y) − f(x¯)| < ² 。因此，只要 |y − x¯| < δ 就有 f(y) ∈ A 。由吸引子的定义，f(y) ∈ A 表明 y ∈ A ，所以只 要 |y − x¯| < δ ，就有 y ∈ A ，这与 x¯ ∈ d(A) 的假设相矛盾。 4.1.3 平面轨迹的极限点 对（4.2）的给定解 x = x(t) ，当 t→∞ 时，x(tk)→ x˜ 的所有可能极限 组成的集合 lim (x) ⊂ Rn 叫做 x 的极限集，其中 {tk} 是趋近于无限的。 定理4.2 假设 a : Rn 7→ Rn 是局域李普希茨函数。如果 x : [0,∞] 7→ Rn 是 （4.2）的解，那么它的极限点集合 lim(x) 是 Rn 的闭子集，并且初始条件在 2 lim(x) 内的（4.2）的所有解完全依赖于 lim(x) 。 证明 首先，如果当 k → ∞ 时，对每一 q 有 tk,q → ∞ 和 x(tk,q, x(0)) → x¯q 成立，当 q → ∞ 时有 x¯q → x¯∞ 成立，那么我们可以选择 q = q(k) 使得当 k →∞ 时有 tk,q →∞ 和 x(tk,q, x(0))→ x¯∞ 成立。这证明了封闭性（还没有 使用解的连续性）。 第二，由假设得 x¯0 = lim k→∞ x(tk, x(0)) ， 那么，由依赖于初始条件的解的连续性得 x(t, x¯0) = lim k→∞ x(t, x(tk, x(0))) = lim k→∞ x(t+ tk, x(0)) 。 通常，ODE解的极限集可以是十分复杂的。尽管如此，n = 2 的情况下 存在相对简单的分类。 定理4.3 假设 a : R2 7→ R2 是局部李普希茨函数。如果 x : [0,∞] 7→ R2 是 （4.2）的解，那么下面的一个结论是正确的： (a)当 t→∞ 时 |x0(t)| → ∞； (b)存在 T > 0和非常数解 xp : (−∞,+∞) 7→ R2 使得对所有 t有xp(t+T ) = xp(t) 成立，并且 x 的极限点集合是 xp 的轨迹（值域）; (c)极限集是（4.2）最大解 x : (t1, t2) 7→ R2 的轨迹的组合，当 t→ t1 或 者 t→ t2 时，每一个最大解都有一个极限（有可能是无穷）。 定理4.3的证明将在下一节讨论，它是基于更特殊的拓扑自变量。 4.2 系统分析中的映射指标 连续函数的指标在证明数学对象具有某些性质时是非常强大的工具，同 样地，它在定性系统分析中也十分有用。 4.2.1 指标的定义和基本性质 n = 1, 2, · · · 时，令 Sn = {x ∈ Rn+1 : |x| = 1} 表示 Rn 上的单位球。注意在 S−指标中使用 n，而不是 n+1：这表明 Rn+1 和 Rn 上的球是局部相似的。对每一个连续映射 F : Sn 7→ Sn 都有种方法定 义指标 ind (F ) ，采用这种方法，下面的条件将会被满足： (a)如果 H : Sn × [0, 1] 7→ Sn 是连续的，那么 ind(H(·, 0)) = ind(H(·, 0) （这个映射 H 称为 H(·, 1) 和 H(·, 0) 之间的同伦）; (b)如果由 Fˆ (z) = |z|F (z/|z|) 3 定义的映射 Fˆ : Rn+1 7→ Rn+1 在 Sn 的邻域内是连续可微的，那么 ind(F ) = ∫ x∈Sn det(Jx(Fˆ ))dm(x), 其中 Jx(Fˆ )是 fˆ 在 x除的行列式，m(x)是在 Sn 上的规范 Lebesque 测度（也就是 m 关于单坐标变换是不变的，Sn 的全部测度等于1）。 一旦证明了（b）中的积分经常是整数（用体积/表面积积分关系）， 很容易得出条件（a）、（b）正确且唯一地定义了 ind (F ) 。n = 1 时，连续映 射 F : Sn 7→ Sn 的指标简化为 F 的回转数，也就是 F 的轨迹围绕零旋转的 次数。 同样很容易得出，恒等映射 FI(x) = x 的 ind(FI) = 1 ，所有常值映射 Fc(x) = x0 =const 的 ind(Fc) = 0 。 4.2.2 Brower 定点定理 从指标函数的绝对存在得到的一个经典数学结论就是著名的 Brower 定 点定理，它指出，对于每一个连续函数 G : Bn 7→ Bn ，方程 F (x) = x 至少 有一个解，其中 Bn = {x ∈ Rn+1 : |x| ≤ 1}, n = 1时，很明显这个结论是成立的。我们由假设相反情形来证明 n > 1 的情况。这样，由 x ∈ Bn 到 Sn−1 内点的映射 Gˆ : Bn 7→ Bn 是从 G(x) 开 始经过 x 的开放射线和 Sn−1 的（唯一）交集。那么由 H(x, t) = Gˆ(tx) 定义的 H : Sn−1× [0, 1] 7→ Sn−1 是恒等映射 H(·, 1)和常值映射 H(·, 0)之间 的同伦。因为指标函数的存在，不可能有这样的同伦，这就证明了这个理论。 4.2.3 周期解的存在性 令 a : RN ×R 7→ Rn 是局部李普希茨函数，并且关于第二个自变量的周 期为 T ，也就是 a(x¯, t+ T ) = a(x¯, t) ∀ x, t 其中 T > 0 是给定数值。假设初始条件为 x(0) ∈ Bn 的 ODE 解 x˙(t) = a(x(t), t) (4.3) 在任何时候都在 Bn 中，那么所有 t ∈ R 时（4.3）存在周期为 T 的解 x = x(t) = x(t+ T ) 。 事实上，映射 x¯ 7→ x(T, 0, x¯)是连续函数 G : Bn 7→ Bn 。 x¯ = G(x¯)的解 为周期轨迹定义了初始条件。 4