相似

相似 一．选择题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，EF∥BC，=，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（　　） 　 A． 9 B． 10 C． 12 D． 13 2．如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（　　） 　 A． B． C． D． 3．如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（　　） 　 A． B． C． D． 4．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（　　） 　 A． 2 B． 3 C． D． +1 　 5．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（　　） 　 A． B． C． D． 2 6．如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为何？（　　） 　 A． B． C． 5 D． 6 7．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（　　） 　 A． 2：5：25 B． 4：9：25 C． 2：3：5 D． 4：10：25 8．如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（　　） 　 A． 1：2 B． 2：3 C． 1：3 D． 1：4 9．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD•DH中，正确的是（　　） 　 A． ①②④ B． ①②③ C． ②③④ D． ①②③④ 10．已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（　　） 　 A． B． C． D． 11．如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的面积是3，则四边形ABCD的面积是（　　） 　 A． 3 B． 6 C． 9 D． 12 12．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设=k，下列结论：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（　　） 　 A． （1）（2）（3） B． （1）（3） C． （1）（2） D． （2）（3） 13如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（　　） 　 A． B． 2 C． D． 3 14．如图，△ABD中，EF∥BD交AB于点E、交AD于点F，AC交EF于点G、交BD于点C，S△AEG=S四边形EBCG，则的值为（　　） 　 A． B． C． D． 15．在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（　　） 　 A． B． C． D． 16如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（　　） 　 A． （﹣2，3） B． （2，﹣3） C． （3，﹣2）或（﹣2，3） D． （﹣2，3）或（2，﹣3） 17．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（　　） 　 A． 1组 B． 2组 C． 3组 D． 4组F 18．如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　） 　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 12 19．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中： ①CE=BD； ②△ADC是等腰直角三角形； ③∠ADB=∠AEB； ④CD•AE=EF•CG； 一定正确的结论有（　　） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 20．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　） 　 A． 16 B． 17 C． 18 D． 19 21．如图，为一个四边形ABCD，其中AC与BD交于E点，且两灰色区域的面积相等．若AD=11，BC=10，则下列关系何者正确（　　） 　 A． ∠DAE＜∠BCE B． ∠DAE＞∠BCE C． BE＞DE D． BE＜DE 22．如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（　　） 　 A． ：l B． ：l C． 5：3 D． 不确定 23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的边EF与BC重合，点G、H分别在AC、AB上运动，当矩形EFGH的面积最大时，EF的长是（　　） 　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 24．如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是（　　） 　 A． （3，2） B． （﹣2，﹣3） C． （2，3）或（﹣2，﹣3） D． （3，2）或（﹣3，﹣2） 25．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G．下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB；②CG•BF=BC•CF；③BH=FG；④．其中正确的序号是（　　） 　 A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④ 26．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　） 　 A． 0.618 B． C． D． 2 27．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（　　） 　 A． B． C． D． 28．如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（　　） 　 A． B． C． D． 29．如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为（　　） 　 A． 7 B． 14 C． 21 D． 28 30．以OA为斜边作等腰直角三角形OAB，再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰直角三角形OBC，如此继续，得到8个等腰直角三角形（如图），则图中△OAB与△OHI的面积比值是（　　） 　 A． 32 B． 64 C． 128 D． 256 　 相似1 参考与试题解析 　一．选择题（共30小题） 1．（2012•遵义）如图，在△ABC中，EF∥BC，=，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（　　） 　 A． 9 B． 10 C． 12 D． 13 考点： 相似三角形的判定与性质。1121244 专题： 计算题。 ： 求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出=，把S四边形BCFE=8代入求出即可． 解答： 解：∵=，∴==，∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴==，∴9S△AEF=S△ABC， ∵S四边形BCFE=8，∴9（S△ABC﹣8）=S△ABC，解得：S△ABC=9． 故选A． 点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目． 2．（2012•玉林）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 位似变换；坐标与图形性质。1121244 分析： 延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比． 解答： 解：∵在正方形ABCD中，AC=3 ∴BC=AB=3， 延长A′B′交BC于点E， ∵点A′的坐标为（1，2）， ∴OE=1，EC=A′E=3﹣1=2， ∴正方形A′B′C′D′的边长为1， ∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是． 故选B． 点评： 本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长． 3．（2012•宜宾）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理。1121244 分析： 根据三角形的中位线求出EF=BD，EF∥BD，推出△AEF∽△ABD，得出=，求出==，即可求出△AEF与多边形BCDFE的面积之比． 解答： 解：连接BD， ∵F、E分别为AD、AB中点， ∴EF=BD，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD， ∴==，∴△AEF的面积：四边形EFDB的面积=1：3， ∵CD=AB，CB⊥DC，AB∥CD，∴==， ∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为1：（1+4）=1：5， 故选C． 点评： 本题考查了三角形的面积，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中． 4．（2012•仙桃天门潜江江汉）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（　　） 　 A． 2 B． 3 C． D． +1 考点： 平行线分线段成比例；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。1121244 分析： 延长BC至F点，使得CF=BD，证得△EBD≌△EFC后即可证得∠B=∠F，然后证得AC∥EF，利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长． 解答： 解：延长BC至F点，使得CF=BD， ∵ED=EC ∴∠EDB=∠ECF ∴△EBD≌△EFC ∴∠B=∠F ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠ACB ∴∠ACB=∠F ∴AC∥EF ∴AE=CF=2 ∴BD=AE=CF=2 故选A． 点评： 本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线． 5．（2012•潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（　　） 　 A． B． C． D． 2 考点： 相似多边形的性质；翻折变换（折叠问题）。1121244 分析： 可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可． 解答： 解：∵AB=1， 设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1， ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似， ∴=，=， 解得x1=，x2=（负值舍去）， 经检验x1=是原方程的解． 故选B． 点评： 考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式． 6．（2012•台湾）如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为何？（　　） 　 A． B． C． 5 D． 6 考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质。1121244 专题： 探究型。 分析： 先根据相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出DF的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 解答： 解：在△BEF与△CFD中 ∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3 ∵∠B=∠C=90°， ∴△BEF∽△CFD， ∵BF=3，BC=12， ∴CF=BC﹣BF=12﹣3=9， 又∵DF===15， ∴=，即=， ∴EF= 故选B． 点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意得出△BEF∽△CFD是解答此题的关键． 7．（2012•绥化）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（　　） 　 A． 2：5：25 B． 4：9：25 C． 2：3：5 D． 4：10：25 考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平行四边形的性质。1121244 专题： 计算题。 分析： 根据平行四边形的性质求出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比，即可求出答案． 解答： 解：根据图形知：△DEF的边DF和△BFE的边BF上的高相等，并设这个高为h， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC=AB，DC∥AB， ∵DE：EC=2：3， ∴DE：AB=2：5， ∵DC∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴==，==， ∴==== ∴S△DEF：S△EBF：S△ABF=4：10：25， 故选D． 点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积，平行四边形的性质的应用，关键是求出和的值，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两三角形不相似，求面积比应根据三角形的面积公式求． 8．（2012•陕西）如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（　　） 　 A． 1：2 B． 2：3 C． 1：3 D． 1：4 考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理。1121244 分析： 在△ABC中，AD、BE是两条中线，可得DE是△ABC的中位线，即可证得△EDC∽△ABC，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 解答： 解：∵△ABC中，AD、BE是两条中线， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DE=AB， ∴△EDC∽△ABC， ∴S△EDC：S△ABC=（）2=． 故选D． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意中位线的性质的应用，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键． 9．（2012•牡丹江）如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD•DH中，正确的是（　　） 　 A． ①②④ B． ①②③ C． ②③④ D． ①②③④ 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质。1121244 分析： 由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得△AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC，则可证得AH+CH=DH；易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得AD2=OD•DH． 解答： 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵AB=AC， ∴AB=BC=AC， 即△ABC是等边三角形， 同理：△ADC是等边三角形 ∴∠B=∠EAC=60°， 在△ABF和△CAE中， ， ∴△ABF≌△CAE（SAS）； 故①正确； ∴∠BAF=∠ACE， ∵∠AEH=∠B+∠BCE， ∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°； 故②正确； 在HD上截取HK=AH，连接AK， ∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°， ∴点A，H，C，D四点共圆， ∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH， ∴△AHK是等边三角形， ∴AK=AH，∠AKH=60°， ∴∠AKD=∠AHC=120°， 在△AKD和△AHC中， ， ∴△AKD≌△AHC（AAS）， ∴CH=DK，∴DH=HK+DK=AH+CH； 故③正确； ∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH， ∴△OAD∽△AHD， ∴AD：DH=OD：AD，∴AD2=OD•DH． 故④正确． 故选D． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 10．（2012•绵阳）已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则sin∠ABD=（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。1121244 分析： 作DE⊥AB于点E，根据相等的角的三角函数值相等即可得到===，设CD=1，则可以求得AD的长，然后利用勾股定理即可求得DE、AE的长，则BE可以求得，根据同角三角函数之间的关系即可求解． 解答： 解：作DE⊥AB于点E． ∵∠CBD=∠A， ∴tanA=tan∠CBD====， 设CD=1，则BC=2，AC=4， ∴AD=AC﹣CD=3， 在直角△ABC中，AB===2， 在直角△ADE中，设DE=x，则AE=2x， ∵AE2+DE2=AD2，∴x2+（2x）2=9， 解得：x=，则DE=，AE=． ∴BE=AB﹣AE=2﹣=， ∴tan∠DBA==，∴sin∠DBA=． 故选A． 点评： 本题考查了三角函数的定义，以及勾股定理，正确理解三角函数就是直角三角形中边的比值是关键． 11．（2012•茂名）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的面积是3，则四边形ABCD的面积是（　　） 　 A． 3 B． 6 C． 9 D． 12 考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理。1121244 分析： 由相似三角形△AEH∽△ABD的面积比等于相似比的平方可以求得△AEH与△ABD的面积之比，则可得S▱EFGH=S四边形ABCD． 解答： 解：在△ABD中，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EH=BD（三角形中位线定理），且△AEH∽△ABD． ∴==，即S△AEH=S△CBD ∴S△AEH+S△CFG=（S△ABD+S△CBD）=S四边形ABCD． 同理可得S△BEF+S△DHG=（S△ABC+S△CDA）=S四边形ABCD，∴S四边形EFGH=S四边形ABCD， ∴S四边形ABCD=2S四边形EFGH=6； 故选B． 点评： 本题考查了三角形的中位线的性质及相似三角形的性质．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 12．（2012•泸州）如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设=k，下列结论：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（　　） 　 A． （1）（2）（3） B． （1）（3） C． （1）（2） D． （2）（3） 考点： 相似三角形的判定与性质；矩形的性质。1121244 分析： （1）由四边形ABCD是矩形，可得∠B=∠C=90°，又由EF⊥AE，利用同角的余角相等，即可求得∠BAE=∠FEC，然后利用有两角对应相等的三角形相似，证得△ABE∽△ECF； （2）由（1），根据相似三角形的对应边成比例，可得，又由E是BC的中点，即可得，继而可求得tan∠BAE=tan∠EAF，即可证得AE平分∠BAF； （3）当k=1时，可得四边形ABCD是正方形，由（1）易求得CF：CD=1：4，继而可求得AB：CD与BE：DF的值，可得△ABE与△ADF不相似． 解答： 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°， ∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC， ∴△ABE∽△ECF； 故（1）正确； （2）∵△ABE∽△ECF， ∴，∵E是BC的中点，即BE=EC，∴， 在Rt△ABE中，tan∠BAE=，在Rt△AEF中，tan∠EAF=， ∴tan∠BAE=tan∠EAF，∴∠BAE=∠EAF， ∴AE平分∠BAF； 故（2）正确； （3）∵当k=1时，即=1，∴AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD， ∵△ABE∽△ECF，∴， ∴CF=CD，∴CF=CD，∴AB：AD=1，BE：DF=2：3， ∴△ABE与△ADF不相似；故（3）错误． 故选C． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用． 13．（2012•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（　　） 　 A． B． 2 C． D． 3 考点： 平行线分线段成比例；等腰直角三角形；菱形的性质。1121244 专题： 动点型。 分析： 首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得=，再示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值． 解答： 解：连接PP′交BC于O， ∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC， ∴∠POQ=90°，∵∠C=90°，∴PO∥AC，∴=， ∵设点Q运动的时间为t秒， ∴AP=t，QB=t，∴QC=6﹣t，∴CO=3﹣， ∵AC=CB=6，∠ACB=90°， ∴AB=6，∴=， 解得：t=2， 故选：B． 点评： 此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是熟记平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．推出比例式=，再表示出所需要的线段长代入即可． 14．（2012•呼伦贝尔）如图，△ABD中，EF∥BD交AB于点E、交AD于点F，AC交EF于点G、交BD于点C，S△AEG=S四边形EBCG，则的值为（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例。1121244 分析： 利用相似三角形△AEG∽△ABC的性质证得==；然后根据平行线截线段成比例求得==． 解答： 解：∵S△AEG=S四边形EBCG，∴S△AEG=S△ABC，又∵EF∥BD， ∴=（平行线截线段成比例），∠EAG=∠BAC，∴△AEG∽△ABC， ∴==（相似三角形面积的比等于相似比的平方）；∴=；∴==． 故选D． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例．平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． 15．（2012•鄂州）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质。1121244 专题： 规律型。 分析： 首先设正方形的面积分别为S1，S2…S2012，由题意可求得S1的值，易证得△BAA1∽△B1A1A2，利用相似三角形的对应边成比例与三角函数的性质，即可求得S2的值，继而求得S3的值，继而可得规律：Sn=5×（）2n﹣2，则可求得答案． 解答： 解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）， ∴OA=1，OD=2，设正方形的面积分别为S1，S2…S2012， 根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x， ∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°，∴△BAA1∽△B1A1A2， 在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD==，∴AB=AD=BC=，∴S1=5， ∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，∴∠ADO=∠BAA1， ∴tan∠BAA1===，∴A1B=，∴A1B=A1C=BC+A1B=， ∴S2=×5=5×（）2，∴==，∴A2B1=×=， ∴A2C1=B1C1+A2B1=+==×（）2，∴S3=×5=5×（）4， 由此可得：Sn=5×（）2n﹣2，∴S2012=5×（）2×2012﹣2=5×（）4022． 故选D． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，解题的关键是得到规律Sn=5×（）2n﹣2． 16．（2012•东营）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（　　） 　 A． （﹣2，3） B． （2，﹣3） C． （3，﹣2）或（﹣2，3） D． （﹣2，3）或（2，﹣3） 考点： 相似多边形的性质；坐标与图形性质。1121244 分析： 由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（﹣4，6），即可求得答案． 解答： 解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似， ∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC， ∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的， ∴位似比为：1：2， ∵点B的坐标为（﹣4，6）， ∴点B′的坐标是：（﹣2，3）或（2，﹣3）． 故选D． 点评： 此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用． 17．（2012•德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（　　） 　 A． 1组 B． 2组 C． 3组 D． 4组F 考点： 相似三角形的应用；解直角三角形的应用。1121244 分析： 根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据=即可解答． 解答： 解：此题比较综合，要多方面考虑， ①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长； ②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB； ③，因为△ABD∽△EFD可利用=，求出AB； ④无法求出A，B间距离． 故共有3组可以求出A，B间距离． 故选C． 点评： 本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出． 18．（2011•遵义）如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　） 　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 12 考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质。1121244 分析： 根据已知条件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值． 解答： 解：∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形， ∴△CEF∽△OME∽△PFN， ∴OE：PN=OM：PF， ∵EF=x，MO=3，PN=4， ∴OE=x﹣3，PF=x﹣4， ∴（x﹣3）：4=3：（x﹣4）， ∴（x﹣3）（x﹣4）=12， ∴x=0（不符合题意，舍去），x=7． 故选C． 点评： 本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边． 19．（2011•义乌市）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中： ①CE=BD； ②△ADC是等腰直角三角形； ③∠ADB=∠AEB； ④CD•AE=EF•CG； 一定正确的结论有（　　） 　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质。1121244 分析： ①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD， ②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形； ③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB； ④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，进而得出△CGD∽△EAF，得出比例式． 解答： 解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， 即：∠BAD=∠CAE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD， ∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE=BD， ∴故①正确； ②∵四边形ACDE是平行四边形，∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD， ∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=AD，∴AD=CD，∴△ADC是等腰直角三角形， ∴②正确； ③∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°， ∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，∴∠BAE=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°， 又AB=AB，AD=AE，∴△BAE≌△BAD（SAS），∴∠ADB=∠AEB； 故③正确； ④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD， ∴△CAE≌△BAE，∴∠BEA=∠AEC=∠BDA， ∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE+∠BEA=90°， ∵∠GFD=∠AFE，∴∠GDF+∠GFD=90°， ∴∠CGD=90°，∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF， ∴△CGD∽△EAF，∴，∴CD•AE=EF•CG． 故④正确，故正确的有4个．故选D． 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及相似三角形的判定，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及相似三角形的判定是解决问题的关键． 20．（2011•泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　） 　 A． 16 B． 17 C． 18 D． 19 考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质。1121244 专题： 计算题。 分析： 由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答． 解答： 解：如图，设正方形S2的边长为x， 根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD， ∴AC=2CD，CD==2， ∴EC2=22+22，即EC=； ∴S2的面积为EC2==8； ∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9， ∴S1+S2=8+9=17． 故选B． 点评： 本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力． 21．（2011•台湾）如图，为一个四边形ABCD，其中AC与BD交于E点，且两灰色区域的面积相等．若AD=11，BC=10，则下列关系何者正确（　　） 　 A． ∠DAE＜∠BCE B． ∠DAE＞∠BCE C． BE＞DE D． BE＜DE 考点： 相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；三角形的面积。1121244 分析： 首先作辅助线：过点A与D分别作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N，即可得AM∥DN，又由两灰色区域的面积相等，易得AM=DN，即可证得四边形AMND是平行四边形，可证得：△ADE∽△CBE，根据相似三角形的性质即可求得答案． 解答： 解：过点A与D分别作AM⊥BC于M，DN⊥BC于N， ∴AM∥DN，∵S△ABE=S△DEC，∴S△ABC=S△DBC， ∵S△ABC=•BC•AM，S△DBC=•BC•DN， ∴AM=DN，∴四边形AMND是平行四边形， ∴AD∥BC，∴△ADE∽△CBE， ∴，∵AD=11，BC=10，∴BE＜DE． 故选D． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及三角形面积问题．此题综合性很强，解题时要注意数形结合思想的应用． 22．（2011•深圳）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（　　） 　 A． ：l B． ：l C． 5：3 D． 不确定 考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质。1121244 分析： 连接OA、OD，由已知可以推出OB：OA=OE：OD，推出△ODA∽△OEB，根据锐角三角函数即可推出AD：BE的值． 解答： 解：连接OA、OD， ∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点， ∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°， ∴OD：OE=OA：OB=：1， ∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA 即∠DOA=∠EOB， ∴△DOA∽△EOB， ∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1． 故选A． 点评： 本题主要考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的性质，本题的关键在于找到需要证相似的三角形，找到对应边的比即可． 23．（2011•黔西南州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=12，AD=8，矩形EFGH的边EF与BC重合，点G、H分别在AC、AB上运动，当矩形EFGH的面积最大时，EF的长是（　　） 　 A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值。1121244 分析： 设HG=x，KD=y，根据矩形的对边平行可得HG∥EF，然后得到△AHG与△ABC相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，用x表示出y，然后根据矩形的面积公式求解并整理，再利用二次函数的最值问题进行求解即可． 解答： 解：如图，设HG=x，KD=y，∵四边形EFGH是矩形， ∴HG∥EF，∴△AHG∽△ABC，∵AD是BC边上的高， ∴AK⊥HG，∠ADF=∠EFG=∠FGK=90°，∴四边形DFGK是矩形， ∴KD=GF=y，∴AK：AD=HG：BC，∵BC=12，AD=8，∴，解得：y=﹣x+8， ∴矩形EFGH的面积为：xy=x•（﹣x+8）=﹣（x﹣6）2+24， ∴当x=6，即HG=6时，内接矩形EFGH有最大面积，最大面积是24．∴EF=GH=6． 故选B． 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及二次函数的最值问题．注意根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出矩形EFGH的长与宽的关系是解题的关键． 24．（2011•聊城）如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是（　　） 　 A． （3，2） B． （﹣2，﹣3） C． （2，3）或（﹣2，﹣3） D． （3，2）或（﹣3，﹣2） 考点： 位似变换；坐标与图形性质。1121244 分析： 根据位似图形的位似比求得相似比，然后根据B点的坐标确定其对应点的坐标即可． 解答： 解：∵若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的， ∴两矩形的相似比为1：2，∵B点的坐标为（6，4），∴点B1的坐标是（3，2）或（﹣3，﹣2）．故选D． 点评： 本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的面积的比确定其位似比． 25．（2011•乐山）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G．下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB；②CG•BF=BC•CF；③BH=FG；④．其中正确的序号是（　　） 　 A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④ 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。1121244 分析： ①根据正方形的性质求证△BHE为直角三角形即可得出结论； ②由①求证△CGF∽△BCF．利用其对应边成比例即可求得结论； ③由①求证△BHE≌△CGF即可得出结论， ④利用相似三角形对应边成比例即可求得结论． 解答： 解：①∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF，∴∠BEA=∠CFB，∵CG∥AE， ∴∠GCB=∠AEB∴∠CFG=∠GCB，∴∠CFG+∠GCF=90°即△CGF为直角三角形， ∴CG∥AE交BF于点G， ∴△BHE也为直角三角形，∴tan∠HBE=cot∠HEB；∴①正确． ②由①可得△CGF∽△BCF，∴=，∴CG•BF=BC•CF，∴②正确； ③由①得△BHE≌△CGF，∴BH=CG，而不是BH=FG∴③BH=FG错误； ④∵△BCG∽△BCF， ∴=，即BC2=BG•BF，同理CF2=BF•GF，∴=， ∴④正确，综上所述，正确的有①②④．故选D． 点评： 此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，步骤繁琐，有一定的拔高难度，属于中档题． 26．（2010•潍坊）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（　　） 　 A． 0.618 B． C． D． 2 考点： 相似多边形的性质。1121244 分析： 根据相似多边形的对应边成比例求解． 解答： 解：∵矩形ABCD∽矩形BFEA， ∴AB：BF=AD：AB，∴AD•BF=AB•AB，又∵BF=AD， ∴AD2=AB2，∴=．故选B． 点评： 本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 27．（2010•威海）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质。1121244 专题： 规律型。 分析： 根据相似三角形的判定原理，得出△AA1B∽△A1A2B1，继而得知∠BAA1=∠B1A1A2；利用勾股定理计算出正方形的边长；最后利用正方形的面积公式计算三个正方形的面积，从中找出规律，问题也就迎刃而解了． 解答： 解：设正方形的面积分别为S1，S2…S2010，根据题意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2， ∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x（同位角相等）．∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°，∴△BAA1∽△B1A1A2， 在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=，cot∠DAO==， ∵tan∠BAA1==cot∠DAO，∴BA1=AB=，∴CA1=+=×， 同理，得：C1A2=××，由正方形的面积公式，得：S1=， S2=×，S3=××， 由此，可得Sn=×（1+）2n﹣2，∴S2010=5×（）2×2010﹣2，=5×（）4018．故选D 点评： 本题综合考查了相似三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识点，另外，在解题过程中，要认真挖掘题中隐藏的规律，这样可以降低解题的难度，提高解题效率． 28．（2010•铜仁地区）如图，小明作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积．然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积…，由此可得，第10个正△A10B10C10的面积是（　　） 　 A． B． C． D． 考点： 相似三角形的性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理。1121244 专题： 综合题；规律型。 分析： 根据相似三角形的性质，先求出正△A2B2C2，正△A3B3C3的面积，依此类推△AnBnCn的面积是（）n﹣1，从而求出第10个正△A10B10C10的面积． 解答： 解：正△A1B1C1的面积是，而△A2B2C2与△A1B1C1相似，并且相似比是1：2， 则面积的比是，则正△A2B2C2的面积是×；因而正△A3B3C3与正△A2B2C2的面积的比也是，面积是（）2； 依此类推△AnBnCn与△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1的面积的比是，第n个三角形的面积是（）n﹣1． 所以第10个正△A10B10C10的面积是， 故选A． 点评： 本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键． 29．（2010•恩施州）如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为（　　） 　 A． 7 B． 14 C． 21 D． 28 考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平移的性质。1121244 分析： 根据三角形的中位线定理，结合相似三角形的性质可以求得三角形ABC的面积，从而求解． 解答： 解：∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，EF=BC．∴△AEF∽△ACB． ∴=．