用代换法求解二重极限的类型和实例

用代换法求解二重极限的类型和实例 用代换法求解二重极限的类型和实例 第14卷第1期 2007年3月 兰州工业高等专科学校 JournalofLanzhouPolytechnicCoUege V01.14.No.1 Mar..2O07 文章编号:1009—2269(2007)01—0042—04 用代换法求解二重极限的类型和实例 阎家灏 (兰州工业高等专科学校基础学科部,甘肃兰州730050) 摘要:对于二元函数的二重极限,重点是极限的存在性及其求解方法.由于二重极限较为复杂,判 定极限的存在及求解,往往因题而异.依据变量(,Y)的不同变化趋势和函数f(,Y)的不同类 型,探索得出了一些新的变量代换及应用.采用恰当的变量代换的求解方法后,对复杂的二重极限 计算,就能简便,快捷地获得结果. 关键词:代换法;二重极限;求解方法;实例 中图分类号:0174.1文献标识码:A 对于二元函数f(,)的二重极限,重点是极限的存在性及其求解方法.二重极限实质上是包含任意 方向的逼近过程,是一个较为复杂的极限.在讨论极限的存在性时,只要有两个方向的极限不相等,就能确 定二重极限不存在,但要确定二重极限存在,则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等.相比之下,确定 二重极限的存在,相对难度较大,求解的方法更是灵活多样.笔者依据变量和Y的 不同变化趋势,及函数 f(,Y)的不同类型,采用恰当的变量代换,求解二重极限,简便,快捷地获得了结果,现 就介绍笔者探索出 的一些新的变量代换求解方法及实例. 1引例 例1求lim. '?,卜'o?UJ-I-Y 原解法n]_因为l{l=l南l?ll'Ve>0取=>0'当ll< yl且()?(0'0)时,有l_0l?l<-,, 由极限的定义得lim:0. 新解法: 丝一 2+Y2一 l=1 y: rcos20s r 2 c . os$ ,当(,y)一(0,0)时,有r一0+. FSI11 =r2cos20si112. 因为lcoin20l?l, .0)为=lirarc.in2_0_,?y,一u?u,十y一' 此例说明用极坐标代换求极限比用定义求极限简单. 例2求lim. (,.y)(0.0)'+' 收稿日期:2OO6—11—16 作者简介:阎家灏(1943一),男,甘肃兰州人,教授. 第1期阎家灏:用代换法求解二重极限的类型和实例 原胀].1,令y一则塑务-o,其值与斌 2)因为l搿IX3I-I-Iy3I?— I(1+I上l3) 1+(羔) yl(1+l詈l) I+() ?ll,lYl?ll?0 ?JYJ,JyJ>J ?脚x(1),所以,只要<号J<号,就有J_0J<s,因此,l,ira.,= 0. 此解法用代换Y=求极限,其结果与无关,但还需用极限定义加以验证. 新解法:令{rcos当(,y)一(.,.)时,有r一.. 李::,(cos30n30)2+V2一r2一1-. 因为lc.s30+sin3l?le.s3l+lsin3l?2,所以l 卜 im ...享{=lim.+r(c.s3+sin30)=.. 由引例可以看出,选择恰当的变量代换,在求解二重极限时,显得十分重要.现将新 探索出的一些变量 代换,函数,Y)的类型及实例列举如下: 2讨论当(X,Y)一(O,O)时,二元函数(XjY)的极限,用极坐标变换= rcosO,Y=rsinO,相应于,一O,将f(X,Y)=f(rcosO,rsinO)化成.1'(,)? (,,0)的形式 1)通过变换化不定式为定式求出极限. 例3求lim (.)一(0 解:令 .)一 1' f=rcosOiv:rsin,当(,y)一(0,0)时,有r一0,则 ,,' lim一:lim'_一 (",)一(0?0'~/2+y2+1—1广?0+~/r2+1—1 例4求. (,)一(0,0)'+' : ll?m:l1.m(+1):2一.=j———=====?———一=ll,.+l+l,=. +0(~/r+1)—1,一0+' 解:令{c.osO.,当(,y)一(0,0)时,有,一0+,则 =lim + lim r- .-o+Irz一?.( ? ,)呻(o?o)'+y',一0+',+一 2)利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量. 例5求lim(+y)., (1,,)(0.0)' 解:NN(x+y2)=e"'',",又0<fxyln(x+y2)f?(+y2)f 令{co.s.O,当(,y)一(0,0)时,有,一0+,则 ? 44?兰州工业高等专科学校第l4卷 ( l H ira ...) (x2+y2)ln(x2+y2)=Inr2 =.,于是 (._0) ln(x2+y2)=.,因此 ( l 卜 ira (...) (2+ e 0 =1. 例6求南-一?+', 解:令:M_.,),:,,_.,当一?,),一?时,有M一?,,,一?(?0),则 j=.一?'+','(u.u)一(0 再令 lira (H.p)一(0 /)-1 0)(U-I)+(己,一)2=...,南-(u.p)一(0.0).+己,. l":..鲫,当(,,,)一(o,o)时,相应有一o+.则【 ,,=rsinO 2己,0)M2+,,2:lim—r3 — co— s2O — s— inO :limrc.ssin0:O(因为lc.s20sin0l?1). r一0 r-r一0 ),)= 3依据函数厂(x,y)的特殊类型,利用两个变量,Y的和+Y=f,平方和2 +2=t及乘积=t等做代换,将二元函数厂(,)求极限的问题,整体或者 部分转化为一元函数求极限的问题 1)讨论当一?,),一.(.?0常数)时,二元函数厂(,),)的极限,作代换xy=t,相应有t一?, 利用已知一元函数的极限公式 例7求lira(1其中0?0C引. 解:因为(1+1X2 = (1+一1(+x ,当一?,),一 ', lim(1+_1)t f一?' =e,所以 lime[1n(1+)]?:e… limln(1+) — ?r.4 r+a 例8求一 lira + 其中.?o. r+ 0时,令xy=t,相应有t一?.则 … lim(1+)南:… lim[(1+)]南= 一?),一? — 'ay一" : - :(+),)),一…' 解:当一+?,),一0时,令xy=t,相应有t一+? 因为 =+? exy一 1e一1 xy y一 1 =lira 2)讨论一?,),一?时二元函数,(,),)的极限. e'一 1 =+?,且lira),=a,所以lira 例914]求lim(+y2)e-(X+川. 解:因为(:+y:)一c+,::一2?. 当一+?,),一+?时,令+),:t,相应有t一+?.则 lira ,+? =0, e r+ar+a eXY一 1 : 南 , + 为 因 又 y O = + 一 e , 2 y + 2 , m h!tt, 以 所 第1期阎家灏:用代换法求解二重极限的类型和实例?45? 例10] 一 lira1n. +?.. 解:令=,,Y=u 当一?,Y一?时,有u一0,u一0(?0),则 1im1n:1imu2u21n(u2+u) 一?'',''','(u.)一(O.O) 因为当u一0,u一0时,u2u?u?u+u<I,所以In(u+u)<0. (2+t}2)ln(2+u2)<u2u2In(2+u2)<0. 令(u+u):t,有t一0,从而1i(u+u)ln(u+u)=1imtlnt=0, 故 … lim刀1?n-o. 总之,对于求二元函数,(,y)的二重极限,采用恰当的变量代换求解方法,对大量的二重极限计算, 就能迎刃而解. 参考文献: [1]邹本腾.高等数学辅导[M].北京:机械工业出版社,2002. [2]张贵文.汪明凡.关于多元函数的极限[J].数学学习,1983,(1):3,4. [3]阎家灏.用极坐标变换确定二重极限的技巧及实例[J].兰州工业高等专科学校,2006,12(4):53—38 [4]阎家灏.正项级数敛散性的一种审敛[J].兰州工业高等专科学校,2004,11(4):37,38. [5]阎家灏.极限逆向问题的求解[J].兰州工业高等专科学校,2003,10(4):5,8. TheTypesandExamplestoSeektheSolutiontoDouble LimitwiththeSubstitutionTechnique YANJia—hao (TheBasicCoursesDepartmentofLanzhouPolytechnicCollege,Lanzhou730050,China) Abstract:Fordoublelimitofabinaryfunction,theexistenceofthelimitandthemethodstoseekitssolutionare emphasisamongourfocus.Asthedoublelimitiscomplex,todiscriminatetheexistenceofthelimitandtoseekits solutionaredifferent.Accordingtothedissimilarchangetrendandthedifferentfunctiontypes.somenewvariable substitutionsandapplicationarefoundoutinthispaper.Then,afteranumberofdoublelimitsreckoned,theresults couldbeobtainedsimplyandswiftlywiththesuitablevariablesubstitutions. Keywords:substitutiontechnique;doublelimit;methodstoseeksolution;example