2007年广东高考数学理科

2007年广东高考数学理科 试卷类型:B 2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数 学(理科) 本试卷共4页，21小，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1(答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上(将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2(选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3(非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液(不按以上要求作答的答案无效。 4(作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5(考生必须保持答题卡的整洁(考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 锥体的体积公式V? 1 Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。 3 如果事件A，B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A，B相互独立，那么P(A?B)=P(A)?P(B) 用最小二乘法求线性回归方程系数公式b? xy?nxy ii i?1 n n x i?1 2 i nx 2 ，a?y?bx 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1(已知函数f(x)?( ) M，g(x)?ln(1?x)的定义域为N，则MN=A({x|x??1} B({x|x?1} C({x|?1?x?1} D(? 2(若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b=( ) A(2 B( 1 21 2 C(? D(—2 3(若函数f(x)?sinx? 2 1 (x?R)，则f(x)是( ) 2 A(最小正周期为 π 的奇函数 2 B(最小正周期为π的奇函数 C(最小正周期为2π的偶函数 D(最小正周期为π的偶函数 4(客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达内地(下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是( ) 5(已知数列{an}的前n项和Sn?n?9n，第k项满足5?ak?8，则k=( ) 2A(9 B(8 C(7 D(6 6(图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形示的学生人数 ，155?内的学生人数)图2依次记为A1，A2，，A10(如A2表示身高(单位:cm)在?150 是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法图(现要统计身高在160,180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( ) A(i?6 B(i?7 C(i?8 D(i?9 7(图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图。公司在年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件。在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为( ) A(15 B(16 C(17D(18 8(设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b?S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)若对任意的a，b?S，有a*(b*a)?b，则对任意的a，b?S，下列等式中不恒成立的是( ) A((a*b)*a?a B([a*(b*a)]*(a*b)?a C(b*(b*b)?b D((a*b)*[b*(a*b)]?b 二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，满分30分(其中13~15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分。 9(甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球(现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球是红球的概率为 。(答案用分数表示) 10(若向量a，b满足a?b?1，a与b的夹角为120，则a?a+a?b=。 11(在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2，1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线 y2?2px(p?0)的焦点，则该抛物线的准线方程是。 12(如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)? ;f(n)? 。(答案用数字或 n的解析式表示) 13((坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为? x?t?3 y?3?t (参数t?R)，圆C的参数方程为? x?2cos? 2??)(参数???0，，则圆C的圆心坐 y?2sin??2? 标为l的距离为( 2)14((不等式选讲选做题)设函数f(x)?2x?1?x?3，则f(? )?5，?;若f(x则x的取值范围是 。 15((几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3。过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则?DAC线段AE的长为 。 三、解答题:本大题共6小题，满分80分(解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤( 16((本小题满分12分) 已知?ABC顶点的直角坐标分别为A(3，4)，B(0，0)，C(C，0) (1)若c=5，求sin?A的值; (2)若?A是钝角，求c的取值范围。 17((本小题满分12分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中的产量x(吨)与相应的生产能耗y (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y?bx?a; ( 3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨煤(试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤, (参考数值:3?2.5?4?3?5?4?6?4.5?66.5) 18((本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy，已知圆心在第二象限、半径为C与直线y=x相切于x2y2 坐标原点O。椭圆2??1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。 a9 (1)求圆C的方程; (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在，请求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由。 19((本小题满分14分) 如图5所示，等腰?ABC 的底边AB?，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF?AB，现沿EF将?BEF折起到?PEF的位置，使PE?AC， 记BE=x，V(x)表示四棱锥P—ACFE的体积( (1)求V(x)的表达式; (2)当x为何值时，V(x)取得最大值, (3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。 20((本小题满分14分) 2 ，已知a是实数，函数f(x)?2ax?2x?3?a，如果函数y?f(x)在区间??11?上有 零点，求a的取值范围。 21((本小题满分14分) 2 ，?是方程f(x)?0的两个根已知函数f(x)?x?x?1，(???)，f?(x)是f(x) 的导数，设a1?1，an?1?an? f(an) (n?1，2，)。 ?f(an) (1)求?，?的值;(2)证明:对任意的正整数n，都有an??; (3)记bn?ln an?? (n?1，2，)，求数列?bn?的前n项和Sn。 an?? 试卷类型:B 2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数 学(理科) 参考答案 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，满分40分(在每小题给出的四个选项中。 只有一项是符合题目要求的。 一、选择题(本题8小题，每题5分，满分40分) 1( C 2(B 3(D 4(C 5(B 6(C 7(B 8(A 二、填空题(本题7小题，每题5分，满分30分，其中13，15是选做题，考生只能选 做两题，三题全答的，只计前两题得分) 9( 2 9 10( 3; 2 5 11(x?? 412( n(n?1) ;8;n(n-2)。 2 13((0，2) ; 114(6;[?,1] 2 15( ;3。 6 三、解答题 16((本小题满分,2分) (1)AB?(?3,?4)，AC?(c?3,?4)，若c=5， 则AC?(2,?4)， ; ?cos?A?cos?AC,AB???，?sin?A , (2)若?A为钝角，则? 17((本小题满分12分) (1) 3c?9?16?02525 解得c?，?c的取值范围是(,??); 33?c?0 (2)方法1:(不作要求):设线性回归方程为y?bx?a，则 f(a,b)?(3b?a?2.5)2?(4b?a?3)2?(5b?a?4)2?(6b?a?4.5)2?4a?2a(18b?14)?(3b?2.5)?(4b?3) ?(5a?4)?(6b?4.5) 2 2 2 2 2?a? 7?9b 3.5?4.5b时， 2 f(a,b)取得最小值(1.5b?1)2?(0.5b?0.5)2?(0.5b?0.5)2?(1.5b?1)2 5 ，?b?0.7,a?0.35时,(A，B)取得最小值; 2 即0.5[(3b?2)2?(b?1)2]?5b2?7b? 所以线性回归方程为y?0.7x?0.35; 方法2:由系数公式可知，x?4.5,y?3.5,b? 66.5?4?4.5?3.566.5?63 0.7 586?4?4.52 a?3.5?0.7? 9 0.35，所以线性回归方程为y?0.7x?0.35; 2 (3),,100时，y?0.7x?0.35?70.35，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术 改造前降低19.65吨标准煤( 18((本小题满分14分) (1)圆C:(x?2)2?(y?2)2?8; x2y2 (2)由条件可知a=5，椭圆?，若存在，则F在OQ的中垂线?1，?F(4，0) 259 上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称; y?3?1?x 直线CF的方程为y-1=?(x?1),即x?3y?4?0，设Q(x,y)，则?， x3y3???4?0??224? x???5解得? 12?y??5? 所以存在，Q的坐标为(, 19((本小题满分14分) 412 )。 55(1)由折起的过程可知，PE?平面ABC， S?ABC?S?BEF x22??S?BDC?x 5412 V(x) = 1 (9? x2)(0?x? 12 (2 )V'(x)? 1 所以x?(0,6)时，v'(x)?0 ，V(x) 单调递增;6?x??x2)， 4 时v'(x)?0 ，V(x)单调递减;因此x=6时，V(x )取得最大值 (3)过F作MF//AC交AD与M, 则 BMBFBEBE???,MB?2BE?12， PM= 1ABBCBDAB2 284?722 ?，?异面直线AC与PF所成角的余弦值为;7427 MF?BF?PF? 在?PFM中， cos?PFM? 20((本题满分14分) 解析1:函数y?f(x)在区间[-1，1]上有零点，即方程f(x)?2ax2?2x?3?a=0在[-1，1] 上有解， a=0时，不符合题意，所以a?0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>f(?1)?f(1)?0 或?af(?1)?0?af(1)?0?? 或a? 5?a或a?1. ???4?8a(3?a)?0?1?a? 5或a? 1?[?1.1]??a 所以实数a 的取值范围是a或a?1. 解析2:a=0时，不符合题意，所以a?0,又 ?f(x)?2ax2?2x?3?a=0在[-1，1]上有解， 12x2?1 ?(2x?1)a?3?2x在[-1，1]上有解?? a3?2x 2 2x2?1 在[-1，1]上有解，问题转化为求函数y?[-1，1]上的值域;设t=3-2x，x?[-1， 3?2x1(t?3)2?217 1]，则2x?3?t，t?[1,5],y???(t??6)， 2t2t 7t2?7 设g(t)?t?.g'(t)? 2，t?[1时，g'(t)?0，此函数g(t )单调递减，t?tt 时，g'(t)>0,此函数g(t)单调递增，?y 的取值范围是3,1]，?f(x)?2ax在[-1，1]上有解? 21((本题满分14分) 解析: (1)?f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)， ; ?? 1 ?3,1]?a? 1或a?。 a 2 2x?3?a=0 ??115 a(2a?1)?(2a?1)?nnna?an?1 (2)f'(x)?2x?1，an?1?an??an? 2an?12an?1 2n = 11(2an?1)??， 42an?12 5?a1?1， ?有基本不等式可知a2? ，??，an?时取等号) ，?a2? 0(当且仅当a1?? 0同，样a3? 1 a(n=1,2,??)， 2 (3)an?1???an??? (an?a)(an??)an?? (an?1?a) 2an?12an?1 而?????1，即??1???， (an??)2 ， an?1??? 2an?1 (an?a)21????同理an?1?a?,bn?1?2bn，又b1?ln1?? 2an? 1 32 sn?2(2n?1)ln ——PENG