JSZ期限结构模型对我国债券收益率曲线的拟合实证

JSZ期限结构模型对我国债券收益率曲线的拟合实证 JSZ期限结构模型对我国债券收益率曲线 的拟合实证 [摘 要] 利率期限结构是指债券的到期收益率与到期期限之间的关系,该结构可以通过利率期限结构图示,图中的曲线即为收益率曲线。本文利用JSZ模型对我国债券市场利率期限结构模型进行估计,拟合效果好,而且运算速度比卡尔曼滤波更快。本文旨在提炼出JSZ模型的精华内容并阐述其计算的逻辑过程,并用于拟合我国银行间固定利率债券,使研究利率期限结构学者能快速掌握JSZ模型的核心思想及其应用 [关键词] JSZ模型,利率期限结构,卡尔曼滤波 doi , 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2015 . 17. 061 [中图分类号] F812.5 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194,2015,17- 0115- 03 对高斯动态期限结构模型,GDTSM,的估计大多采用卡尔曼滤波方法,这种方法的最大问题是模型中的变量太多,如果初始值设置的不好,模型不易收敛,或因计算过程中矩阵出现奇异矩阵,造成运算无法继续运行或结果不准确。JSZ模型是Scott Joslin、Kenneth J. Singleton、HaoxiangZhu ,2011,提出,用于利率期限结构模型的估计。但JSZ,2011,文章内容较多,晦涩难懂,笔者下面的内容旨在提炼出JSZ模型的精华内容及其在我国债券收益率曲线拟合过程中的应用,相应的文献综述和证明过程请参考JSZ,2011,原文 1 JSZ模型的核心 JSZ模型描述如下, ΔXt=K??+K??Xt-1+?XεtP,1, ΔXt=K??+K??Xt-1+?XεtQ,2, rt=ρ0X+ρ1X?Xt,3, Xt是定价因子,?x?x′是Xt的条件协方差矩阵,εtP,εtQ,N,0,IN, 对于0息票债券模型收益率仍然遵循Duffiee和Kan,1996,仿射函数,表示成, yt,m=Am,ΘXQ,+Bm,ΘXQ,?Xt,4, Am,Bm满足Riccati差分方程, Am+1-Am=K0Q ′Bm+?Bm′H0Bm-ρ0 Bm+1-Bm=K1Q′Bm-ρ1,5, ΘXQ=,K??+K??,?X,ρ0X,ρ1X,,,m1,m2,…,mJ,表示到期时间,J>N,相应的模型表示的收益率为,yt,m=,yt,m1,,yt,mJ, ,1,、,2,、,3,、,4,是JSZ模型的规范化形式,为了便于计算,在命题1中JSZ给出其规范形式的等价形式, 任何规范的GDTMS观测上等价于下面形式, ΔXt=K??+K??Xt-1+?XεtP,6, ΔXt=K??+K??Xt-1+?XεtQ,7, rt=t?Xt,8, 与的规范形式不同之处是,t是单位1向量,?X是下三角矩阵,K??=k??,且K??=0,i?1,K??是按顺序排 列的约当型,Jordan,矩阵 K??=J,λiQ,?diag,J1Q,J2Q,…,JmQ,,且, JiQ=λiQ 1 … 00 λiQ … 0 10 … 0 λiQ 各个约当块是按特征值的顺序排列,从大到小, 这种等价形式简化了运算过程,而且便于计算机的处理,但定价因子Xt仍然是不可观测变量,因此,JSZ给出定理1,存在可观测的定价因子Ft=Wyt,任何规范的GDTMS等价于下面的模型, ΔFt=K??+K??Ft-1+?FεtP,9, ΔFt=K??+K??Ft-1+?FεtQ,10, rt=ρ0F+ρ1F?Ft,11, 在此模型里,定价因子可以用可观测变量代替,假设名为Ft,这样不可观测的定价因子Xt变为可观测的定价因子Ft,可以假定N个0息票债券或其线性组合可以被模型精确定价,Ft的Q分布可以描述成参数, ΘFQ?,k??,λQ,?F,λQ是K??的特征值构成的向量, ?F?F′是收益投资组合冲击的协方差矩阵。当模型在Q分布下稳定时,k??与短期利率r??在风险中性下的长期平均值成比例。K??,K??,?F,ρ0F,ρ1F是k??,λQ,?F的明确函数 综上所述,JSZ模型设置了2个测度P和Q,2种定价因子,可观测的P和不可观测的X,因此模型显得复杂,但运算并不复杂,JSZ对似然函数的处理进一步简化了估计难度。P测度下可观测的收益率的条件似然函数为, f,yt|yt-1,Θ,=f,yt|Ft,λQ,k??,?F,×f,Ft|Ft-1,K??,K??,?F, 其中,,fFt|Ft-1,K??,K??,?F,=,2π,-N/2|?F|-1×exp,-?||???,Ft-Et-1[Ft],||2, 注意这里,Et-1[Ft]=K??+,I+K??,Ft-1是对公式,9,两边取期望得到 参数,K??,K??,的最大似然函数为, ,K??,K??,=argmax?f,yt|yt-1,K??,K??,?F,=argmin?||???,Ft-Et-1[Ft],||2 这样,参数,K??,K??,的最大似然函数可以用普通最小二乘法求得。一般的三因子GDTSM模型有22个参数要估计,3个λQ,1个k??,6个???,3个K??,9个K??,而JSZ模型只有前4个参数,存在实质性的改进 2 JSZ模型对我国国债利率期限结构的实证 这里选取银行间固定利率国债收益率数据,时间是从2006年3月到2014年2月,取每月最后一天的数据,期限取6月、1年、2年、3年、5年、7年、10年。每一期限共计96个月度数据,数据来源是Wind数据库。数据的基本情况如图1所示。 为了利用Matlab软件编程,将式,6,到式,11,描述成计算机可以处理的形式, 在P测度下, F,t+1,-F,t,=K0P_F+K1P_F*X,t,+eps_F,t+1, 其中,Cov,eps_F,t+1,,=Sigma_F 在风险中性Q测度下, X,t+1,-X,t,=K0Q_X+K1Q_X*X,t,+eps_X,t+1, 其中,Cov,eps_X,t+1,,=Sigma_X F,t+1,- F,t,=K0Q_F+K1Q_F*X,t,+eps_F,t+1, 其中,Cov,eps_F,t+1,,=Sigma_F 式,4,描述成计算机处理形式为, 模型收益率Yt=AF’+BF’*F,t,或,Yt=AX’+BX’*X,t, 利用JSZ模型及JSZ提供的Matlab工具箱,对模型的各参数进行估计,结果如下, AF=[-0.076 9 0.075 8 0.101 1 -0.026 3 -0.190 7 -0.083 1 0.217 7] BF=[ 0.458 3 0.459 0 0.435 8 0.399 9 0.328 7 0.273 5 0.216 7 -0.4501 -0.336 5 -0.106 5 0.091 4 0.357 5 0.488 3 0.548 3 -0.630 4 -0.019 5 0.471 0 0.485 8 0.139 0 -0.183 7 -0.441 0] AX=[0.747 2 1.546 2 2.821 0 3.716 0 4.809 2 5.399 5 5.688 2] BX=[0.975 5 0.947 1 0.893 7 0.844 3 0.756 1 0.680 4 0.585 8 0.873 1 0.748 3 0.565 0 0.441 6 0.294 9 0.216 2 0.152 5 0.869 8 0.742 5 0.556 9 0.433 2 0.287 8 0.210 5 0.148 4] K0P_F=[-0.108 6 0.224 8 -0.286 7] K1P_F=[-0.050 0 0.182 4 0.001 8 -0.013 1 -0.129 3 -0.431 9 0.001 7 -0.003 4 -0.467 9] K0Q_F=[0.274 1 0.122 7 -0.050 3] K1Q_F=[-0.005 1 0.075 8 0.285 0 -0.006 8 -0.008 4 -0.191 0 -0.003 8 0.005 6 -0.107 1] K0Q_X=[ 0.315 0 0.000 0 0.000 0] K1Q_X=[-0.009 9 0.000 0 0.000 0 0.000 0 -0.054 6 0.000 0 0.000 0 0.000 0 -0.056 1] 下面对比模型的拟合值和实际值,如图2所示 图2中黑色实线表示实际值,红色实线,如果无颜色, 则是较淡的曲线,表示模型求得的拟合值,如果不放大图, 二者几乎重合,说明JSZ模型非常好地拟合收益率曲线数据 3 结 论 JSZ模型可以很好地拟合我国银行间国债收益率曲线, 而且收敛的速度比用卡尔曼滤波技术快得多,几秒完成运 算。使用卡尔曼滤波需要设置初始值较多,如果设置不好, 收敛的速度会非常慢,甚至不收敛,而JSZ模型无此问题。 JSZ模型的另一个优点是需要估计的参数少,三因子模型只 有4个,利用卡尔曼滤波需要估计22个参数。JSZ模型本 身也非常灵活,感兴趣学者可以在此基础上加入宏观经济变 量,来利率期限结构与宏观经济之间的关系 主要参考文献 [1]D Duffie,R Kan. A Yield-factor Model of Interest Rates[J]. Mathematical Finance,1996,6,,379-406. [2]S Joslin,K Singleton,H Zhu.A New Perspective on Gaussian DTSMs[J].The Review of Financial Studies, 2011,24,3,,926-970. [3]S Joslin.Pricing and Hedging Volatility in Fixed Income Markets[R]. Working Paper, MIT,2007. [4]S Joslin,A Le,K Singleton.The Conditional Distribution of Bond Yields Implied by GaussianMacro-finance Term Structure Models[R]. Working Paper, Sloan School, MIT,2010. [5]S Joslin,M Priebsch,K Singleton.Risk Premiums in Dynamic Term Structure Models with UnspannedMacro Risks[R]. Working Paper, Stanford University,2010. [6]S Joslin,K Singleton,H Zhu.Supplement to“A New Perspective on Gaussian DTSMs.”[R].WorkingPaper, Sloan School,MIT,2010. [7]李宏瑾. 市场预期、利率期限结构与间接货币政策转 型[M].北京,经济管理出版社,2013. [8]周荣喜,杨丰梅.利率期限结构模型,理论与实证[M]. 北京,科学出版社,2011.