[训练]导电介质内传播电磁波特性研究[1]

[训练]导电介质内传播电磁波特性研究[1] 导电介质内传播电磁波特性研究[1] 第 18卷第 1期湖南文理学院学报(自然科学版) Vol. 18 No. 1 2006年 3月 Journal of Hunan University of Arts and Science(Natural Science Edition) Mar. 2006 文章编号:1672.6146(2006)01.0019.04 导电介质内传播电磁波特性研究 文盛乐 1, 李泽军 2, 杨江河 2 (1. 湖南师范大学物理与信息科学学院 , 湖南长沙 410081; 2. 湖南文理学院物理与电子科学系 , 湖南常德 415000 ) 摘要: 论述了电磁波在导电介质内的传播方向、 与电场有关的能量、穿透深度以及良导体内电磁波 的相速等问题, 讨论了电磁波在导电介质中传播时, ζc/ωε对导电介质电性能的影响 . 对于良导体和不 良导体 , 分别给出了电磁波穿透深度的计算方法 . 研究结果对如何根据电磁波的频率来处理导电介质 的电性能问题具有一定的理论研究和实际应用意 义. 关键词: 导电介质; 电磁波; 传播; 频率 中图分类号: O 441 文献标示码: A 文献[1]讨论了良导体中传播的电磁波的一些 特征, 给出了良导体情况电场与磁场的关系 (方向、 大小及位相等 ), 不过是在假设了复波矢 k′′=β + i β //α(β =βnα=α ， α中，nn 为波传播 和衰减共同方向的单位矢量 )而得出. 然而, 这个假 设 β // α在一般情况下对良导体是否总成立还有待 证明. 同时, 在非良导体情况 , 其电磁波传播的特 点又是怎样的呢,本文对此将做详细讨论, 得出了 电磁波在导电介质中传播的其它一系列重要性质. 1 导电介质内电磁波传播的方向及穿 透深度问题 一般地, 导电介质中传播的电磁波应来自导体 外的波源, 波源产生电磁波后经空间 (真空或绝缘 介质)传到导电介质表面 . 仍以平面电磁波为例 (因 任意周期波都可作平面波分解), 它在真空或绝缘 介质中传播时的波矢量 k为实量. 沿用文献 [1]的坐 标系及相关参量 , 设导电介质的电导率为 ζc, 介电 常数为 ε, 磁导率为 μ, 复波矢为 k′′=β + iα , z=0平 面为导电介质的表面且 z轴正向指向其内部;电磁 波的角频率为 ω, y=0平面为入射面 . 利用电磁场的 边值关系, 不难得到: kx ′′= βx+ iαx = kx, k′′ y =βy+ iαy = ky = 0 , (1) 于是有: β =α = 0，α= 0，β y α kk′′. ′′ α βx 2 +βz 2 . α=αzez, y xx =α e，β =β e zz xx = 22 . β .α + i2βα 22 + i2βα =ωμε z zz = ′′ kk = ，. xx . +β e; zz . 22 . (2) =βx+βz.. . ζc (1 + i ωε ); . . 22 . αz =ω με ， . = ωμζ c/2 . βα . 进入到导电介质内的电磁波 , 总是 沿导电介质表面的内法线方向衰减的. 则有: 11ζc2 βωμε [(1( + ) +1)] 2 = 2 ωε 1ζ 21 αωμε [(1( + c) .1)] 2 = 2 ωε ζc 1)当 ωε ..1时, 22 2 ζc = 如果 β // α , . . .. (3) . . . . + i2 . ωμε + i) ? iωμζ c, (4) β .α βα ( ω 即有 2 z 22 ， zz 12 βx+β .αz? 0 βα = ωμζ c = 12 ζc 12 ωμε . k; (5) 2 ωε 2 2222 2 而 kkkk + =β , 所以, => xzx x βzαz. βx 2 (6) 要使 βzαz. βx 2与 βx 2+βz 2?αz 2同时成立, 则必须有: βz. βx, (7) 因此, 自良导体外入射于良导体表面的电磁波 , 不 论入射角为何值, 透入到良导体内的电磁波总是沿 良导体内法线 n方向衰减且紧靠内法线 n方向传播. 于是得到: β ?β e，β ?α =αn， zz . . , (8) ωμζ 2 . βα ?? c;= δ . 2 ωμζc . 20 湖 南 文 理 学 院 学 报(自 然 科 学 版) 2006年 其中 δ为穿透深度. 2)当 ωζε 时, 因 c ..1 ζc ) 222 2 β .α +i2 . =ωμ(1 , (9) βα ε+i ?ωμε ωε 则有: 22 2 ε，βα . (10) β.α?ωμ. ?0 对于 β?α?0, 因 α=αzez, 这又要分几种情况讨论: ?)若 αz?0, βz?0, 则 β?ωμε , 导电介质 过渡到绝缘介质; ?)若 αz?0, βz?0, 说明波沿导电介质的表面 法向衰减而靠近表面方向传播; 这时, 222 22 β .α ?ωμ, = ? β.ωμ= εαα ε xz zx (11) 22 ε. k .ωμ=ω μεsin θ με, β=k , x 11 xx 式中μ1 和ε1为导电介质外的绝缘介质的介质常数, θ 为入射角. 这种情况仅当 ε1 sin θ>ε时才可能发 生( ε1 sin θ ε? 时, αz=0或为虚量, 已不再是衰减 常数了). 此时穿透深度 1 11 1 δ= ? = . (12) α x 22 ε ωμε θμ k .ωμ11 sin .ε ?)若电磁波为正入射, 即此时有 β// α// n, 则 (3)式仍真, 于是, αα ε 11 ζc 2 12 . = z =ω μ{[1+ () +L.1]} ?. 22 ωε . 1ζ 1 ζμ . c 2 c ωμε[( )]2 = ;. (13) 4 ωε 2 ε. . 11 ζc 2 12 . ββz =ω με{[1+ () +L+1]} ?. = 22 ωε . 1 ζc 2 . ωμε[1+ ( )]. . 8 ωε . 12 ε 穿透深度: δ= α? ζ μ (14) c 它与电磁波的频率几乎无关, 表现出了此时导电介 质对电磁波的频率响应不敏感. 当ζc/ωε?0, α?0, β?ωμε 时, 导电介质过渡到绝缘介质. 3) 当ζc/ωε,1时, 此时的情况, 讨论起来比较 复杂. 倘若仍有 α// β , 则β和α由(3)式表出, 并且 必须将相应的量代入才能先算出 β和 α, 而后确定 穿透深度等其它待求量. 当ζc/ωε=1时, 可求得: . με(1+ 2) με(2 .1) βω = ,αω ; . = 22 . . 112 2 . . (15) δ= = = α ωμε(2 .1) ωμζc (2 .1) . . 2 良导体内电磁波的相速 导电介质内电磁波电场的平面波解形式为: ..xi(β. .ωt ) (,)t =Ee α ， (16) Ex e x 在良导体中, 由情形 1)节(0) 知 , 平面波形式的电、磁 场为: E(,)xt =E πii()40ee,eztcαωμζ...?xBβnE× ， (17) ω 它是一衰减的、不均匀的平面波. 根据相速的定义, 可得良导体中电磁波的相速: ω 2ω 2 ωε 2 , (18) υp =? = = 2υ β μζc με ζc με 式中υ=1 为电磁波在绝缘介质中的速率, 可见, με 电磁波在良导体内传播得是较缓慢的. 例如, 电导 率ζc=5.8×107 S/m的铜, 电磁波频率 ν=1010 Hz时, υp?4.15×104 m/s, ν=50 Hz时, υp?2.94 m/s; 而对ζc=1 S/m的水, ν=50 Hz时, υp?2.24×104 m/s.它们都远小 于真空或绝缘介质中电磁波速度. 3导电介质中电磁波的能量问题 考虑导电介质内电磁波的平面波解形式(16)式, 其中已令 k′′=β+iα;沿用平面电磁波的电、磁场 关系 B= k ω′ ′′ ×E且仍设 β// α并都沿表面内法线 n 方向, 则有: ′=+ B= με′nE× , εε i ζω c . (19) 两边取模后再平方, 可得; B 2222ccζζ=μ ε+i E, (20) = ( +i nE με ) × ω ω 2 22 令 ε= +i, 2 =a +b , 而由( ε′)2 = ′ ab ε′ = a +ib ζ ε′=+ε i ω c =a2 .b2 +i2ab , 得到 a2 .b2 =ε, ab = ζc21 2 ζc221 2 ζc2 ω , a = (ε+ ε+( )) b = ( ε ε+( )) . , .+ 22 ω 2 ω 于是, 2 B 22 2 ζc2 2222cζE = ε+() ε′ =a +b = ε+(); . ωμ ω (21) (21)式说明磁场能量和与电场“有关”的能量还是相 等的. 为了方便, 不妨把与电场有关的能量分解为 向前传输的能量和被消耗(转变为焦耳热)的能量来 第 1期文盛乐, 李泽军, 杨江河 导电介质内传播电磁波特性研究 21 对(21)式作出如下的讨论: 1)当 ωζε c . 1, 即在良导体情况时 ,将(21)式的 第一式作展开: 2 ζ 2 ζ ωε 2 ζ ε+ () 1() [1+ ω ccccωζω=+= 1 ωε 2 .ζ 1 ωε () ?ε , (22) 2 ζ ... 2cccωζ++.. 与电场有关的能量密度: 1 ζ 1 ωε we? = 2 ω 22cc4εζ+EE 1 ζ 1 ωε 22cc4εωεζ+E (23) ε E , 2 由复介电常数的物理意义可知, 上述第一项为电磁 波衰减的能量, 它转化为良导体中的焦耳热;第二 项则为电磁波向前传输的能量中的电场能量部分 . 显然, 第一项远大于第二项 . 若将(23)式与(21)式的 第二式进行比较, 便得到: B 22, (24) . ε E μ 说明在良导体内电磁波传输的能量主要是磁场能量. (24)式亦可由(17)式直接得出. 2)当ζc/ωε . 1时, 仍以 β // α为例, 将(21)式 的第一式展开时有: 2 ζc 2 ζc 2 ε+ () =ε 1+ () = ω ωε 1 ζ 21 ζζ , (25) c cc ε[1 + () +...] ?ε + 2 ωε 2 ωε ω 与电场有关的能量密度: 1 21 ζc 2 ζc we?ε E + E = 2 4 ω ωε 1 21 2 ζc 2 (26) ε E +ε E ( ), 2 4 ωε 其中第二项远小于第一项, 说明电磁波能量衰减很 少, 绝大部分的能量仍能传播出去 ; 并且当 21 B 2 E ζc/ωε?0时, 有 wm = 2μ? we ? 2 ε ;wm=we正是 绝缘介质中平面电磁波能量的传输特点 , 即 ζc/ωε?0时, 导电介质过渡到绝缘介质. 3) 当ζc/ωε=1时, 22 B 2 2 ζc2 =ε E ε+ () = 2ε , , (27) ω 2μ 2 此时, 与磁场有关的能量仍大于传播的电场能 , 而 与电场有关的能量中 , 一部分向前传播出去 , 另一 部分则消耗掉 (转化为焦耳热 ), 并且这两部分的量 值相等. 4 有关ζc/ωε的进一步讨论 从前面的讨论可以看出 , 讨论电磁波在导电介 质中传播时, ζc/ωε是一个十分重要的量 (实为一无 量纲的纯数). ζc/ωε . 1时, 导电介质为良导体. 而 ζc/ωε ..时, 导电介质为不良导体 , 甚至会过渡到 绝缘体. 例如金属铜 , 其电导率 ζc=5.8×107.S/m, μ=μ0, 取 εr=8 (金属的相对介电常数在 1,10之间), 此时 满足ζc/ωε . 1条件的是角频率 ω . 8.2×1017 rad/s, 频率 ν . 1.3×1017 Hz, 即在此频率范围时 , 铜是良 导体. 当频率 ν=6×1010 Hz时, 电磁波在其中的穿透 深度δ?2.69×10-7 m, ν=50 Hz时, δ?9.4×10-3 m.可见, 频率越高, 穿透深度越小 , 铜导体对电磁波的屏蔽 越强. 若 ν=1020 Hz,即为 γ射线时, 不难证明 ζc/ωε?1.16×10-3 . 1. 考虑 γ射线正入射时 , 利用 (14)式, 可求得此时的穿透深度: 12 ε ; (28) δ= ? 10c2.610μ.?×(m) αζ 若利用(8)式, 则 δ= 2 (m) , 显然 ωμζ 12c6.6110.?× 其误差太大. 可见, 对于同一种金属物质 , 它对频 率不同的电磁波表现出的电性质会有所不同. 又如, 对于电导率 ζc?1 s/m, μ?μ0的水, 其相对 介电常数[2], 在低频时 εr?80,在高频时 εr?8. 当 10 9 ζ c ω . 1.4×10 rad/s , ν ..2.25 ×10 Hz 时, ωε ..1 成立, 即此时水为良导体 , 频率为 50 Hz的电磁波, 在其中的穿透深度约为 71.2 m;若是频率为 1012 Hz 的微波, 则有: ζc .3 ? 2.25 ×10 . 1. (29) ωε 计算穿透深度时只能利用 (3)式或(13)式(仍设为正 入射), 由它们都可得到: 1 .2 δ= ? 1.5×10 m. (30) α 如果利用良导体的穿透深度公式 (8)式, 则会得到 2 ? 0.5×10 .3m, 它与(30)式的值相差几乎 δ= ωμζ c 有30倍, 显然是不准确的. 上述讨论说明:对于象铜这样的金属 , 在无线 22 湖 南 文 理 学 院 学 报(自 然 科 学 版) 2006年 电波乃至光波 (ν?1014 Hz范围)频率下都是良导体 , 而在 X射线(ν?1017,1019 Hz)时就表现为不良导体, 对于 ν?1020,1022 Hz的 γ射线, 铜就完全可视为非 导电的绝缘介质了;至于水, 它对无线电波及米波 来说是良导体 , 而对厘米波则是不良导体 , 对于光 波, 它就完全表现出为绝缘介质的性质[3]. 电磁波在导电介质中传播时 , 导电介质表现出 的电性能是把它视为良导体还是视为不良导体, 往 往要根据解决问题所的精度来确定. 在一般情 c 况下, 若导电介质的 ζ>100 , 我们将它视为良导 ωε 体;若 ζc < 1, 我们可将此导电介质视为绝缘体; ωε 100 当 1 < ζc <100 时, 称此导电介质为半导体. 100 ωε 5 结束语 本文论述了导电介质中电磁波的传播方向、与 电场有关的能量、良导体中电磁波的相速以及穿透 深度等问题. 结果表明: 1) 电磁波自导电介质外不论以何种入射角入 射到导电介质表面时, 进入导电介质内的电磁波总 是沿其内法向衰减;对于良导体, 电磁波紧靠内法 线方向传播, 对于不良导体, 电磁波靠近表面方向 传播. 2) 在导电介质中传播的电磁波 , 若导电介质 是良导体, 则在其中波传播得是比较缓慢的 , 并且 电磁波中传播的能量主要是磁场能, 与电场有关的 能量中的绝大部分都被消耗掉(转变为焦耳热)了. 3) 电磁波的频率对其电性能有很大的影响:即 使是平常被视为良导体的金属, 当电磁波的频率不 太高时, 它才是真正的良导体 , 进入的电磁波很快 衰减, 能量中的绝大部分转变为焦耳热;当电磁波 的频率很高时, 它也会变成不良导体甚至过渡到绝 缘介质, 其中与电场有关的能量也很少有消耗而能 几乎全部传播出去. 4) 不良导体中电磁波的穿透深度的计算与良 导体中电磁波的穿透深度的计算是不同的 . 因此, 有些文献中的相关结果是值得商榷的[1]. 文中还涉及到其它相关问题 , 以及在一般情况 下如何根据电磁波的频率来处理导电介质的电性能 等问题. 这些对理论研究和实际运用都有一定的意 义. 参考文献: [1] 郭硕鸿. 电动力学 (第二版 )[M].北京: 高等教育出版社 , 1997. 150-158, 145, 180. [2] 林璇英, 张之翔 . 电动力学题解 [M].北京: 科学出版社, 2000. 254. [3] 上海市物理学会教学研究委员会编 . 理论物理习题集 [M].上海: 上海科学技术文献出版社, 1983. 187. [4] Lorrain P, Corson D R. Electromagnetic Fields and Waves (2nd ed)[M]. San Francisco: Freeman, 1970. [5] Demarest K R. Engineering Electromagnetics[M]. Science Press: English Reprint Copyright C, 2003. Discussion of Propagation Electromagnetic Wave in Conductive Medium WEN SHeng-le1, LI Ze-jun2, YANG Jiang-he2 (1. College of Physics and Information Science, Hunan Normal University, Changsha Hunan 410081; 2. Department of Physics and Electronics, Hunan University of Arts and Science, Changde Hunan, 415000) Abstract: The propagation direction, the energy relative to electric field, the penetration depth, and the phase velocity et al of the electromagnetic wave in conductive medium, and the influence of ζc/ωε on the electric quality of conductive medium were discussed. For the good and poor conductor, the method of calculating the penetration depth of the electromagnetic wave was presented. This discussion has some theoretical research and practical application significance for how to treat the electric quality of conductive medium according to the frequency of the electromagnetic wave. Key words: conductive medium; electromagnetic wave; propagation; frequency 收稿日期: 2005-09-20 作者简介 :文盛乐 (1948-), 男, 教授, 主要从事基础理论和 场理论的研究. (责任编校:江河)