导数

高中数学辅导网http://www.shuxuefudao.com 导数应用的型与方法 双基透视 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面: 1．导数的常规问题： （1）刻画函数（比初等方法精确细微）； （2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）； （3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。 2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。 　　6．导数的定义 　　导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据． 　　对导数的定义，我们应注意以下三点：　(1)△x是自变量x在 处的增量(或改变量)． 　　(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时， 有极限，那么函数y=f(x)在点 处可导或可微，才能得到f(x)在点 处的导数． 　　(3)如果函数y=f(x)在点 处可导，那么函数y=f(x)在点 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导． 　　由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行： (1)求函数的增量 ； (2)求平均变化率 ；(3)取极限，得导数 。 　　7．导数的几何意义 　　函数y=f(x)在点 处的导数，就是曲线y=(x)在点 处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： 　(1)求出函数y=f(x)在点 处的导数，即曲线y=f(x)在点 处的切线的斜率； 　　(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为　 　特别地，如果曲线y=f(x)在点 处的切线平行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为 　　8．和（或差）的导数 　　上一节我们学习了常见函数的导数公式，那么对于函数 的导数，又如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。 　 　 　　　9．积的导数 　　两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。（　　说明：（1） ；（2）若c为常数，则(cu) ′=cu′。 　　10．商的导数 　两个函数的商的求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以。现补充证明 　设 　　 　　因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是△x→0时，v(x+△x)→v(x)，从而 　　即 。 　　说明：（1） ；　　（2） 　11. 导数与函数的单调性的关系 ㈠ 与 为增函数的关系。 能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，但 ，∴ 是 为增函数的充分不必要条件。 ㈡ 时， 与 为增函数的关系。 若将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 。∴当 时， 是 为增函数的充分必要条件。 ㈢ 与 为增函数的关系。 为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 。当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数，函数不具有单调性。∴ 是 为增函数的必要不充分条件。 ㈣单调区间的求解过程，已知 （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间 ㈤函数单调区间的合并 函数单调区间的合并主要依据是函数 在 单调递增，在 单调递增，又知函数在 处连续，因此 在 单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。 12. （1） 恒成立 ∴ 为 上 ∴ 对任意 不等式 恒成立 （2） 恒成立 ∴ 在 上 ∴ 对任意 不等式 恒成立 范例分析 例1． 在 处可导，则 思路： 在 处可导，必连续 ∴ ∴ 例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限： 　　（1） ； （2） 　　　　解：（1） 　　 　　（2） 　　 例3．观察 ， ， ，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。 解：若 为偶函数 令 ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 另证： ∴ 可导的偶函数的导函数是奇函数 例4．（1）求曲线 在点（1，1）处的切线方程； 　　（2）运动曲线方程为 ，求t=3时的速度。 　　分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在 处的导数就是曲线y=f(x)在点 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。 　　解：（1） ， 　　 ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 　　因此曲线 在（1，1）处的切线方程为y=1 　　（2） 　　 。 　　 例5． 求下列函数单调区间 （1） （2） （3） （4） 解：（1） EMBED Equation.3 时 ∴ ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （2） ∴ ， EMBED Equation.3 （3） ∴ EMBED Equation.3 ∴ ， ， EMBED Equation.3 （4） 定义域为 例6．求证下列不等式 （1） （2） （3） 证：（1） ∴ 为 上 ∴ 恒成立 ∴ ∴ 在 上 ∴ 恒成立 （2）原式 令 ∴ ∴ EMBED Equation.3 ∴ （3）令 ∴ ∴ 例8．求满足条件的 （1）使 为 上增函数（2）使 为 上…… （3）使 为 上 解：（1） ∴ 时 也成立 ∴ （2） 时 也成立 ∴ （3） 例9．（1） 求证 （2） 求证 （1）证：令 ∴ 原不等式 令 ∴ ∴ ∴ ∴ 令 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）令 上式也成立 将各式相加 即 例10．设 ，求函数 的单调区间. 解： . 当 时 . （i）当 时，对所有 ，有 . 即 ，此时 在 内单调递增. （ii）当 时，对 ，有 ， 即 ，此时 在（0，1）内单调递增，又知函数 在x=1处连续，因此， 函数 在（0，+ ）内单调递增 （iii）当 时，令 ，即 . 解得 . 因此，函数 在区间 内单调递增，在区间 内也单调递增.令 ， 解得 . 因此，函数 在区间 内单调递减. 设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则 为减函数。如果 ，则 为常数。 　　例11．已知抛物线 与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为 和 。 　　（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线 与 的夹角。 　　解 （1）由方程组 　　 　　解得 A(-2，0)，B(3，5) 　　（2）由y′=2x，则 ， 。设两直线的夹角为θ，根据两直线的夹角公式， 　　 所以 例12．（2001年天津卷）设 ， 是 上的偶函数。 （I）求 的值；（II）证明 在 上是增函数。 解：（I）依题意，对一切 有 ，即 ， ∴ 对一切 成立，由此得到 ， ， 又∵ ，∴ 。 （II）证明：由 ，得 EMBED Equation.3 ， 当 时，有 ，此时 。∴ 在 上是增函数。 例13．（2000年全国、天津卷）设函数 ，其中 。 （I）解不等式 ；（II）证明：当 时，函数 在区间 上是单调函数。 解1：（I）分类讨论解无理不等式（略）。 （II）作差比较（略）。 解2： （i）当 时，有 ，此时 ，函数 在区间 上是单调递减函数。但 ，因此，当且仅当 时， 。 （ii）当 时，解不等式 ，得 ， 在区间 上是单调递减函数。 解方程 ，得 或 ，∵ ， ∴当且仅当 时， ， 综上，（I）当 时，所给不等式的解集为： ； 当 时，所给不等式的解集为： 。 （II）当且仅当 时，函数 在区间 上时单调函数。 例14．已知 ，函数 设 ，记曲线 在点 处的切线为 。 （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）设 与 轴的交点为 ，证明：① ②若 ，则 解：（1） 的导数 ，由此得切线 的方程 ， （2）依题得，切线方程中令 ，得 EMBED Equation.3 ，其中 ， （ⅰ）由 ， ，有 ，及 ， ∴ ，当且仅当 时， 。 （ⅱ）当 时， ，因此， ，且由（ⅰ）， ， 所以 。 例15已知 为正整数.（Ⅰ）设 ； （Ⅱ）设 分析：本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力。 证明：（Ⅰ）因为 EMBED Equation.3 ， 所以 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （Ⅱ）对函数 求导数: ∴ 即对任意 强化训练 21．曲线 在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在A点处的切线方程。 22．在抛物线 上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为 。 23．判断函数 在x=0处是否可导。 24．求经过点（2，0）且与曲线 相切的直线方程。 25．求曲线y=xcosx在 处的切线方程。 26．已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且f'x=g'(x)，f(5)=30，求g(4). 27．已知曲线 与 。直线l与 、 都相切，求直线l的方程。 28．设f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)，求f′(1)。 29．求曲线 在点 处的切线方程。 30．求证方程 在区间 内有且仅有一个实根 31． 、 、 、 均为正数 且 求证： 32．（1求函数 在x=1处的导数（2求函数 （a、b为常数）的导数。 33．证明：如果函数y=f(x)在点 处可导，那么函数y=f(x)在点 处连续。 34．（2002年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷文史类21）） 已知 函数 ，设 ，记曲线 在点 处的切线为 。 （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）设 与 轴的交点为 ，证明：① ；②若 ，则 。 参考 21．由导数定义求得 ，　令 ，则x=±1。 　　当x=1时，切点为（1，1），所以该曲线在（1，1）处的切线方程为y-1=3(x-1)即3x-y-2=0； 　　当x=-1时，则切点坐标为（-1，-1），所以该曲线在（-1，-1）处的切线方程为y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。 22．由导数定义得f′(x)=2x，设曲线上P点的坐标为 ，则该点处切线的斜率为 ，根据夹角公式有 　　解得 或 ，　　由 ，得 ； 　　由 ，得 ；　　则P（-1，1）或 。 23． ， 　　 ， 　　∵ ，　　∴ 不存在。∴函数f(x)在x=0处不可导。 24．可以验证点（2，0）不在曲线上，故设切点为 。 　　由 EMBED Equation.3 ， 　　得所求直线方程为　 。 　　由点（2，0）在直线上，得 ，　再由 在曲线上，得 ， 　　联立可解得 ， 。所求直线方程为x+y-2=0。 25．Y’=x'cosx+x·(cosx)'=cosx-xsinx　　 ，切点为 ， 　　∴切线方程为： 　即 。 26解：由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d) 　　 　∴　=2x+a　　 =2x+c　　 ∴a=c ③ 　　又知52+5a+b=30　　　　　　　 ∴5a+b=5　 ④　　由①③知a=c=2. 依次代入④、②知b=－5， 　　d=－g(4)=42+2×4－=23 27．解：设l与 相切于点 ，与 相切于 。对 ，则与 相切于点P的切线方程为 ，即 。 ① 　　对 ，则与 相切于点Q的切线方程为 ，即 。 ② 　　∵ 两切线重合，∴ ， 　　解得 或 ，　∴直线方程为y=0或y=4x-4。 28．解： 　　∴ 　　 令x=1得 29．解： ，则 　 。 　　∴切线方程为 　　即5x+32y-7=0。 30解： 在 ∴ 在 内与 轴有且仅有一个交点 ∴ 方程 在 内仅有一解 31．证：由对称性不妨设 （1）若 显然成立 （2）若 设 ∴ ∵ ∴ ∴ 时 ∴ ∴ 32．分析：根据导数的定义求函数的导数，是求导数的基本方法。 　　解（1） 　　 ， 　　 ，　　∴ 。 　　（2） ， 　　 。 　　 ∴y′=2x+a 33．分析：从已知和要证明的问题中去寻找转化的方法和策略，要证明f(x)在点 处连续，必须证明 ，由于函数f(x)在点 处可导，因此根据函数在点 处可导的定义，逐步实现这个转化。 　　已知： 　　求证： 　　证明：考虑 ，令 ，则 ，等价于△x→0，于是 　　 　∴函数f(x)在点 处连续。 说明：函数f(x)在点 处连续、有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在 连续 有极限。反之则不一定成立，例如y=|x|在点x=0处有极限且连续，但导数不存在。 34．解：（1） 的导数 ，由此得切线 的方程 ， （2）依题意，在切线方程中令 ，得 ， （ⅰ） EMBED Equation.3 ， ∴ ，当且仅当 时取等成立。 （ⅱ）若 ，则 ， ，且由（ⅰ） ， 所以 。 PAGE 京翰教育http://www.zgjhjy.com/ _1127976202.unknown _1127977928.unknown _1127979985.unknown _1127980220.unknown _1127989482.unknown _1127993676.unknown _1128152624.unknown _1129737982.unknown _1131372508.unknown _1131530052.unknown _1141408049.unknown _1131529982.unknown _1131529839.unknown _1129738001.unknown _1128502945.unknown _1129717447.unknown _1129718845.unknown _1129717222.unknown _1129717240.unknown _1129717269.unknown _1128502965.unknown _1128152647.unknown _1128152686.unknown _1128502922.unknown _1128152673.unknown _1128152634.unknown _1127994280.unknown _1127999411.unknown _1128152509.unknown _1128152585.unknown _1128001250.unknown _1128001285.unknown _1128001335.unknown _1127999425.unknown _1127994338.unknown _1127994406.unknown _1127994545.unknown _1127994595.unknown _1127994465.unknown _1127994374.unknown _1127994305.unknown _1127994158.unknown _1127994202.unknown _1127994235.unknown _1127994194.unknown _1127994172.unknown _1127993776.unknown _1127993719.unknown _1127990865.unknown _1127992503.unknown _1127992531.unknown _1127993647.unknown _1127992522.unknown _1127992381.unknown _1127992489.unknown _1127990910.unknown _1127990719.unknown _1127990835.unknown _1127990839.unknown _1127990772.unknown _1127990602.unknown _1127990658.unknown _1127990551.unknown _1127988144.unknown _1127989001.unknown _1127989340.unknown _1127989436.unknown _1127989184.unknown _1127988298.unknown _1127988742.unknown _1127988279.unknown _1127980539.unknown _1127980620.unknown _1127980766.unknown _1127980819.unknown _1127980919.unknown _1127980918.unknown _1127980792.unknown _1127980720.unknown _1127980599.unknown _1127980289.unknown _1127980439.unknown _1127980476.unknown _1127980386.unknown _1127980246.unknown _1127980287.unknown _1127980228.unknown _1127980014.unknown _1127980076.unknown _1127980091.unknown _1127980154.unknown _1127980206.unknown _1127980139.unknown _1127980089.unknown _1127980090.unknown _1127980077.unknown _1127980025.unknown _1127980029.unknown _1127980034.unknown _1127980073.unknown _1127980075.unknown _1127980036.unknown _1127980038.unknown _1127980072.unknown _1127980037.unknown _1127980035.unknown _1127980031.unknown _1127980032.unknown _1127980030.unknown _1127980027.unknown _1127980028.unknown _1127980026.unknown _1127980020.unknown _1127980023.unknown _1127980024.unknown _1127980022.unknown _1127980016.unknown _1127980019.unknown _1127980015.unknown _1127979993.unknown _1127979998.unknown _1127980004.unknown _1127980012.unknown _1127980013.unknown _1127980009.unknown _1127980011.unknown _1127980010.unknown _1127980008.unknown _1127980002.unknown _1127980003.unknown _1127980001.unknown _1127979996.unknown _1127979997.unknown _1127979994.unknown _1127979989.unknown _1127979991.unknown _1127979992.unknown _1127979990.unknown _1127979987.unknown _1127979988.unknown _1127979986.unknown _1127979333.unknown _1127979498.unknown _1127979980.unknown _1127979982.unknown _1127979983.unknown _1127979981.unknown _1127979567.unknown _1127979977.unknown _1127979978.unknown _1127979609.unknown _1127979637.unknown _1127979976.unknown _1127979619.unknown _1127979593.unknown _1127979535.unknown _1127979550.unknown _1127979521.unknown _1127979417.unknown _1127979449.unknown _1127979469.unknown _1127979437.unknown _1127979390.unknown _1127979406.unknown _1127979347.unknown _1127978369.unknown _1127978585.unknown _1127979090.unknown _1127979126.unknown _1127979331.unknown _1127979332.unknown _1127979330.unknown _1127979114.unknown _1127978678.unknown _1127978712.unknown _1127978881.unknown _1127978724.unknown 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