“折折叠叠”话探究——2005年高考广东卷第20题的分析与思考

“折折叠叠”话探究——2005年高考广东卷第20题的与思考 “折折叠叠”话探究——2005年高考广东卷 第20题的分析与思考 2—36数学教学2006年第2期 "折折叠叠"话探究 一 2005年高考广东卷第20题的分析与思考 257091山东省东营市第一中学苟玉德苏清军 着名数学教育家波利亚说过:"好问题同某种 蘑菇有些相似,它们大都成堆的生长,找到一个 以后,你应当在周围找找,很可能在附近就有几 个".受波利亚找"蘑菇"方法的启发,笔者发现 2005年数学高考广东卷第20题就是一个很好的 问题. 题目:在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD的长为2,宽为1,AB,AD边分别在 轴,Y轴的正半轴上,点与坐标原点重合(如图 1).将矩形折叠,使点落在线段DC上. (I)若折痕所在直线的斜率为七,试写出折痕 所在直线的方程; (?)求折痕的长的最大值. 图1 此题构筑了新颖的命题载体,回避了传统的 以静代动的研究轨迹问题的方法,搭建起一个让 学生真正"动"起来的研究平台,旨在倡导动手实 践,自主探索的意识和能力,试题也因此充满 了"活"力而更加"精彩",现对原题尝试粗浅的探 索. 1.高考题的解析 题目中(I)折叠的实质就是轴对称知识,利 用其几何关系易于解答,不要忽略七=0时的特 殊情形.设折叠后点A落在DC边上对应的点为 G,由图可知七?0. (1)当七=0时,此时点G与点D重合,所以 折痕所在的直线方程Y=去; (2)当<0时,设c(a,1),因为A与G关于 折痕所在的直线对称,.'.koc?=-1,即二? 七=-1,.'.a:一七+故G点坐标为G(一后,1), 0<-k?2,即一2?<0.从而折痕所 在的直线与OG的交点(即线段OG的中点)坐标 为(一等,吉).故折痕所在的直线方程一1= (,+:+,且一2?七<0. 由(1),(2)得折痕所在的直线方程为 Y=+?(-2??0). 对于(?)的解答,可以借助实验操作的辅助 作用解决问题,通过动手折叠矩形纸片,观察留 在纸片上的痕迹,不难直观地发现下述变化规律: 如图1所示,当点B与重合时,点F恰好为线 段B的中点,此时七=O,fEFf=2;当点F在 BC上由线段B的中点一B运动时,点E在 (=)D上,折痕F的长度逐渐增加;当点F在B(二) 上由B—运动,且点E在(=)D上时,折痕EF 的长度先减后增;当点F在BO上由B—运 动时,且点E在DC上,折痕EF的长度逐渐减 小,直至点G与重合.通过上述折纸实验,考 生把握了数学规律的内在本质,掌握了含动态因 素的变化规律,从而探索出折痕EF的长度,位 置与七的内在联系,使问题得以直观地解决. 当点G与C重合时,=-2.由(I)知线段 EF的直线方程为 Y=-I-=—二(-2?七?0).(木) 又当点E与D重合时,点E的坐标为(0,1),由 (木)式得=-1;当点F与B重合时,点F的坐 标为(2,0),由(木)式得七=-2十,//3. (1)当一2+~/3??0时,点E在OD上, 点F在JE}上(如图2). 由(木)式得 2006年第2期数.学教.学2—3 E (.,),F(2,).设.厂()=IEEl,则f(k)=4k.+4,(一2+ ?k?0)是关于k的单调递减函数, . ? . f(k)?.厂(一2+~/)=32—16~/; D E „„„一百 图2图3 (2)当一1??一2+时,点E在OD 上,点F在OB上(如图3). 由(木)式得 E (.,),F(一,.), 则.厂()=IEFI=麦, ? . ?=盟, 令,()=0得=一X/2. . ? . 当一1?k<一时,,)<0,,() 是关于的单调递减函数,则f(k)?.厂(一1)= 2;当一??一2+时,if(k)>0,.厂() 是关于k的单调递增函数,则f(k)?,(一2+ )=32—16. (3)当一2?k?-1时,点E在DC上,点F 在OB上(如图4). 图4 由(木)式得 EI-k2 - , 1 ),F(一,.), 则,()=IEFI=壶+1(一2??-1) 是关于的单调递增函数,故 .厂()?.厂(一1)=2; 综上所述,f(k)=fEEl.的最大值为,(一I) 与.厂(一2+,//3)中的较大者. .'32—16,//3=16(2一,//3)>16(2— 1.75)=4,.'.f(-1)<.厂(一2+,/,3), 故折痕EF的长度的最大值为f(-2+,//3) = ,/32—16,/,3=4V2一,/,3=2(,/6一,/2). 2.高考题的探究 "探索是数学的生命线",本例折纸中的几何 探究极富启发性,开放性和再生性,具备较大的 自由度和探索空间.为了深层次挖掘折纸活动 的智育价值,本文进一步探究如下: 探究一:一个长方形纸片ABCD,其长D 为a,宽AB为b(a>6),将矩形折叠,且折叠后 ,此时将B记为B(EF为 点B始终在AD边上 折痕),过B作B上AD交EF于点,观察折 痕EF的分布规律,并求点的轨迹方程. 解析:如图5,反复折叠后可以发现折痕EF 边缘在纸面上围成一段抛物线弧,这就是点 的轨迹.因为?BEF是由?BEF对折而得到 的,因而这两个三角形关于折痕EF对称,所以 折痕EF是BB的垂直平分线.连结BT,则有 IBTI=IBI,根据抛物线定义,可知点=『1的轨迹 是以B为焦点,AD为准线的抛物线的一段.如 图5,以AB中点0为原点,AB边所在直线为 轴建立平面直角坐标系,由ICDI=IABI=b, 得点的轨迹方程是2=一2(0??6). 图5 题中的抛物线实质是线段EF所形成的包络 曲线,点正好在此包络上,故折痕EF就是抛物 线上过点的切线(可参照全日制普通高级中学 教科书(必修)第二册(上)第124页阅读材料《圆 锥曲线的光学性质及应用》证明,此处从略,下 同). 探究二:若把探究一的条件改为"交EF或 EF的延长线于点",此时不难想到的取值 范围由【0,6]变化到【0,0】,但当点在F延长 线上时,其轨迹是否还是=-2by呢? 解析:从长方形纸片上已不能得到直观验证, 但经过前面的分析不难断定问题的回答是肯定 的.如图6,因为痕迹EF所在直线仍是BB的 2—38数学教学2006年第2期 对称轴,所以仍有IBTI=IBTI,故点仍在 =一 2by上,但其范围却扩大了,显然当折叠 后点B落在AD的延长线或反向延长线上时,便 可得=-2by的完整图象,从这里可以看出抛 物线=-2by的形状,只与其焦参数即点B到 AD的距离有关,而IADI的取值仅具体确定所 求抛物线图象的范围. . , \' 图6 探究三:以方变圆,可得2003年全国高中数 学联赛第一试第l5题. 一 张纸上画有半径为的圆(=)和圆内一定 点尸,且(=)尸=a(a<),折叠纸片,使圆周上 某一点尸刚好与尸点重合+这样的每一种折法, 都留下一条直线折痕EF,设折痕EF与OP的 交点为,当尸取遍圆周上所有的点时,求点 的轨迹. 解析:反复折叠后可以发现折痕EF的边缘 在圆内围成一个空白椭圆.如图7,以点(=)为原 点,OP为轴正方向建立平面直角坐标系,则 P(a,O).连结(=)尸交EF于点,连结PP,因 为折痕EF是线段PP的中垂线,所以IPI= 』TP,lj根据定义知,当尸取遍圆周上所有点时, 点的轨迹是分别以0,尸为左,右焦点的椭圆, 其方程为 占, P . Qta 图7 折痕EF就是过椭圆上点的切线. 探究四:将探究三中的"圆内一定点尸且OP =a(a<)"改为"圆(=)外一定点尸,且(=)P= a(a>)",其余条件均相同,结论会发生什么 变化? 解析:反复折叠后可以发现折痕EF的边缘 在纸面上围成一条双曲线.如图8,连结PP, 折痕F还是线段PP的中垂线,所以I尸I= ITP,lj则llTOI—I尸ll=llTOI—IP,Il= IOPI=R,根据双曲线的定义知点的轨迹是 一 南(害)((鲁).,.占, . 图8 3.对试题的评价 本题涉及函数的导数,函数的单调性和极 值,直线的方程,对称等知识,渗透了数形结合 与分类整合等数学方法,考查了思维能力, 运算能力,实践能力和创新意识,具有一定的思 维深度.该题折叠的探索过程主要不是利用逻 辑推理,而是利用动手操作进行,同时,学 生具有扎实的数学功底,较强的探究能力,丰富 的想象能力及综合分析问题的能力.解题时要 切实把握几何图形的运动过程,并注意运动过程 中的特殊位置,掌握在"动"中求"',在"静"中 求"动"的一般规律.而将探究轨迹方程融于操 作实验中,立意新颖,形态鲜活,知能并举,通过 设置动态,主动,多元的学习环境,让学生在多样 化的操作活动中体验数学的发现过程,感悟数学 思想方法和本质,帮助他们获得知识,技能,情感 与态度的和谐发展,具有素质教育的良好导向. 另外,本题倡导研究性学习,较好地体现了探究 与创新的新课程理念,能够有效激发考生的学习 愿望和创新精神,是一道考查研究意识,创新意 识和实践能力的,比较成功的压轴题. 南