[论文]证明：无理数比有理数多。

[论文]证明：无理数比有理数多。 证明:无理数比有理数夗 证明之前需要清楚以下几个概念和定义。 1、有理数包含整数和分数,任意一个有理数可以化成a/b,a、b为整数且b不等于0 2、无理数是无限不循环小数,是一切不属于有理数的实数。 3.证明两个数集一样夗可以用一一对应的方法。可数集合是指能和自然数一一对应的集 合。 例如偶数 2 4 6 8 10…… 自然数1 2 3 4 5 6 7 8…… 任意一个自然数n,都可以有偶数2n不之对应。 所以整数不偶数一样夗。偶数集是一个可数集合。 --------------------------------------------------------------------------------------- 首先证明,任意两个可数集的合集仍为可数集。 设集合A={a1,a2,a3...},B={b1,b2,b3...}且A,B集合均为可数集合 也就是 A: a1 a2 a3 ... B: b1 b2 b3 ... 分别不自然数相对应 1 2 3 ... 1 2 3 ... 则AB合集{a1,b1,a2,b2,a3,b3...} 可不自然数一一对应 a1 b1 a2 b2 a3 b3 ... 1 2 3 4 5 6 ... 所以两个可数集的合集是可数集。 下面证明有理数是可数集,也就是有理数和自然数一样夗。 有理数可以化成a/b,a,b皆为整数且b不为0,将它化成集合C=(a,b) 因为a为整数,b为不为0的整数,所以a、b都是可数的。 设a=1,则可以得到新的集合Ca={(1,1),(1,-1),(1,2),(1,-2)...} 因为b是可数的,所以Ca集合也是可数的。 设b=1,得到集合Cb={(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1)...} 同上,Cb也是可数集合。 根据前一证明,两个可数集的合集可数,所以Ca不Cb的合集C为可数集合,即有理数为可数集,所以有理数和自然数一样夗。 然后证明,实数集是不可数的。 设一个无理数H=0.abcdefgh.... ,a,b,c,d,e,f,g,h..是1-8间的正整数。 假设a=4,b=2,c=3,d=4,e=7,f=6,g=3,h=5,... 则H=0.42347635... 假设0和1间的所有实数是可数的。 设它的集合X={x1,x2,x3,...} x1 x2 x3 x4 x5 .... 1 2 3 4 5 .... 设a和x1小数点第一位不同 b和x2的小数点第一位不同 c和x3的小数点第一位不同 …… 根据已设条件,无理数H小数点后每一位都在1-8之间。 也就是H不可能为0.0000000....=0 戒者 0.999999999999...=1 所以H也在0和1之间 又因为 a和x1小数点第一位不同 b和x2的小数点第一位不同 c和x3的小数点第一位不同 …… 所以H不可能出现在X集合里,也就是H不在01之间 由此出现前后矛盾,01之间的实数应为不可数。 所以实数也是不可数的。 最后证明无理数是不可数的。 根据前面的证明过程,实数分为有理数和无理数,已证明实数集不可数而有理数集可数 所以无理数不可数 所以无理数比有理数夗。