数值分析常微分方程的数值解法

《计算机数学基础（2）》教学辅导5 《计算机数学基础》数值部分第五单元辅导 14 常微分方程的数值解法 一、重点内容 1. 欧拉公式： 局部截断误差是O(h2)。 2. 改进欧拉公式： 预报－校正公式： 即 或表成平均的形式： 改进欧拉法的局部截断误差是O(h3) 3. 龙格－库塔法 二阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h3) 三阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h4) 四阶龙格(库塔法公式： 其中 (1=f(xk,yk)；(2=f(xn+h，yk+ h(1)；(3=f(xk+h，yn+ h(2)；(4=f(xk+h，yk+h(3) 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是O(h5)。 二、实例 例1 用欧拉法解初值问题 ，取步长h=0.2。计算过程保留4位小数。 解h=0.2, f(x)=－y－xy2。首先建立欧拉迭代格式 当k=0，x1=0.2时，已知x0=0,y0=1，有 y(0.2)(y1=0.2×1(4－0×1)＝0.8000 当k＝1，x2=0.4时，已知x1=0.2, y1=0.8，有 y(0.4)(y2=0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4 当k=2，x3=0.6时，已知x2=0.4,y2=0.6144，有 y(0.6)(y3=0.2×0.6144×(4－0.4×0.4613)＝0.8000 例2 用欧拉预报－校正公式求解初值问题 ，取步长h=0.2,计算 y(0.2),y(0.4)的近似值，计算过程保留5位小数。 解 步长h=0.2, 此时f(x,y)=－y－y2sinx 欧拉预报－校正公式为： 有迭代格式： 当k=0，x0=1, y0=1时，x1=1.2，有 当k=1，x1=1.2, y1=0.71549时，x2=1.4，有 =0.52608 例3 写出用四阶龙格－库塔法求解初值问题 的计算公式，取步长h=0.2计算y(0.4)的近似值。计算过程保留4位小数。 解 此处f(x,y)=8－3y, 四阶龙格－库塔法公式为 其中 (1=f(xk,yk)；(2=f(xn+h，yk+ h(1)；(3=f(xk+h，yn+ h(2)；(4=f(xk+h，yk+h(3) 本例计算公式为： 其中 (1=8－3 yk；(2=5.6－2.1 yk；(3=6.32－2.37yk; (4=4.208＋1.578yk 当x0=0,y0==2, 例4 设初值问题 ，证明用梯形公式求解该问题的近似解为 证明 解初值问题的梯形公式为 (k=0,1,2,…,n－1) 整理成显式 ( k=0,1,2,…,n－1) 用k=n,n－1,n－2,…,1,0反复代入上式，得到 例5 选择填空题： 1. 取步长h=0.1, 用欧拉法求解初值问题 的计算公式是 ： 解答：欧拉法的公式 此处 ，迭代公式为 2. 改进欧拉法的平均形式公式是( ) (A) (B) (C) (D) 答案：(D) 解答：见改进欧拉法平均形式公式。 三、练习题 1.求解初值问题 欧拉法的局部截断误差是( ); 改进欧拉法的局部截断误差是( ); 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( ) (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5) 2. 改进欧拉预报－校正公式是 改进欧拉法平均形式公式为yp= , yc= ，yk+1= 试说明它们是同一个公式。 3. 设四阶龙格－库塔法公式为 其中 (1=f(xk,yk)；(2=f(xn+h，yk+ h(1)；(3=f(xk+h，yn+ h(2)；(4=f(xk+h，yk+h(3) 取步长h=0.3，用四阶龙格－库塔法求解初值问题 的计算公式是 。 4.取步长h=0.1, 用欧拉法求解初值问题 5. 试写出用欧拉预报－校正公式求解初值问题 的计算公式，并取步长h=0.1，求y(0.2)的近似值。要求迭代误差不超过10－5。 6. 对于初值问题 试用(1)欧拉法；(2)欧拉预报－校正公式；(3)四阶龙格－库塔法分别计算y(0.2),y(0.4)的近似值。 7. 用平均形式改进欧拉法公式求解初值问题 在x=0.2,0.4,0.6处的近似值。 8. 证明求解初值问题的梯形公式是 yk+1=yk+ , h=xk+1－xk (k=0,1,2,…,n－1)， 四、练习题答案 1. (A), (B), (D) 2. ; yk＋ ; 只需将yc, yp的表达式代入到yk+1中，就得到预报－校正公式。 3. 提示：其中 (1=1－yk；(2=0.85(1－yk)；(3=0.8725(1－yk)；(4=0.73825(1－yk) 4.y1=1，y2=1.005 000，y3=1.010 025，y4=1.025 175，y5=1.045 679， y6=1.078 21，y7=1.103 976，y8=1.142 615，y9=1.188 320，y10=1.241 794 5. 计算公式为 6.欧拉法：y(0.2)(1.000 00; y(0.4)(1.080 00 欧拉预报－校正公式：y(0.2)(1.020 84; y(0.4)(1.042 40 四阶龙格－库塔法：y(0.2)(1.002 673 ; y(0.4)(1.021 798 7. yp=0, yc=0.04, y1=0.02； yp=0.056, yc=0.0888, y2=0.0724； yp=0.13792, yc=0.164816, y3=0.151368 8. 提示：见教材关于梯形公式的推导。 PAGE 1 _1011963452.unknown _1037513126.unknown _1037514680.unknown _1037810665.unknown _1037811360.unknown _1037992179.unknown _1037811131.unknown _1037811239.unknown _1037811099.unknown _1037515924.unknown _1037515699.unknown _1037514562.unknown _1037514586.unknown _1037514491.unknown _1011964261.unknown _1011964701.unknown _1011965483.unknown _1011984056.unknown _1011964767.unknown _1011964280.unknown _1011964644.unknown _1011963766.unknown _1011964232.unknown _1011963573.unknown _1011963586.unknown _1011953031.unknown _1011953050.unknown _1011962187.unknown _1011962879.unknown _1011956952.unknown _1011957955.unknown _1011608186.unknown _1011900010.unknown _1011901079.unknown _1011902534.unknown _1011903268.unknown _1011952958.unknown _1011902995.unknown _1011901511.unknown _1011900558.unknown _1011900630.unknown _1011874997.unknown _1011875302.unknown _1011897801.unknown _1011609982.unknown _1011604965.unknown _1011605707.unknown _1011606778.unknown _975435528.unknown _975750436.unknown