09随机变量的独立性二维随机变量函数的分布2

09随机变量的独立性二维随机变量函数的分布2 概率论与数理统计习题解答 第二章随机变量及其分布 , 随机变量的独立性?二维随机变量函数的分布 一、设与是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度为 XYXY[0,1] y,,12,e,y,0;f(y), ,Y2,0,y,0., 求 (1) 的联合概率密度; (2) 概率( (X,Y)P(Y,X) 1,x,(0,1),解: (1)的概率密度为，的联合概率密度为(注意相互Xf(x),(X,Y)X,Y,X0,x,(0,1), 独立) y,,12,,0,,1,,0exy(,),()(),fxyfxfy ,XY2,0,其它,2yyx,,,1，,111，,222 (2) P(Y,X),f(x,y)dxdy,dxedy,(,e)dx,edxx,,,,,,000x2Y,X21x,,122 ,,2e,2(1,e),0.78690 YX二、设随机变量与独立，并且都服从二项分布: n,iii1p(i),Cpq, i,0, 1, 2,？, n;1Xn1 n,jjj2p(j),Cpq, j,0, 1, 2,？, n.2Yn2 Z,X，Y证明它们的和也服从二项分布( 证明: 设, 则 k,i，j kkn,in,k，iiik,ik,i12 P(k),P(Z,k),P(i)P(k,i),CpqCpq,,ZXYnn1200i,i,k，,nnkiik12 ,(CC)pq,nn12,0ikk,kkikiik由, 有 . 于是有 CC,CCC,C，，mnmnnnnn,,12120,0,iin，n,kik12P(k),Cpq (k,0,1,2,？,n，n) 12Zn，n12 Z,X，Y由此知也服从二项分布. YYXX三、设随机变量与独立，并且在区间[0，1]内服从均匀分布，在区间[0，2]内服从辛普 森分布: y, 0,y,1;, ,f(y),2,y, 1 ,y,2 ; ,Y ,0, y,0或y,2., Z,X，Y求随机变量的概率密度( 概率论与数理统计习题解答 第二章随机变量及其分布 1,x,[0,1],解: 的概率密度为 . 于是的联合概率密度为 f(y),X(X,Y),,0,x,[0,1], y, 当0,x,1,0,y,1, ,f(x,y),2,y, 当0,x,1,1 ,y,2 , ,0, 其它., 的联合分布函数为，其中是Z,X，YF(z),P{Z,z},P{X，Y,z},P{(x,y),D}DZ 与的定义域的公共部分. x，y,zf(x,y) 0z,0,z,3,2,z0,z,1,2,F(z),故有 3,2Z,z，3z,1,z,2,2,192zzz,3，2,,3,22, Z,X，Y 从而随机变量的概率密度为 0z,0,z,3, ,z0,z,1, f(z),,Z,2z，31,z,2, ,z,32,z,3, 四、电子仪器由六个相互独立的部件L() i,1,2;j,1,2,3ij LLL131112 X组成，联接方式如右图所示(设各个部件的使用寿命 ij 服从相同的指数分布，求仪器使用寿命的概率密度( e(,) LLL X解: 由题设，知的分布函数为 212223ij ,,x,1,e,x,0F, ,Xij0,x0,, Y (i,1,2,3)先求各个并联组的使用寿命的分布函数.因为当并联的两个部件都损i 坏时,第个并联组才停止工作,所以有 i Y,max(,,,) (i,1,2,3) i1i2i , (i,1,2,3)从而有的分布函数为 i ,,y2,(1,e),y,0F(y),FF, ,YXXi1i2i0,y0,, Z设"仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有 ZZ,min(,,,,,).从而有的分布函数为 123 ,,z231,[1,F(z)][1,F(z)][1,F(z)],z,0,1,[1,(1,e)],z,0,YYY123,,F(z) ,,Z0,z,00,z0,,,Z故的概率密度为 概率论与数理统计习题解答 第二章随机变量及其分布 ,,3z,,z,,z2,,6e(1,e)(2,e),z,0 f(z),,Z0,z0,, 概率论与数理统计习题解答 第二章随机变量及其分布