公交车发车间隔与排队长度的研究

公交车发车间隔与排队长度的研究 公交车发车间隔与排队长度的研究 3Robe rt S TOW EH 李志强 ()北京化工大学 理学院 , 北京 100029 摘 要 : 对于确定的行车路线 ,利用随机变量描述公交线路中的行车时间 ,需要进一步考虑的问题是利用随机过程 的知识建立乘客的排队模型 ,各个站点的队长可用泊松过程在相继到达车辆的时间间隔上的增量来描述 。在不同 的发车间隔假定下 ,考虑每个站点在相继到达的车辆间隔内 ,平均排队长度与发车间隔的关系 。 关键词 : 平均行车时间 ; 排队模型 ; 发车间隔 ; 平均队长 ; 全数学期望公式 中图分类号 : O21116 引 言 1 基本假定 公交线路发车间隔的取值直接影响到公交企业 本文以概率统计和随机过程的知识为基础 , 分 别在发车间隔为确定值和随机变量的情况下 , 研究 的服务质量和经济效益 。发车间隔过短 ,会导致公 每个站点上乘客的平均队长与发车间隔的关系 。假 交车运力资源浪费 ,不利于公交企业经济效益的提 定对给定的有 n 个站点公交车行车路线 , 任意两个 高 ;发车间隔过长 ,又会导致车内过于拥挤服务水平 站点之 间 的 行 车 时 间 相 互 独 立 并 服 从 正 态 分 布 : 差 。因此讨论发车间隔与队长的关系有重要意义 。 2 μσ) (T,N ,, 其中 T示从第 i - 1 个站点到第 i i i i i 有许多文献讨论公交车发车间隔的确定 ,如文献 [ 1 - 个站点的行车时间 。公共汽车公司要考虑的问题是 4 ]在不同的排队模型下研究了利用平均排队长度 公交车发车时间间隔与各站点 排队 对 长之 间的 关 确定最优发车间隔的方法 。但这些文献中 ,通常假 系 , 以进一步确定发车时间表 。 定站点间的行车时间是确定的 ,且乘客是按照确定 ( ) 不妨设各站点的乘客到达数 { X t, t > 0 }分别 i 的速率来到并排队等候 。而实际情况是站点间的行 λ服从均值为 的泊松过程 , 若相继两辆车的到达时 i 车时间是随机变化的 ,而乘客的到来与排队长度也 ( ) ( ) 间差为 T, 则第 i个站点排队长度为 X T - X 0 , i i λ其服从参数为 T 的泊松分布 。 是随机变化的 ,可用随机过程来描述 。 i 发车时间间隔与平均排队长度的关系曲线在最 2 发车间隔与等待队长的关系 优发车间隔的决定中起着绝对重要的作用 。当各站 为了能够准确描述发车间隔与排队长度之间的 点间的行车时间假定为确定值时 ,若乘客是按照确 关系 , 分以下两种情形讨论 。 定的速率来到并排队等候 ,则排队长度与发车时间 211 发车间隔 T为确定值 0 间隔呈正比 ;进一步 ,若各站点间的行车时间为确定 考虑到可能出现超车的情况 , 第 i个站点在相 值 ,而乘客的到达服从泊松随机过程 ,则在平均意义 i - 1 i - 1 继两辆车到达时间间隔的排队长度为 [ 1 ] ( )T + T- T- X 0 X 下 ,排队长度与发车时间间隔呈正比 。但当站点 i 0 1 j 2 j i ? ? j = 0 j = 0 间的行车时间是随机变化时 ,平均排队长度与发车 其中 , T和 T为 前 后 两 辆 车 经 过 第 j个 路 段 的 时 1 j2 j 间隔的关系曲线无法从常用的排队模型的结论中直 = T= 0。由各路段行车时间 , 且为方便记 , 设 T 1020 i - 1 i - 1 接得到 。因此本文在行车时间和乘客的到来都是随 收稿日期 : 2009 - 10 - 27 间的假定知 , 当 i > 1 时 , T和 T 相互独立2 1 jj? ? j = 0 j = 0 ( )基金项目 : 国家自然科学基金 10926187 机变化的假定下 ,得到的研究结果更符合实际 。 同分布 , 且两个随机变量分别服从正态分布 。由此 第一作者 : 男 , 1985年生 ,利比里亚留学硕士生 可知首发站的平均队长为 3 通讯联系人 2? y - 1 当 i > 1时 , 各站点的平均队长为 2 ( σ( Φ ( ) T+y e dy = T1 - - 0 i 0 i - 1 i - 1 ?- T /σ0 iπ 2 ( )T+ T-T= - X 0 E 2X T 0 1 j 2 ji i0? ? -σ j = 0 j = 0 i 22σi σ) ) e T/+ 0 i i - 1 i - 1 π 2X T+ T-TE i0 1 j 2 j? ? j = 0 j = 0 因此站点 i的平均队长为 2T 利用全数学期望公式 0- σ 22i σ2 ii - 1 i - 1 λΦ ( σ)+ e T- 2 T- T/ i0 00 i π 2E X T+T- T= E E i0 1 j2 j? ? 2 j = 0 j = 0 σλλ σ 其为 , T, 的函数 。下面分别给出 = 2,= 5, i 0 i i - 1 i - 1 i - 1 σ λ λ σ = 5,= 5和 = 5,= 10时发车间隔 T 与平均队 T+ T-TT+ T-X 0 1 j 2 j0 1 j i? ? ? j = 0 j = 0 j = 0 长 L 的关系图 。 i - 1 T2 j? j = 0 当 i > 1时 , 对任意 t?0, 假定行车时间与各站点的 乘客到达相互独立 , 再利用泊松过程的独立平稳增 量性及其数字特征 , 易证 i - 1 i - 1 TT- T+T+E X 1 j2 j0 0 i? ? j = 0 j = 0 i - 1 i - 1 ( ) λT-T= t = E [ X t] =t 1 j 2 ji i ? ? j = 0 j = 0 其中第一个等式是由于行车时间与各站点的乘客到 图 1 发车间隔与平均队长的关系曲线 达的相互独立性及条件期望的性质直接得到的 。 F ig. 1 R e la tion sh ip be tween bu s frequency and i - 1 i - 1 ave rage queue length ( )- X 0 T+ T-T= E X i 0 1 j 2 ji? ? j = 0 j = 0 由图 1可知 , 平均队长 L 与发车时间间隔 T 的 i - 1 i - 1 曲线为单调递增函数 , 刚开始时缓慢增加 , 然后呈线 λ+ T-TTE 0 1 j 2 ji ? ? j = 0 j = 0 性趋势递增 。对比 3 个曲线的变化可知 , 平均队长 ( )i= T + T由各 路 段 行 车 时 间 相 互 独 立 , 可 知 0 λi - 1 i - 1 与发车间隔的曲线始终为单调递增函数 。当 取 T的正态分布 , 其方差T- T服从均值为 0 1 j 2 j? ? σσ 值接近或相同而 不同时 , 时间间隔 T 较小 时 , j = 0 j = 0 i - 1 i - 1 σ 越大平均队长越长 , 但随发车时间间隔 T 的增大 ,2 ( ) ) ( + V a r Tσ。下面直接计 为 = V a r Ti 1 j 2 j ? ?j = 1 j = 1 的影响越来越小 ; 进一步 , 当单位时间内乘客的到达 ( ) i) ( 算 E | T| , λ强度 较大时 , 随发车时间间隔 T 的增大 , 平均队 2( ) x - T 0? - σ 2 ) 1 ( i i长 L 增加的幅度也越大 。 ( E | T ) x | e dx = | = | - ??πσ 2 212 发车间隔 T 服从均值为 T的指数分布 0 2 y σ ? - T/0 i- 1 1 2 σ( +y | e dy = - | TT+ i 00此时利用泊松过程的性质可知 , 公交车的发出 - ??? - ? ππ 22 数量服从参数为 1 / T的泊松过程 。在考虑到超车 情形下 , 第 i个站点的队长为 220 y y ? - - 1 2 2 i - 1 i - 1 σσ) ) y e dy + ( +y e dy T i i 0σ ? - T/0 iπ2 ( )- X 0 X T + T-T i i1 j 2 j? ? j = 0 j = 0 ( )Φ 其中 , 前一项利用标准正态分布函数 x 可表为 则第 i个站点的平均队长为 2σ - T/y 0 i - 1 2 i - 1 i - 1 Φ ( ( σ ) T - T / - T -+y e dy = 0 i 0 0 ? π 2- ?( )E X T + T- T= - X 0 i 1 j 2 j i ? ? 2 T j = 0 j = 0 0 - σ i2σ2 i - 1 i - 1 i σ)+ e i E X T + T-T π i21 j 2 j? ? j = 0 j = 0 类似的可得第二项为 利用全数学期望公式 i - 1 i - 1 = E E T + T-TE X X 3 结论 1 j 2 jii? ? j = 0 = 0 j i - 1 i - 1 i - 1 发车间隔与平均队长的关系曲线为单调递增 T + T- TT + T- 1 j2 j1 j? ? ? j = 0 j = 0 j = 0 λ的 。若单位时间内乘客的到达强度 取值接近或 i - 1 σ相同 , 当时间间隔较小时 , 行车时间的标准差 越 T2 j? j = 0 σ大平均队长越长 , 但随发车时间间隔的增大 ,的影 利用与 211类似的讨论可得 响越来越小 , 此时发车间隔与平均队长呈线性关系 ; i - 1 i - 1 λ进一步 , 当 较大时 , 随发车时间间隔的增大 , 平均 λT + XT + T-TE =E i1 j 2 ji ? ? j = 0 j = 0 i - 1 i - 1 队长增加的幅度也越大 。 T-T1 j 2 j? ? 参考文献 : j = 0 j = 0 当 i = 1时 , 首发站的平均队长为 胡 兵 . 基 于 排 队 论 的 公 共 交 通 系 统 运 营 优 化 研 究 [ 1 ] [ D ]. 西安 : 西安电子科技大学 , 2009. ( ) ( ) λ( )λE [XT] = E{ E [XT| T ] } =E T =T 1 1 1 1 0i - 1 i - 1 H u B. The op tim iza tion of p ub lic traffic system op e ra tion ( )i 因为 i > 1时 , T = T + T- T的概率分布1 j 2 j? ? ba sed on queu ing theo ry[ D ]. X iπan: X iD ian U n ive rsity, j = 0 j = 0 ( )2009. in Ch ine se 为指数分布与正态分布的混合 , 其绝对值的数学期 [ 2 ] de A nd réP, Rob in L. Op tim a l tim e tab le s fo r p ub lic 望难于求出 , 因此由 T, T, T的分布产生随机数 , 再 1 i 2 itran spo rta tion [ J ]. Tran spo rta tion R e sea rch Pa rt B: 根据大数定律利用蒙特卡洛模拟方法可近似求出 。 M e thodo logica l, 2001, 35: 789 - 813. ( ) 具体步骤如下 :先产生 T, T, T, i = 1, ?, n 的容 1 i 2 i [ 3 ] Im en B , Insè B , Kha led G. D istribu ted dec ision eva lua2 ( )( )k k ( ) 量为 10000的样本 T, T, T, i = 1, ?, n , k = 1, ( k) 1 i 2 i tion mode l in p ub lic tran spo rta tion system s[ J ]. Engineer2 i - 1 ( )( )i k ing App lications of A rtificial Intelligence, 2008, 21: 419 - TT2, ?, 10000, 分 别 计 算 T = + - ( ) kk1 j? j = 0 429. i - 1 10000 [ 4 ] ( 1 )k刘次华 . 随机过程 [M ]. 武汉 : 华中科技大学出版社 , T, | T| , i = 1, 2, ?, n。 k 2 j? ? 10000 j = 0 k = 1 2001. 如此重 复 1000 次 , 求 得 1000 次 的 平 均 值 , 即 为 L iu C H. Stocha stic p roce sse s[M ]. W uH an: H uaZhong ( )i E [ | T | ]的估计值 , 从而可得第 i个站点平均队长 ( U n ive rsity of Sc ience and Techno logy P re ss, 2001. in )的估计值 。根据不同的 T值 , 利用模拟可得不同的 Ch ine se 0 平均队长 。 The rela tion sh ip between bus frequency and the average queue length Robe rt S TOW EH L I Zh iQ iang ( )Co llege of Sc ience s, B e ijing U n ive rsity of Chem istry and Techno logy, B e ijing 100029 , Ch ina A b stra c t: B y u sing random va riab le s to de sc ribe the trave l tim e s of bu s line s on a ne two rk d iagram , and ca lcu la ting the m a them a tica l exp ec ta tion and the co rre spond ing p robab ilitie s of the jou rney tim e, we can con side r the e stab lish2 m en t of p a ssenge rs queu ing mode l by u sing the know ledge of the stocha stic p roce sse s. In th is p ap e r we con side r the re la tion sh ip be tween the bu s frequency and the ave rage queue length be tween ad jacen t tim e p e riod s a t each site fo r the d iffe ren t a ssump tion s of headuay. Key word s: ave rage trave l tim e; queu ing mode l; bu s frequency; ave rage queue length; to ta l exp ec ta tion fo rm u la