34 向量组的极大线性无关组ppt

34 向量组的极大线性无关组ppt ?3.4 向量组的极大线性无关组 这一节将在上一节建立的概念基础上，转 Rn而讨论 中两个向量组T1 : 1 2 r ， : T 2 1 2 s之间的关系。从理论上研究在一向量组中，哪些向量在线性组合的意义上“独立”即线性无关。3.4.1 等价的向量组 T1 定义3.5 若向量组 中的每一个向量都可由向量组T 2 线性表示，则称向量组T1可由向量组T 2线 T1 T2性表示。若向量组 和向量组 可互相线性表示，则称两个向量组等价。 T2向量组 可由向量组 线性表示是指: i T1 ， T1 k1i k i 1 2 s 2i i 1 2 r k si由矩阵分块运算，上述 r个式子可表示为 k11 k12 k1r k k 22 k 2r 1 2 r 1 2 s 21 ， k s1 k s2 k sr即向量组 T1可由向量组T 2线性表示等价于存在 s r矩阵K sr，使 1 2 r 1 2 s K(3.8)i i R n 当 是 中的列向量时，(3.8)式是一个 T1 T 2 K sr M rs矩阵方程。若 和 等价，则存在矩阵 和使下列两式同时成立: 1 2 r 1 2 s K 1 2 s 1 2 r M 向量组的等价关系具有下列三个性质:(1)自反性: 一个向量组与其自身等价;(2)对称性:若向量组T1和向量组T 2等价，则向量组 T 2和向量组 T1也等价;(3)传递性:若向量组 T1 和向量组 T 2 等价，若向量组 T 2 和 T3 等价，则向量组 T1 和 T3等价。 例8 取 R 中向量 T : e e e 和 T2 : e1 e 2 e3 ， 3 1 1 2 3其中 b1 b2 b3 T ei ， 123 。则向量组 T1和向量组 iT 2 等价。 证 首先 e e e e e e ，即 e e e 是 e e e 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3的一个部分组，因此 T1可由T 2 线性表示，如 e1 e1 0e2 0e3 0 又 b e b e b e 1 1 2 2 ， 3 3所以 T 2又可由 T1 线性表示，故向量组 T1和向量组T 2 等价。 定理3.3 设 R n 中两个向量组T1 : 1 2 r T2 : 1 2 s ，若向量组T1 可由T 2 线性表示，且 r s ，则向量组 T1 线性相关。作为定理3.3的逆否命，我们有 推论1 若向量组 1 可由向量组 2 r 1 2 s线性表示，而 1 2 r 线性无关，则 r s有 。 如果推论1中的两个向量组等价，又均是rs rs线性无关的向量组，则由推论1， rs 且 ，从而有 。故有: 推论2 若两个线性无关的向量组等价，则它们所含的向量个数相等。3.4.2 向量组的极大线性无关组 T 1 2 r 定义3.6 若向量组 的一个部分组满足 1 2 r(1) T 线性无关; 1 2 r 线性表示，则称 1 2 r 是向量组 T 的一个极大线性无关组。 注意到 1 2 r T，所以 可由 T 1 2 r线性表示，故 T 的极大线性无关组是 T中的和 T等价的一个线性无关组。又任取 T 中的一个不属于向量组 1 2 r 的向量 (若有的话)，由 是 的线性组合，可知 1 2 r 1 2 r线性相关，故向量组 1 2 r 中加进T 中任何的一个其他的向量，则变为线性相关组。这说明 1 2 r 是按线性无关的性质 ，在T中能取到一个含向量数目最大的向量组。 1 1 0 1 2 2 2 3 4例9 求向量组 4 0 的极大线性无关 4组。 1 0 1 1 2解 ，故部分组 线性无关。又 和 对应 1 2 3 1 2的分量不成比例，所以部分组 1 2 3 线性无关。 1 2又 ，故 线性无关从而 1 3 是向量组的极大线性无关组。同理可验证， 2 3 也是向量组的极大线性无关组。由此可见，向量组的极大线性无关组不是唯一的。 Rn 例10 求向量组 的一个极大线性无关组。 e1 e 2 e n n解 已知 中基本向量组 x n T 线性无关 x1 x 2 R又 中任一 n 维向量 n 都可表示为 x1e1 x2 e2 xn en 由定义 3.6 e1 e2 en 是Rn的一个极大线性无关组。 R n 中的极大线性无关组也不是唯一的，例如n 2时，平面R 2中任意两个不共线的向量 1 2 均是 R 2 的极大线性无关组。 由定义 3.6易推知一个向量组的任何两个极大线性无关组都是等价的。由定理3.3的推论2，这些极大线性无关组所含的向量个数相等。从而有: 定理3.4 一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数 是唯一确定的数。我们把这个确定的数定义为向量组的秩。 定义3.7 一个向量组的极大线性无关组所含的向量个数，称为向量组的秩。 用秩的术语，定理3推论2可表述为:等价的线性无关组秩相等，由一个向量组等价于它的极大无关组，再由等价的传递性，两个等价的向量组各自的极大线性无关组也是等价的向量组，从而更一般的结论是: 定理3.5 等价的向量组秩相等。 定理 5 的逆命题不成立，即秩相等的向量组不一定等价。 因为 是 的一个极 R n 中的基本向量 e1 e 2 e n R n 大线性无关组，由定义7， n的秩是n ，作为这 R个结果的推论，我们有结论: 任意 n 1 个 n维向量一定线性相关。3.4.3 向量组的秩和矩阵秩的关系 在?3.1中，我们已经看到以 R n 中的向量组 1 2 ... m 为列，可以得到矩阵 A 1 2 ... m 这里主要关注A 的列向量之间的线性关系和秩之间的关系，及如何借助于矩阵理论讨论A 的列向量之间的线性关系的问题。 定理3. 6 矩阵A 的行初等变换不改变A 的列向量组的线性相关性和线性组合关系. 证 设矩阵A 用一系列行初等变换化为矩阵B ，即: 1 2 ... m B 1 2 ... m A则存在可逆矩阵P 使得 PA B从而有下列关系 m(1)若有不全为0的数 k1 k 2 ... k m ，使得 k i i 0， m i 1两边左乘矩阵P，有 k i P i 0 ，即 k 0 . m i i i 1 m i 1 反之，若存在k k k ，使 k 0，两边左 1 2 m i i m m i 1乘 P 1，有 k 0 k P 0 ，即 。 1 i i i i i 1 i 1 m k i 1 i i 0. 因此向量组 1 2 ... m 线性相关 1 2 ... m 线性相关。 2 若 A的列向量之间存在着某种线性关系，如一个列是其余列的线性组合等。它的一般形式是存在向量X ，使 AX 0 ，左乘矩阵 P 有 PAX 0即 BX 0。 从而 B 的列向量之间也有同样的线性关系，反之也成立。 例11 讨论向量组 1 2 3 4 0 1 1 1 1 2 3 4 1 3 0 3 0 7 3 1的线性关系 。 解 取矩阵 A 1 2 3 4 ，用行初等变换把A化为行形 B : 1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 B 1 0 A 0 0 1 3 0 3 0 0 1 2 1 2 . 0 7 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0矩阵B作为行标准形， B 3 . B 的列之间的线 r性关系是一目了然的。 B 的列向量 1 2 3 4 中含有三个4维基本向量1 e1， 2 e2 ， 3 e3 ，再加上 0120， 4 T故 B 的列向量组的极大线性无关组为 1 2 3 ，且 4 0 1 2 2 3 . 所以B 的列向量线性相关，由定理6， 的列 A向量 1 2 3 4线性相关，且 1 2 3为其极大线性无关组，4 0 1 2 2 3。 定理3.7 矩阵 A的秩等于矩阵 A列(行)向量组的秩。 证 设矩阵 A为 m n矩阵， A r，用行初等 r变换把A化为行标准形: A 1 2 ... n B 1 2 ... n ，r B r A r 。而 B的非零行数目为 r ，个列向 r量中含m 维基本向量 e1 e2 er，它们是每一行第一个非零的数所在的列，其余列 i 至多只有前 r维分量非零，故 i可表示为e e e 的线性组 1 2 r合，因此e e e 是的列向量的极大线性无关组. 1 2 r所以 秩1 2 ... n r r B .由定理6，列向量的秩与 B 的列向量的秩相等， A即秩 ... r A r . 1 2 r由 r A r A ，把上述证明用在 A上，可证明A的秩 T T等于A的行向量的秩。 推论 设 A为 m n矩阵， A r，则有r(1)当 r m 时，的行向量组线性无关;当 r m A时， 的行向量组线性相关。 A(2)当 r n 时， 的列向量组线性无关;当 r n A时， 的列向量组线性相关。 A 特别地当 A为n 阶方阵时，A的列(行)向量组线性无关的充要条件是 A 0。 推论建立的结果是我们讨论一个向量组线性相关性的有效方法。结合定理6，我们就可以讨论向量组的各种相关的问题。 1 2 1 0 4 5 2 2 例12 设 1 1 5 2 2 3 4 ， 1 0 3 6 1 2 2 2 0(1)讨论向量组 1 2 3 4 的线性相关性;(2)求 1 2 3 4 的极大线性无关组;(3)把其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。 解 取A 1 2 3 4 ，用行初等变换把 A化为 行标准形: 1 2 1 0 1 2 1 0 1 0 3 0 0 1 2 0 4 5 2 2 0 1 2 0A 1 1 5 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (1) A 3 n 4 ，故向量组 的线 r 1 2 3 4性 相关性。 (2) 的行标准形中，基本向量 e1 e2 e3 在第 A1，2，4列，故A 的 极大无关组为 1 2 4 。 (3)其余向量为 3，由标准形得 3 3 1 2 2，从而 3 3 1 2 2. 例13 设R n 中的向量组 线性无关， 1 2 n证明向量组 1 1 2 2 2 3 n 1 n 1 n n n 1，当 n 为奇数时线性无关;当 n 为偶数时线性相关. 证 由题目条件， 向量组 可由向 1 2 n量组 1 2 n 线性表示.具体为: 1 0 0 1 1 1 0 0 1 2 n 1 2 n 0 1 1 0 0 0 0 1 n n 当向量组 1 2 n 线性无关时，矩阵是 1 2 n 可逆矩阵，由矩阵秩的关系 1 0 0 1 1 1 0 0 r 1 2 n r 0 1 1 ， 0 0 0 0 1 nn 1 0 0 1 1 1 0 0 C 0 1 1 0令 ，则 C 1 1 n 1，于是 0 0 0 1当 n为奇数时线性无关;当 n 为偶数时线性相关。