函数奇偶性

函数奇偶性 衡水科技工程学校教师课时 系(部): 教师: 授课序号: 专业: 班级: 课程: 日期: 授课标题:函数奇偶性 1(教学目标:理解函数奇偶性 2(教学重点:函数奇偶性 3(教学难点:函数奇偶性判定 4(时间安排:2课时 5(作业安排:53页习题3.2A组1，2，3 6(教具安排: 课后小结: 1. 奇偶性的概念 2. 判断中注意的问题 1 教 案 附 页 教学过程: 备注 一. 引入新课 前面我们已经研究了函数的单调性 它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质今天我们继续研究函数的另一个性, 质从什么角度呢将从对称的角度来研究函数的性.? 质. 对称我们大家都很熟悉在生活中有很多对称,,在数学中也能发现很多对称的问题大家回忆一下在, 我们所学的内容中特别是函数中有没有对称问题, 呢? 学生可能会举出一些数值上的对称问题(, 等也可能会举出一些图象的对称问题此,,时教师可以引导学生把函数具体化如和, 等.) 结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题而我们还曾研究过, 2 关于轴对称的问题你们举的例子中还没有这样的,, 能举出一个函数图象关于轴对称的吗? 学生经过思考，能找出原因，由于函数是映射，一个只能对一个，而不能有两个不同的，故函数 的图象不可能只关于轴对称最终提出我们今天将. 重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题， 从形的特征中找出它们在数值上的规律. 讲解新课 2、对称点的坐标特征 如下图所示，点p(3 ，2)关于x轴的对称点是沿着x轴对折，得到与点;点p(3 ，2)关于y轴的对p(3,2),1 称点是沿y轴对折,得到的点;点p(3 ，2)关p(3,2),2 于原点o对称点是op绕原点o旋转180 ，得到 。 p(3,2),,3 3 y 3 2p(3,2)p(-3,2)2 1 -2-1-3 x o2134 -1 (3,-2)p1-2p(-3,-2)3 -3 一般地，设点为平面内的任意一点，则p(a,b) 点关于轴的对称点的坐标为;(1).p(a,b)X(a,-b) 点关于轴的对称点的坐标为;(2)p(a,b)y(-a,b) 点关于原点的对称点的坐标为(3)p(a,b)0(-a,-b). 例已知点，写出点关于轴的对称 1 .p(-2,3)px点的坐标。 已知点，写出点关于轴的对称点2.p(x,y)py 的坐标与关于原点对称点的坐标o. 4 设函数在函数图像上任取一点3.y=f(x), (，，写出点关轴的对称点的坐标paf(a))py 与关于原点的对称点的坐标o. 解点关于轴的对称点的坐标为 1.p(-2,3)x (-2,-3) 点关于轴的对称点的坐标为2.p(x,y)y 点关于原点对称点的坐标为(x,-y),p(x,y) (，)-x-y. 点关于轴的对称点的坐标为3.p(a,f(a)) y ，点关于原点的对称点(a,-f(a))p(a,f(a)) 0的坐标为。(-a,-f(a)) 函数的奇偶性3. 如果沿着轴对折，对折后轴两侧的图像完yy 全重合函数图像上的任意一点关于轴的对称点. py 仍然在函数图像上，那么称函数图像关于轴对p y称，并把轴叫做这个函数图像的对称轴y. 当函数的图像关于轴对称时，对任意y=f(x)y 5 ，且图像上任意点关于都有xD,,,xD,p(x,f(x)),y轴的对称点 仍在图像上因为的函数p(-x,f(x)).-x值为，所以对于函数的这个特性，f(-x) f(-x)=f(x). 给出如下的定义 设函数的定义域为数集，如果对于任意的D ，都有，且那么函数叫xD,,,xDf(-x)=f(x),f(x)做偶函数. 偶函数的图像关于轴对称，可以证明，图像关y 于轴对称的函数为偶函数y. 如果函数图像绕着原点旋转 ，旋转前后的180 图像完全重合，即函数图像上任意一点关于原点的p 对称点仍然在函数图像，那么称函数图像关于原点p' 中心对称，并把原点叫做这个函数图像的对称中心 。 6 函数的图像关于原点中心对称时，对任意的xD, 都有，且图像任意点关于原点xD,-p(x,(x))0的对称点仍在图像上因为的函数值p'(-x,-f(x)).-x为，所以对于函数的这个特性，f(-x)f(-x)=-f(x). 给出如定义: ，设函数的定义域为数集，如果对于任意的xD,D 都有xD,，且，-f(-x)=-f(x) 那么函数叫做奇函数f(x). 寄函数的图像关于原点中心对称，可以证明，0 图像关于原点中心对称函数为奇函数0. 如果一个函数是奇函数或偶函数，那么，就说这个函数具有奇偶性不具有奇偶性函数叫做非奇非偶. 函数. 7 由定义可以知道，判断一个函数是否具有奇偶性的基本是: 、求出函数的定义域 1. ，、如果对任意的都有，则分别计算xD,xD,2 - 出与，然后根据定义判断函数的奇偶性f(x)f(-x). ,如果存在某个但，则函数肯定是非寄非偶xD,,,xD00 函数. 当然，对于用图像法示的函数，可以通过对图像对称性的观察来判断函数是否具有奇偶性. 例判断下列函数的奇偶性: 2. 3. 32fx(),x1.f(x)=fxx()21,，x 4. x,1fx(), 3x解函数，对任意的定义域为(,),,，, 1f(x)= 的x,,,，,(,) 都有，且,,,,，,x(,) 33 F(-x)=(-x)=-x=-f(x) 3x所以是奇函数f(x)= . 8 2fxx()21,，，对任意的的定义域为(,),,，,2 都有，且x,,,，,(,),,,,，,x(,) 22 F(-x)=2(-x) +1=2x+1=f(x) 2fxx()21,，所以函数是偶函数 . ,fx(),0,，,，在的定义域是，显然,x3 1,0,，,，, fx(),,0,，,，但,是非奇非偶函数所以函数x-1. . fx(),x,1(,),,，,的定义域为，对任意的4 x,,,，,(,),,,,，,x(,)都有取则.x=1, f(-1)=(-1)-1=-2 f(1)=1-1=0 由于 f(-1),f(1),f(-1),-f(1) 从而既不是偶函数也不是奇函数，所以函数f(x) fx(),x,1是非奇非偶函数 . 偶函数的定义如果对于函数(1) : 的定义域内任意一个就都有那么,, 叫做偶函数. 9 给出定义后可让学生举几个例子如(, 等以检验一下对概念的初步认识) 奇函数的定义如果对于函数的定义(2) : 域内任意一个就叫做都有那么,, 奇函数. 例. 判断下列函数的奇偶性 (1); (2); (3);; (5); (6). 要求学生口答选出个题说过程(,1-2) 解是奇函数是偶函数: (1).(2) . 是偶函(3), 数. 判断奇偶性只需验证与之间的关系,, 但对你们的回答我不满意因为题目要求是判断奇偶, 性而你们只回答了一半另一半没有作答以第为,,(1)例说明怎样解决它不是偶函数的问题呢,? 10 经学生思考可找到函数然后继续提问,.: 是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢能证明吗?? 例2. 已知函数既是奇函数也是偶函数,求 证: .(板) (试由学生来完成) 证明既是奇函数也是偶函数:, 且=,, =. 即,. 证后教师请学生记住结论的同时追问这样的,,函数应有多少个呢学生开始可能认为只有一个经?,教师提示可发现只是解析式的特征若改变, ,函数的定义域如,,,, 它们显然是不同的函数但它们都是既,,是奇函数也是偶函数由上可知函数按其是否具有奇. 偶性可分为四类 函数按其是否具有奇偶性可分为四类板(4) : (书) 11 例3. 判断下列函数的奇偶性(板书) (1); (2); (3) . 由学生回答不完整之处教师补充,. 解当时为奇函数当时: (1),,, 既不是奇函数也不是偶函数. 当时既是奇函数也是偶函数当(2), , 时是偶函数, . 当时于是(3) , , 当时于是,,= , 综上是奇函数. 教师小结注意分类讨论的使用是分 (1)(2),(3)段函数当检验具并不能说明,, 备奇偶性因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的, 刻画因此必须均有成立二者缺,, 12 一不可. 课堂练习 、与点(，)关于轴对称的点的坐标是 1-21x 、与点(，)关于轴对称的点的坐标是 2-1-3y 、与点(，)关于坐标原点对称的点的坐标是 32-1 、断奇偶性 4 f(x)=x, 1fx(),2x f(x)=-3x+1 2fxx()31,,， 作业 习题3.2 组A 13 写出该函数的定义域与值域;1 写出该函数的最大值与最小值2; 写出该函数的单调区间3. 根据下列函数图像判断函数的奇偶性 1 2 14 3 4 15