【高数】§3.1 中值定理

nullnull3.1　中值定理 3.2　洛必达法则 3.3　函数的单调性与极值 3.4　函数的微分法作图null1.1　罗尔定理 1.2　拉格朗日中值定理 1.3　柯西中值定理null 设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标 相等问题：f (x) ？观察与思考：: f (x)  0 3.1.1 罗尔(Rolle)定理null罗尔定理null如果连续光滑的曲线 y = f(x) 在两个端点处的纵坐 标相等. 那么在此曲线上至少有一点, 使得曲线在C点的切线平行于 x 轴（也平行于两个端点的连线）几何意义null 定理的三个条件缺一不可，否则结论不成立!应注意的问题。xyo1xyoxyoh不连续不可微f(a)≠f(b)null定理证明证 设f(x)在闭区间[a, b]连续，故根据连续性 可知f(x)在[a,b]上必有最大值 M，最小值 m 若 M=m，结论显然成立 若 M≠m，则 M、m 中至少有一个不在区间端点 a、b 取到null例 1 验证函数 f(x) = x3 + 4x2 - 7x-10 在区间[-1, 2] 上满足Rolle定理的三个条件，并求满足f ’(x) = 0 的 x 点。例 2 不求导数，判定函数 f(x) = (x+1)(x-2)(x-3) 的导数方程 f ’(x) = 0 有几个实根，以及它们所在的范围。nullnull连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点A、B处的纵坐标不相等 f (x) ？ f (h) ？问题： 直线AB的斜率 k =？答案：f (x)  f (h)  k3.1.2　拉格朗日(Lagrange)中值定理null拉格朗日中值定理或 f(b) - f(a) = f ’(x)(b - a) (a < x < b)null几何意义 null定理证明证 利用Rolle 定理证明。为此，引入辅助函数：null拉格朗日中值公式（几种常见形式）： f(b)  f(a) f (x)(ba) (x介于a与b之间) f(b) = f(a) + f (x)(ba) (x介于a与b之间) f(b) = f(a) +f [a+q(b-a)](ba) (0