Chapter02.3函数连续

null Chap2 ― 3 Chap2 ― 3函数的连续性一、函数连续的定义一、函数连续的定义 函数 f (x)在x0的极限存在与否和 f (x)在x0有无定义无关，有时候， f (x)在x0的极限恰好等于f (x0), 这时引进定义1 设 f : U(x0)R, 且此时x0称为 f (x)的连续点. 若 f (x)在x0不连续, 则称 f (x)在x0间断, 此时x0称为 f (x)的间断点. “”述： f (x)在x0连续   > 0,  > 0, 当|x – x0| <时, | f (x) – f (x0)| < .null“增量”表述：f (x)在x0连续  记号 x = x – x0称为自变量x在x0处的增量；  f = f (x) – f (x0) = f (x0+x ) – f (x0)称为函数 f (x)在x0 处的增量.几何意义 f (x)在x0连续, 则曲线在x0不断开(连续). 当自变量x在x0作微小变化时，函数值 f (x)的变化也是微小的.例1 若 f (x)在x0连续，试证 y = | f (x)|也在x0连续.思考 若| f (x)|在x0连续, 那么 f (x)在x0一定连续吗? 如果不一定连续, 再附加什么条件就连续呢?null右连续 设 f : [x0, x0+) R, 且 f (x0+0) = f (x0), 则称 f (x)在x0右连续. 试一试 左连续、 单侧连续？命题 f (x)在x0连续  f (x)在x0既左连续又右连续. 即 用于判断分段函数在分段点处的连续性！nullC(a, b): 由(a, b)内全体连续函数(即在(a, b)内每点都连续) 构成的集合.C[a, b]: 由[a, b]上全体连续函数(即在(a, b)内每点都连续, 且在a点右连续, 在b点左连续) 构成的集合.连续函数类二、间断点的分类二、间断点的分类此式不成立的情形:null2. x0为 f (x)的跳跃间断点：若f (x)在x0的左、右极限存在 但不相等，即 在此类间断点处，函数的左、右极限不同，在图形上 上表现为有一个“跳跃”. 它与 f (x)在x0有无定义无关.null 第一类间断点：函数左、右极限都存在(含可去、跳跃). 第二类间断点：函数左、右极限至少一个不存在(除第一 类间断点以外的). 它主要包含3. x0为 f (x)的无穷间断点：若4. x0为 f (x)的振荡间断点：若xx0时，函数不断交替取到 两个不同数附近的值而无极限.null间断点null例6 讨论函数例7 考察Riemann函数R(x)的连续性.null 局部有界性 若f (x)在x0连续，则 > 0, 使f (x)在U(x0, )有界.三、函数连续的性质 局部保号性 若f (x)在x0连续，且 f (x0)  0，则 > 0,  x U(x0, )有 |f (x)| > | f (x0)|/2. 局部不等式性 若 f (x), g(x)在x0连续, 且 f (x0) < g(x0)，则  > 0,  x U(x0, )有 f (x) < g(x).定理(零值性) 若 f C[a, b], 且 f (a)f (b) < 0, 则 (a, b), 使得 f () = 0.null定理(介值性) 若 f C[a, b], 且f (a) < f (b), 则(f (a), f (b)),  (a, b), 使得 f () = .推论 设I为区间, 且 f C(I), 则 f (I)也是区间. 连续函数把区间映射为区间！ 思考 把区间映射为区间的函数必定连续吗？例8 证明方程 xln x = 1在(0, +)上有且仅有一根.点评：构造辅助函数——微积分的重要方法之一.例9 试证任何实系数奇次代数方程必有实根.四、连续函数运算四、连续函数运算1 四则运算 若 f , g在x0连续, 则 f  g , f ·g , f /g (g(x0)  0) 在x0均连续.2 复合运算 若u = g(x)在x0连续, 且u0 = g(x0), 而 f (u)在u0连续，则 f (g(x))在x0连续. 函数连续意味着：极限符号‘lim’和函数符号‘ f ’可以交换； 或者说，极限符号‘lim’可以“通过”函数符号‘ f ’ ！null引理 若区间 I上的单调函数 的值域(I)为区间, 则  C(J). 3 逆运算定理(反函数连续性) 若函数 f 在区间 I 内严格单调且连续，记J = f (I), 则其反函数 f –1在区间J上也严格单调且连续. 4 初等函数连续性定理 基本初等函数在定义域内是连续的.定理 初等函数在定义区间内都是连续的.例10 求极限null五、闭区间上连续函数的性质1. 定理(有界性) 若 f C[a, b], 则 f 在[a, b]上有界.证明方法：“二分法”2. 定理(最值性) 若 f C[a, b], 则 f 在[a, b]上有最大、最小值. 即1, 2 [a, b]，使得null证明： f (x)在R上取到它的最小值.提示：对 f (0)运用正无穷大定义.null六、一致连续定义2 设 f : ER. 若 > 0,  > 0, x, xE且| x x| < :则称 f 在E上一致连续，记为f U.C(E). f U.C(E)  F E有f U.C(F)； f U.C(E)  f C(E). 思考 f U.C(E) 与f C(E)用“”叙述有何差异？ 不一致连续的肯定叙述： 0 > 0,  > 0, x, xE且| x x| < 但 0 > 0及xn, xnE: limn| xn xn|=0, 但null 叙述“f 在x0连续的Cauchy准则”！ 例14 设f (x) = ax + b, 证明 f U.C(R).一致连续的充要条件1. 定理(Cantor) f C[a, b]  f U.C[a, b].2. 定理 设 f C(a, b), 则 f U.C(a, b)  f (a+0)及f (b0)存在. (见习题30) 充分性显然，必要性见第三章null3. 设I为区间, 则f U.C(I) 按定义验证4. 设I为区间, 则f U.C(I)  {xn}, {xn} I, 且5. 设I为有界区间, 则 f U.C(I)  {xn} I为Cauchy列, 则f (xn)也为Cauchy列.必要性按定义验证，充分性用反证法必要性按定义验证，充分性见第三章习题3.1(9)