单指数模型在基金投资组合中的应用

单指数模型在基金投资组合中的应用 刘艳侠 ()中南财经政法大学信息学院 湖北 武汉 430060 [摘要 ]投资基金已成为目前的流行趋势 ,对基金的投资组合进行研究 ,可使投资者正确把握投资方向获得较好的 收益 ,本文利用单指数模型在收益最大化和风险最小化两个模型的基础上对基金投资组合进行分析 ,以得到最优的投 资方案。 [关键词 ]基金投资组合 ;单指数模型 ;均值方差模型 ( ) 文章编号 ] 100326067 200901 20033202 [[中图分类号 ] F830[文献标识码 ]A εε) ( ) ( 益率的残差不相关 ,即 cov ,= 0; 2 残差的期望值 我国自 1998 年 3 月发起成立新基金以来 , 目前已成i j 立了 60 家基金管理公司。基金已成为市场的重要组成部 ε) ( )(为 0 ,即 E = 0; 3 残差项是证券的特性 ,与市场组合 i 分 ,从已公开的信息来看 , 基金业绩的好坏往往取决于所 ε) (收益率不相关 ,即 cov , R= 0。所以 , 对于资产的风 i m 投资的对象 ,投资组合的优劣直接决定了投资收益的好 险就可以用下面的式子来度量 :坏。本文通过应用组合投资理论的均值方差模型和单指 2 22 2 βσσ(ε) σ=+i i m i 数模型 ,在收益最大化和风险最小化两个模型的基础上 σσ(ε) 其中 ,为整个市场投资组合的标准差 ,为残 对基金组合投资进行分析以求出最优的投资方案。 m i 差的标准差 , 我们分别称为系统风险和非系统风险。当 一 、夏普单指数模型 投资者进行组合投资时 , 可以建立类似于马科维茨的均 1952 年 ,马科维茨在《金融杂志 》上发了题为《投 值一方差模型 ,计算有效投资比例 w。 i资组合选择 》的论文。该论文阐述了证券收益和风险水 平确定的主要原理和方法 , 建立了均值一方差证券组合 二 、风险 —收益模型 马科维茨的投资组合选择理论是金融定量分析的开 模型的基本框架。他的学生夏普于 1963 年建立了简化的 端 ,分别用期望收益率和收益率的方差来衡量投资的预 单指数模型以解决标准投资组合模型应用于大规模市场 期收益和风险 ,用相关系数测量各项资产间的关系 , 通过 的计算困难 ,其基本思想是 : 当市场股价指数上升时 , 市 建立资产组合的数学模型 , 使人们按照自己的偏好 , 选择 场中大量的股票价格走高 ; 相反 , 当市场指数下滑时 , 大 确定风险下提供最大收益的资产组合 , 或者确定收益下 量股票价格趋于下跌。据此 , 可以用一种证券的收益率 提供最小风险的资产组合。根据马科维茨投资组合模型 和股价指数收益率的相关关系得出模型。我们假定所有 的假设和思路 ,运用到基金投资 , 我们可以得出以下两个 证券的收益率都受市场组合的影响 , 每个证券的波动都 基金投资组合基本模型。 是市场组合收益率的波动引起的 , 只不过反应的程度各 1. 收益最大化投资组合的数学模型 假设基金投资组不相同。即假设 : 合中有 n 种资产 , 它们的收益率为 αβε R =+R+i i i m i) R ,投资组合的收益率为 R, 约束条件有 : 1 投资组合的 i p α这里 R是市场组合收益率 ,是无风险时资产的收 m i 总风险不能超过预定的一个定值 Q , 这里的 Q 是指基金 βε益率 ,是证券 i对市场组合收益率的敏感程度 ,表示 i i ) 投资商所能够承担的最大风险 ; 2 所有资产的权重和为 ( ) 该资产自身的扰动。该模型有如下假定 : 1 不同证券收 1。该模型如下 : 33 J IN GY IN GGUAN L IZH E [经营管理者 ] n 度越大非系统风险越小以致被消除 , 重点起作用的是系 m axR= ? wR p i ii = 1 统风险 ,模型 3 完全是系统风险的作用 ,更好地表达了此 2 nn点。对于收益也被分解为两项 , 一个是无风险时的资产 σρσσ st= ? ? w w?Q 模型 1p i j ij i j i = 1 j = 1 收益 ,一个是受市场组合收益率影响的收益。 n ? w = 1 w ?0 , i = 1 , 2 , 3 ni i ss i = 1 σσ我们同样用 、分别表示资产和投资组合的系统i p s其中 , R 表示第 i种资产的收益率 ; R表示基金投资 i p α βσβ ε σ风险 ,把 R =+ R+ , =分别代入模型 2 的 i i i m i i i m σ组合的收益率 ; W 表示第 i种资产投资的权重 ;表示第 i i 目标函数和约束条件得 : ρi种资产投资的标准差即投资的风险 ;表示第 i种资产 ijs 2 s s n n n n (σ)ρσσm in = ? ? ww = ? ? p ijij ij i = 1 j = 1 i = 1 j = 1和第 j种资产的相关系数 ; Q 可以从基金投资商的历史数 2 ρββσww 据中得到 ,在分析了历史数据后确定一个和本投资组合 ijij i jm n 项目合适的最大风险。 st R= ? wR ?K 模型 4p i i i = 1 2. 风险最小化投资组合的数学模型 根据马科维茨的n )w= 1 w?0 , i = 1 , 2 , 3 n ? i i 理论 , 我们也可以构建一个在一定 i = 1 的投资收益率下的投资组合风险最小化为目标的投资组 模型 4 同样剔除了非系统风险的影响 ,比模型 2 更好 的表达了真正的风险收益。 )合模型 ,约束条件有 : 1 投资组合的总收益率要大于一个 四 、对单指数风险 —收益模型的应用分析 确定的最小收益率 K,这个收益率也是由各个基金投资商 1. 确定投资对象 首先是确定选择什么基金作为分) 根据自己的情况来确定的 ; 2 所有资产投资的权重之和 析对象 , 我们可借 为 1 ,模型如下 : 助于已公开的基金信息 ,通过收益、净资产、夏普比、特雷 2 nn诺指数、詹森指数等系列指标 , 对它们的绩效进行全面的 σρσσ m in= ? ? w wp i j ij i j i = 1 j = 1 ,从中确定表现较好的几只基金 ; 其次是确定基金中 n st R= ? wR ?K 模型 2的证券 ,分别从各个基金的投资持仓中 , 选取增仓比例靠 p i i i = 1 n ) ? w = 1 w ?0 , i = 1 , 2 , 3 n,符号同模型 1。i i i = 1 , 前的几只股票 构成一个投资组合。 三 、根据单指数建立的风险 —收益模型 2. 分析过程单指数模型是表述投资回报率的一个统计回归模 求解上面的模型 ,需要知道下面几个数据 : 市场投资 型。夏普关于风险消除的分析 , 有必要在投资组合最优 β ; 无风险时资产 组合的收益率 R ; 不可分散风险度量 m i 化前 ,从总风险中分解出系统风险。如果通过组合投资 , α。对于市场投资组合的收益率 R来源于资 的收益率 单个资产 i和投资组合的非系统风险我们都消除了 ,我们 im 本市场一组资产的多元化投资组合。首先 , 根据组合中ss σσ 用 、分别表示资产 i和投资组合的系统风险 ,把 R =i p i β α 各股票的周收益率 , 通过回归分析得到相应的 ,, 根i i s αβεσβσ+R+,=, 分别代入模型 1 的目标函数和 i i m i i i m α β、 和 R求出基金中每股股票的收益率 R ; 据得到的 ii m i 约束条件得 : 其次 ,计算模型中投资组合的收益 R , 投资组合的风险p n n 2 (αβε) m axR= ? wR = ? w+R+= ?σ p i i i i i m i ;最后 ,经过非线性规划求解得到各股票的投资比例 ,p i = 1 i = 1 即最优的投资方案。n n αβw + ? wR i i i m ii = 1 i = 1 参考文献 :s 2 ss nnnn (σ) ρσσw = ? w w= ? ? ? p i j ij i j i i = 1 j = 1 i = 1 j = 1 [ 1 ] 郭多祚. 数理金融 —资产定价的原理与模型 [M ]. 北京 : 清华大学出 版社 , 2006. ρβσβσ?Q 模型 3 ws. t jijimjm [ 2 ] 张元萍. 数理金融 [M ]. 北京 :中国金融出版社 , 2004. n w ? i[ 3 ] 田兵 ,陈晓红. 基金投资组合中的单指数模型 [ J ]. 中南工业大学学 i = 1 ( ) 报 2001 , 12 . )w?0 , i = 1 , 2 , 3 n i 该模型和模型 1 相比 , 发生的变化是在投资的风险 中也就是标准差中把非系统风险剔除 , 但比模型 1 更能 作者简介 : 表达基金投资收益和风险的意义 , 因为如上所述 , 在投资 ( ) 刘艳侠 1983 - ,女 ,中南财经政法大学信息学院 2007 级研究生 , 中通过组合各个投资资产的非系统风险被分散 , 分散程 研究方向为金融与金融数学。 34