2011中考数学 分类解析矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半练习 苏教版

2011中考数学 分类解析矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半练习 苏教版 一( 2011分类解析(矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半 苏教版 二(选择题 2011山东滨州，12，3分)如图，在一张?ABC纸片中，?C=90?，?B=60?，DE是中位线，现把纸片沿( 中位线DE剪开，拼出以下四个图形:?邻边不等的矩形;?等腰梯形;?有一个角为锐角的菱 形;?正方形(那么以上图形一定能被拼成的个数为( ) A(1 B(2 C(3 D(4 【答案】C 1【思路分析】?DE是?ABC的中位线，?DE?BC，且DE,BC(??C=90?，?B=60?，?AB,2BC，2 AE,BE,BC(又?C,90?，?AC,AB，DC,BE(如图(1)，把?ADE绕点E旋转180?，使AE与BE重合，由题意可得?C,?D,?F,90?，则四边形BCDF是矩形，且CD,BC，所以构成邻边不等的矩形，则?成立(如图(2)，把?ADE绕点D旋转180?，使AD与CD重合，由题意可得BC,BE,EM,MC，则四边形BCME是菱形，且?B,60?为锐角，则?成立(如图(3)，移动?ADE，使A与D重合，D与C重合，点E在BC的延长线上，由题意可知DE?BN，且DE?BN，所以四边形BNDE是梯形，又DN,BE，所以梯形BNDE是等腰梯形，则?成立(因拼成矩形只有图(1)一种情况，而图(1)中的矩形不是正方形，则?不成立( 【方法规律】在拼合时，可以把所有情况列举出来，再挑出符合条件的情况( 【易错点分析】 【关键词】三角形的中位线，直角三角形的性质，矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定 (2011四川宜宾，7，3分)如图，矩形纸片ABCD中，已知AD,8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合， 点B落在点F处，折痕为AE，且EF,3，则AB的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 AD F CBE (第7题图) 【答案】D 【思路分析】由矩形的性质可得BC,AD,8.因为?ABE??AFE，所以AB,AF，BE,FE,3，EC,BC,BE,AD,BE,8,3,5.在Rt?EFC中，由勾股定理，得 2222222.在Rt?ABC中，由勾股定理，得，即AB，BC,ACFC,EC,EF,5,3,4 222.解得AB,6.故选D. AB，8,(AB，4) 【方法规律】本题可从条件入手，结合三角形全等、矩形的性质，利用线段代换，在Rt?ABC中，利用勾股定理，构造以所求线段为未知数的一元二次方程求解. 【易错点分析】因审题不深入，找不到已知与未知的关系，导致解题中断. 1 【关键词】矩形的折叠、勾股定理、三角形全等. 【推荐指数】????? 【题型】好题，易错题. (2011湖北宜昌，13，3分)如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在轴上，点B的坐标为(2，x 1).如果将矩形OABC 绕点0 旋转180?，旋转后的图形为矩形OABC，那么点B 的坐标为( ). 1111 A. (2，1) B.(-2,l) C.(-2,-l) D.(2，-1) (第13题图) 【答案】C 【思路分析】矩形OABC是由矩形OABC绕原点旋转180?得到的，矩形OABC与矩形OABC关于原点111111成中心对称，因此B的坐标为(-2,-l). 1 【方法规律】本题通过观察图形中点的坐标，找出图形的变换关系，确定点的坐标( 【易错点分析】解答中心对称有关问题时，要熟练掌握中心对称的性质并能灵活运用性质进行解答. 【关键词】图形变换 中心对称 坐标系 【推荐指数】? ? 【题型】常规题 (2011湖南永州，14，3分)如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线，从点B开始沿着l线段BD匀速平移到D(设直线被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的的大致l 图象是( ) y y y y t t t t O O O O D( C( B( A( (第14题) 【答案】A( 【思路分析】直线在线段BD上匀速平移，从整个过程来看分三个阶段:直线交矩形的边A B上，ll此时截线段EF的长度为y逐渐增大，且交于点A处最大，直线交矩形的边A D上且F与C重合，此时l 截线段EF的长度为y不变，直线交矩形的边CD上，此时截线段EF的长度为y逐渐减小。 l 【方法规律】本题为运动型问题，解题策略是“动中取静” ，从动态变化的角度分析分析题意，对三种不同状态下的函数关系进行分类，描绘出相应变量之间的关系，解决本题的关键能够根据图形中的位置与数量的变化来理解函数图像表达的意义。 【易错点分析】有的考生没考虑长度有一部分是不变的，而错选B. 【关键词】矩形、运动、图象 【推荐指数】????? 【题型】新题 三(填空题 (2011山东滨州，17，4分)将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形，若?CED′=56?，则?AED的 大小是_______( 【答案】62? 2 1【思路分析】由折叠知，?AED,?AED′，又??CED′=56?，??AED,?AED′,(180?,56?)2,62?( 【方法规律】通过折叠得到的图形与原图形完全重合( 【易错点分析】 【关键词】矩形的性质，折叠 【推荐指数】????? 【题型】常规题，操作题 (2011广东佛山，13，3)在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O,若AB=OB = 4,则AD=______ 【答案】43 【思路分析】由于矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，所以OA,OB，而AB=OB,4， 2222所以?AOB是等边三角形，所以在Rt?ABD中，由勾股定理，得AD,,,BDAB,84,48,4. 3 【方法规律】从图形的特征出发，将问题转化到直角三角形中来，再运用勾股定理求解. 【易错点分析】误认为AD,2AB,8. 【关键词】矩形的性质、勾股定理. 【难度】????? 【题型】常规题 (2011河南，15，3分)如图，在直角梯形ABCD中，AD?BC，?ABC,90?，?C,60?，BC,2AD,2，3 点E是BC边的中点，?DEF是等边三角形，DF交AB于点C，则?BFG的周长为 ( (第15题图) 【答案】3，2 3 【思路分析】?AD平行且等于BE，且?ABC,90?，?四边形ABED为矩形，??DEF是等边三角形，所以?DEF,60?，所以?BEF,30?，在Rt?DEC中，EC,，?C,60?，所以DE,3，所以EF,DE3 ,3，在?BEF中，BE,，EF,3，?BEF,30?，可求得BF,BE,，所以?BFG的周长为3，2( 333 【方法规律】证明一个四边形是矩形的时候，先证明这个四边形是平行四边形，再证明有个直角的，在计算边长的时候，用到了直角三角形30?所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形边长相等等知识( 【易错点分析】不能求出BF的长，也就求不出?BFG的周长( 【关键词】等边三角形，矩形，梯形 【推荐指数】????? 【题型】新题，好题，难题 四(解答题 (2011山东临沂，11，3分)如图，?ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE?DF 交DF的延长线于点E，已知?A,30?，BC,2，AF,BF,则四边形BCDE的面积是( ) A(2 B(3 C(4 D(4 333 3 【答案】A 【思路分析】由题意知，点D,F分别为AC,AB的中点，所以DF为?ABC的中位线，所以DF?BC, 所以?C=?CDE=90?，又?E=90?，所以四边形CDEB为矩形，因为?A=30?，BC=2,所以AC=,23 1所以CD==,所以四边形BCDE的面积为:BC×CD=2×=. AC33232 【方法规律】求四边形的面积可考虑是否为特殊四边形.把求四边形BCDE的面积转化为求矩形的面积. 【易错点分析】计算容易出错. 【关键词】三角形中位线，四边形，矩形. 【难度】????? 【题型】常规题 (2011北京市，24，7分)在?ABCD中，?BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F( (1)在图1中证明; CECF, (2)若，G是EF的中点(如图2)，直接写出?BDG的度数; ，,:ABC90 (3)若，FG?CE，，分别连结DB、DG(如图3)，求?BDG的度数( ，,:ABC120FGCE, DADADA CECECBBBE3 2 1 G图1 图2 FF图3 FG 【答案】(1)证明:如图1( ?AF平分?BAD， ??BAF=?DAF ?四边形ABCD是平行四边形， ?AD?BC，AB?CD( ??DAF=?CEF，?BAF=?F( ??CEF=?F( ?CE=CF (2)?BDG=45? (3)解:分别连结GB、GE、GC(如图3) ?AB?DC，?ABC=120? ??ECF=?ABC=120? ?FG?CE且FG=CE( ?四边形CEGF是平行四边形( 由(1)得CE=CF， 平行四边形CEGF是菱形( 1?EG=EC，?GCF=?GCE=?ECF=60? 2 ??ECG是等边三角形 ?EG=CG， ? ?GEC=?EGC=60? ??GEC=?GCF(??BEG=?DCG( ? 由AD?BC及AF平分?BAD可得?BAE=?AEB( ?AB=BE( 在平行四边形ABCD中，AB=DC( ?BE=DC( ? 由???得?BEG??DCG( ?BG=DG(?1=?2(??BGD=?1 +?3=?2+?3=?EGC=60? 4 180:,，BGD??BDG==60?( 2 【思路分析】由角平分线及平行线的性质可推出CE=CF;连接BG、CG，由SAS可证?DGF??BGC，得到?BGD为等腰直角三角形，所以?BDG=45?;同理可得?BGD为等腰三角形，再证?BGD为等边三角形，从而得到?BDG=60?。 【方法规律】特殊图形中包括着边角的关系，只要找到特殊的图形，就能沟通边角间的关系。 【易错点分析】不能做出辅助线从而找到特殊的三角形;不能证明?BDG为60度。 【关键词】平行四边形，矩形，菱形，角平分线 【推荐指数】????? 【题型】新题，好题 (2011山东滨州，24，10分)如图，在?ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直 线MN?BC(设MN交?BCA的平分线于点E，交?BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF(那么当 点O运动到何处时，四边形AECF是矩形,并证明你的结论( 【答案】 当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时， 四边形AECF是矩形(………………2分 证明:?CE平分?BCA，??1=?2(………………3分 又?MN?BC，??1=?3( ??3=?2，?EO=CO(………………5分 同理，FO=CO(………………6分 ?EO=FO( 又OA=OC，?四边形AECF是平行四边形(………………7分 方法一:又??1=?2，?4=?5， ??1+?5=?2+?4(………………8分 又??1+?5+?2+?4=180?， ??2+?4=90?(………………9分 ?四边形AECF是矩形(………………10分 方法二:?EO=CO，FO=CO，OA=OC，?EO=CO=FO=OA，即AC,EF(………8分 5 ?平行四边形AECF是矩形(………………10分 【思路分析】矩形是特殊的平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，则只有点O运动到AC的中 点时，才能出现平分，才可能是平行四边形，才可能是矩形( 【方法规律】矩形的判定方法很多，常用方法是，先证明四边形为平行四边形，再证明有一个角为直 角，或证明对角线相等( 【易错点分析】找不到点O的位置( 【关键词】平行四边形、矩形的判定 【推荐指数】????? 【题型】常规题，动态综合题 22(2011海南省，24，14分)如图11，已知抛物线(b为常数)经过坐标原点O，且与xy,,x，bx，9,b轴交于另一点E，其顶点M在第一象限( (1)求该抛物线所对应的函数关系式; 2)设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点;过点A作x轴的平行线交该抛( 物线于另一点D，再作AB?x轴于点B，DC?x轴于点C( ?当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长; ?求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标; ?当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值,请判断并说明理由( 2【答案】解:(1)抛物线过原点，所以9,b=0 解得b=，对称轴在y轴右侧，a，b异号 ,3 ?a=,1,0，?b=3 2 ?抛物线解析式为 y,,x，3x 39 (2)?抛物线顶点M(，) 24 要使AB为整数，AB=1或AB=2 当AB=1时，BC为无理数，故AB=2 2 把y=2代入解得x=1，x=2 y,,x，3x12 BC=2,1=1 l=2+1+2+1=6 矩形ABCD 2 ?设A(x，)，矩形ABCD周长为l，则C(，0) 3,x,x，3x0000 2 l,2(,x，3x)，2(3,x,x)0000 2 = ,2x，2x，600 11322() = ,x,，022 113所以当时，l= x,最大022 523此时 ,x，x,004 6 15 所以A(，) 24 ?设矩形ABCD的面积为S 2S== x(3,x)(3,2x)(,x，3x)(3,2x)000000 15当，S=; x,022 5而当时，S=2.592, x,0.602 所以当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积不是最大值( 22【思路分析】(1)中已知抛物线的图像过原点，从而可以求出b有两个值，在根据函y,,x，bx，9,b 数的图像性质，a.b,异号，最终确定b的值。 39(2)?因为M(，)，AB、BC的长都是整数个单位长度时，要使AB为整数，AB=1或AB=2，把AB=124 或AB=2函数概型式即可。?设出A点坐标，即可相应求出C点坐标, 在根据矩形的面积求出A点坐标。?矩形面积的最大值就是二次函数的最大值，在把矩形ABCD的周长取得最大值时，代人检验面积是否是最大值( 【方法规律】本题综合性较强，对学生的要求也较高，必须能从图中找出矩形四个点的坐标，借助矩形面积公式求出函数关系式，本题难度较大。 【易错点分析】注意区分矩形周长和面积的解析式，防止混淆。 【关键词】二次函数，矩形， 【推荐指数】????? 【题型】，难题，操作题，，压轴题等 (2011陕西省，25，12分)如图?，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD(含端点)上，落 点记为E，这时折痕与边BC或者边CD(含端点)交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的? BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形” ( (1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕?BEF”一定是一个_________三角 形; (2)如图?，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4(当它的“折痕?BEF”的顶点E位于边AD的中点时，画出 这个“折痕?BEF”，并求出点F的坐标; (3)如图?，在矩形ABCD中， AB=2，BC=4(该矩形是否存在面积最大的“折痕?BEF”,若存在， 说明理由，并求出此时点E的坐标;若不存在，为什么, 【解】(1)等腰( (2)如图?连接BE，画BE的中垂线交BC于点F，连接EF，?BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形(?折痕垂直平分BE，AB=AE=2，?点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A(?四边形ABFE为正方形(?BF=AB=2( ?F(2，0)( (3)矩形ABCD存在面积最大的折痕?BEF，其面积为4(理由如下: ?当F在边BC上时，如图?所示( 1?，即当F与C重合时，面积最大为4( SS,BEF矩形ABCD2 ?当F在边CD上时，如图?所示(过F作FH?BC交AB于点H，交BE于点K( 111??, S,KF,AHHF,AH,S,EKF矩形AHFD222 111?, S,KF,BHHF,BH,S,BKF矩形BCFH222 7 1??=4. SS,BEF矩形ABCD2 即当F为边CD中点时，?BEF面积最大为4( 下面求面积最大时，点E的坐标. ?当F与点C重合时，如图?所示.由折叠可知CE=CB=4，在Rt?CED中， 2222. ?. ?. AE,4,23E(4,23,2)ED,CE,CD,4,2,23 ?当F在边DC中点时，点E与点A重合，如图?所示.此时E(0,2) . 综上所述，折痕?BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E(0,2)或. E(4,23,2) 【思路分析】(1)因为BF与EF重合，所以BF=EF，因此“折痕?BEF”是等腰三角形;(2)当E位于边AD的中点时，四边形ABFE为正方形，因此F(2，0)((3)当F在边BC上时，?BEF中BF边上的高一定(不变，等于2)，当BF最大时，面积最大(等于4)，此时点F与C重合(在Rt?CDE中，利用勾股定理求出DE的长，又AE=4,DE，因此可得点E的坐标(当F在边CD上时，过F作FH?BC交AB于点H，交 111BE于点K(?，?，即?=4，F为边CD中点.此时SSSSSS,EKF,BKF,BEF矩形AHFD矩形BCFH矩形ABCD222 点E与点A重合，所以E(0,2)( 【方法规律】在折叠问题中，互相重合的边相等，互相重合的角相等，这一性质在解折叠问题时应用相当广泛( 【易错点分析】理解题意有困难，分情况讨论时缺乏条理性( 【关键词】折叠问题，矩形，平面直角坐标系 【推荐指数】????? 【题型好题，难题，易错题，操作题，阅读题，压轴题( (2011深圳，21，8分)如图11, 一张矩形纸片ABCD, 其中AD = 8cm, AB = 6cm, 先沿对角线BD对折, 点 C落在点C’的位置, BC’交AD于点G. (1)求证: AG = C’G (2)如图12, 再折叠一次, 使点D与点A重合, 得折痕EN, EN交AD于点M, 求EM的长. 8 图3 图4 【答案】(1)如图3 由轴对称性质可知，，，1=2，又 ADBC ，故 ？，，2=3，,，13？,BGGD 而， ADBCBC,,'？,AGCG' (2)如图4 设则 CGAGx',,,BGx,,8 222222在中，，， xx，,,6(8)RtABG,AGABBG，, 7解之得 x,4 7EMMDEM4 ;故 ,,DMEDCG'EM,？,,,76GCCD''6 4 【思路分析】详见解题过程( 【方法规律】解这类问题的关键是掌握轴对称的性质，平行线的线质，矩形的性质，等腰三角形的判定等知识以及勾股定理的灵活运用. 【易错点分析】看不懂题意. 【关键词】矩形，折叠问题 【推荐指数】??? 【题型】新题，操作题， (本题6分)如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序折叠:对折、展平，得折痕EF(如图?);沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处(如图?);展平，得折痕GC(如图?)，沿GH折叠，使点C落在DH上的C′处(如图?);沿GC′折叠(如图?);展平，得折痕GC′、GH(如图?). (1)求图?中?BCB′的大小; (2)图?中的?GCC′是正三角形吗,请说明理由. 图? 图? 图? 图? 图? 图? (第26题) 9 【答案】(1)法一:连接BB′，由折叠知，EF是线段BC的对称轴， ?BB′=B′C 又?BC=B′C ??B′BC是等边三角形, ??BCB′=60? 法二:由折叠知，B′C=BC 在Rt?B′FC中， FCFC1?cos?B′CF=. ,,BCBC′2 ??B′CF=60?，即?BCB′=60?. 11?法三:过B′作B′M?CD,垂足为M，B′M=CF=BC=B′C 22 在?B′CM中， BM′1?sin?B′CM=. ,BC′2 ??B′CM=30?，?BCB′=90?,?B′CM=60? (2)由折叠知，GH是线段CC′的对称轴， ?G′C=GC 根据题意，GC平分?BCB′ 1??GCB=?GCB′=?BCB′=30? 2 ??GCC′=?BCD,?BCG=60? ??GCC′是等边三角形. 【思路分析】(1)先判定?B′BC是等边三角形,再根据等边三角形性质说明?BCB′的度数，或者运 1用特殊角三角函数解决;(2)利用轴对称性证出G′C=GC，?GCB=?GCB′=?BCB′=30?，再运用角2的和差关系证出?GCC′=?BCD,?BCG=60?，根据“有一个角为60?的等腰三角形是等边三角形”判断 ?GCC′是等边三角形. 【方法规律】解决折叠问题 【易错点分析】 【关键词】轴对称，等边三角形. 【推荐指数】????? 【题型】新题，好题，操作题，阅读题. (2011遵义，23，10分)把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E、F 两点均在BD上)，折痕分别为BH、DG( (1)求证:?BHE??DGF; (2)若AB,6cm，BC,8cm，求线段FG的长( 【答案】(1)在矩形ABCD中，AB=CD,AB?CD，?A=?C=90? ??ABD=?CDB 由翻折得，AB=BE,CD=FD ?BE=DF ?A=?HEB, ?C=?GFD ?ABD=2?HBE ?CDB=2?GDF ??HBE=?GDF ?HEB=?GFD 在?BHE和?DGF中 10 ，,，HBEFDG, ,，,，HEBDFG , ,BEDF,., ??BHE??DGF (2)设FG=x，则CG=x，BC=8,x 2222在RT?BCD中，?C=90?，BD=， BCCD，,，,8610 ?BF=BD,CD=10,6=4，FG=8,x 222在RT?BFG中，?BFG=90?，BG?=BF?+FG?，则(8,x)=4+x，解得x=3 答:线段FG的长为3cm( 【思路分析】通过翻折，很容易得到要证的两个三角形中有两个条件相等，即直角和BE=DF，因此只需再找一个条件，考虑到翻折BF、DG是角平分线，从而又可得一对角相等;对于(2)要求线段的长，思路一:由前面翻折的基础上存在相等线段的帮助，可以把所求的线段和一些已知的线段转化到三角形中，然后利用勾股定理建立方程解决; 111思路二:利用面积计算，即 S,S，SBC,AD,CG,CD，BD,FG?BDC?BDG?CDG222 111?CG=FG，?，解得FG=3( ，6，8,FG，6，，10，FG222 【方法规律】图形的翻折过程中要抓住相等的边和角( 【易错点分析】证全等时对于条件?HBE=?GDF未加说明而直接利用 【关键词】矩形的性质 勾股定理的应用 【推荐指数】????? 11