点关于直线对称的向量求法

点关于直线对称的向量求法 新疆泽普二中 王永高 点关于直线对称的求法，教学中笔者主要是利用斜率相乘为-1，中点坐标代入来求解，但是学生由于运算能力欠佳，导致结果常常算不对。近日笔者发现可以推导出一个形式较好的公式。 (x,y)(x,y) 设点A，直线l:Ax，By，C,0(A,B不同时为0)，则A关于直线0000l:Ax，By，C,0(A,B不同时为0)的对称点B(x,y)，其中: 11 Ax，By，cAx，By，C0000 x,x,2A,y,y,2B10102222A，BA，B 方法一是用代数法，通过斜率互为负倒数，中点坐标代入，方法二是用向量法。下面通过直线的方向向量和法向量去证明。 yA M B N P xO ?Py如图，设直线与轴的交点位，向量AP 沿垂直于直线方向和平行于直线方向进行分解，l ?????得到AM 和AN ，则AP =AM +AN 。 ee设直线法向量方向上的单位向量是，直线方向向量方向上的单位向量是。那么有 ll12??,eeAM =，AN = ,12 ?,,从而AP =+ ee12 上式两边同时点乘 e1 ?,,则AP e=ee+ee ,,,11121 ????故=AP e 而:AB =2AM =2e=2(AP e)e ,,,,1111 ,Ax,By,CC(A,B)??00AP =，e=，从而:AB = ,(2A,2B)(,x,,,y)1002222BA，BA，B ???由OB =OA +AB 得 Ax，By，CAx，By，C0000?(x,2A,y,2A)OB = 002222A，BA，B从而得证。