布朗运动与股票_期权

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 布朗运动与股票、期权 章南陵　陆瑞征 (同济大学物理系, 上海　200092) (收稿日期: 1998212207) 摘　要　布朗运动是生物学家布朗首先发现的物理现象, 物理学家、诺贝尔奖获得者 爱因斯坦和佩兰曾深入地从理论和实验上研究布朗运动. 出乎意料的是数学家、金融 学家也研究布朗运动, 1997年度诺贝尔经济学奖授予莫顿和斯科尔斯, 彰他们与布 莱克合作推导并发展期权定价模型所作的贡献, 而他们的理论出发点之一就是布朗 运动. 关键词　布朗运动; 股票; 期权; 诺贝尔奖 BROW N IAN MOT ION AND STOCK AND OPT ION Zhang Nan l ing　L u Ruizheng (Physics D epartm en t, Tongji U niversity, Shanghai　200092) Abstract　B row n ian mo tion is the physica l phenom enon w h ich w as first d iscovered by the b io logist B row n. Physicists and N ob le P rize w inners E in stein and Perrin re2 searched B row n ian mo tion theo ret ica lly and experim en ta lly. Believe it o r no t,m athe2 m atician s and financiers a lso studied the theo ry. In 1997,M erton and Scho les w ere aw arded the N obel P rize of Econom ics comm ending their con tribu t ion to the p ricing model of op t ion w h ich w as developed by them and P rof. B lack, how ever, one of the theo ry foundat ion s is a lso B row n ian M o tion. Key W ords　B row n ian M o tion; Stock; Op t ion; N obel P rize 　　布朗运动的实质是无规随机涨落, 这种 现象不仅在自然界中大量存在, 在工程技术 中也很常见. 例如, 许多极精密的悬丝式电流 表的小镜由于空气分子碰撞而出现无规则的 左右摆动, 尽管振幅很小, 但却限制了测量精 度. 布朗运动现象在社会生活中是否存在? 社会科学家是否研究布朗运动?回答是肯定 的, 当今社会众多人参与的股票买卖中, 股票 价格的变动就是一种布朗运动, 而且研究股 票价格变动的布朗运动比研究物理学中气体 分子无规则的布朗运动还要早, 爱因斯坦在 1905年发表关于布朗运动研究的论文前, 1900年法国数学家巴施利埃 (L ou is Bacheli2 er) 就发表了一篇研究股市的论文——《投机 理论》, 其中把股票价格的无规变动作为布朗 运动来处理. 巴施利埃假定: (1) 某种股票的价格B ( t) 随时间 t 连续变化; (2) 这种股价对于 t0 以后的某个时刻 t1来说, 其价格的变动 ∃B = B ( t1) - B ( t0) 是一个在原点 t0附近变动的正 态随机变量, 而且方差B ( t1) 2 - B ( t0) 2与 ( t1 - t0) 成正比; (3) 对于多个不相交的时间间 隔 (即在不同时段进行该股票交易) , 这些股 13工科物理　1999　V o l. 9　N o. 3 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 价的变动是互相独立的. 因此, 对股价变动来 说, 根据它现在的价格并不能确切知道它下 一时刻的价格, 而只能知道下一时刻价格的 概率分布. 这种股票价格的相对变动是布朗 运动的基本假设, 奠定了金融数学的基础. 巴 施利埃这篇长达60多页的论文, 后来就成为 金融数学的开创性论文. 巴施利埃和爱因斯坦对布朗运动的数学 描述, 因受到当时概率论尚未充分发展的限 制, 都不是很严格的. 首先给布朗运动较严格 的数学表达式的是控制论的发明人维纳 (N o rbert W iener, 1894～ 1964) , 1923年, 他 指出布朗运动在数学上是一个随机过程, 提 出了用“随机微分方程”来描述. 维纳的贡献 在于, 他发现布朗运动的轨迹是连续不可微, 因此, 他使用勒贝格 (H. L ebesgue, 1875～ 1941) 积分, 把随机微分方程表达为积分形 式. 真正为随机微分方程建立起严格的数学 理论的是日本数学家伊藤清 ( Ito K iyo si, 1915～ ). 从1942年到1946年, 他发表一系列 论文, 直接通过布朗运动的样本轨迹来定义 随机积分. 伊藤指出, 随机积分对固定的时间 t 是随机变量, 而随着 t 的流逝, 它是对布朗 运动B 适应的随机过程. 后来, 人们把他定 义的随机积分称为“伊藤积分”. 而引入伊藤 积分后, 随机微分方程也就建立起来了. 在牛顿力学中, 一个质点的微分位移 dx 可用下列微分方程来描述 dx ( t) = b ( t, x ( t) ) d t, 初始条件 x (0) = x 0 (1) 如果该质点的运动还受到了一个布朗运动 B ( t) 的干扰, 则微分方程就变成 dx ( t) = b ( t, x ( t) ) d t + Ρ( t, x ( t) ) dB ( t) , x (0) = x 0 (2) 其中后一项就代表布朗运动干扰, Ρ( t, x ( t) ) 叫“干扰强度”, (2) 式就称为随机微分方程, 它的积分形式为 x ( t) = x 0 +∫t0b (Σ, x (Σ) ) dΣ +∫t0Ρ(Σ, x (Σ) ) dB (Σ) (3) 　　上述随机微分方程是一个“正向”的方 程, 即从确定 x (0) = x 0出发, 根据布朗运动 B (Σ)在0到 t 之间的形态, 来推测轨线的统计 行为. 这就像天气预报一样, 根据今天的天气 状况通过大气运动方程的求解, 可以推测明 天的降雨概率. 有人从反方向提出问题, 即倒 向随机微分方程是否可以求解?例如告诉你 明天天气的可能状况, 要你确定今天是什么 天气. 回答是肯定的, 且有极广泛的应用, 尤 其是在当今金融界最热点的期权定价理论 中, 可以解决许多原先无从着手的问题. 1997 年度的诺贝尔经济学奖被授予哈佛大学的莫 顿 (Robert C. M erton) 教授和斯坦福大学的 斯科尔斯 (M yron S. Scho les)教授, 以表彰他 们与布莱克 (F ischer S. B lack J r) 教授合作, 推导并发展了期权定价模型——著名的布莱 克2斯科尔斯公式——所作的贡献. 遗憾的 是, 布莱克已于1995年8月去世, 不能共享此 项最高奖赏. 股票买卖是风险很大的金融活动, 期权 的出现原是为了减少股票交易中的风险. 例 如某股民在以每股10元卖出1000股A 股票 时, 为了减少风险, 可以同时买进一定数量 (例如也是1000股) 某种股票 (例如也是股票 A ) 的买入期权, 这个期权是指到某日期, 期 权持有者可以按规定的价格 (例如每股 12元) 买进1000股A 的权利, 如果到期日股 票A 的收盘价为13元, 那么, 该股民因为已 经以每股10元抛售, 共亏去3000元, 但是他又 能以每股12元买进1000股, 又板回1000元, 反 之, 如果到期日该股票跌到8元, 他可以不执 行期权合同, 以避免损失. 但事先他以每股10 元抛出与现在每股8元相比, 他早就赚了2000 元. 所以, 一个期权 (也称衍生证券)与卖空一 定数量的股票 (也称原生证券) 相组合, 就能 形成一种“涨跌保收”的机制. 期权交易已存在几十年了, 不过那是股 (下转第27页) 23 工科物理　1999　V o l. 9　N o. 3 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 式中L 为线圈距. 令 K 仪= - (Ξ2Λ2nTS T nRS R ö4ΠL ) I , 称为 仪器常数. 当线圈系参数和发射电流强度选 定后, 测井过程中 K 仪 值不变. 令 g = L2 r 3Θ3R Θ3T , 称为单元环几何因子, 它只与单元环和线圈系的相对位置有关. 此 时 (7)式可表示为 dΕR = K 仪 g Ρd rdz 把所有单元环对接收线圈的二次电动势都考 虑进去, 即对 r 及 z 积分, 得ΕR = K 仪Ρ∫∞0∫∞- ∞g d rdz (8) 由几何因子的归一化理论可知[1 ] ∫∞0∫ ∞ - ∞ g d rdz = 1 　　因此, 在均匀介质中,ΕR = K 仪 Ρ 故 Ρ = ΕRK 仪 (9) 由此可知, 当测出 ΕR 后便可知介质电导率 Ρ 的大小. 整个过程如图3所示.图3　感应测井过程图参　考　文　献[1 ]　张庚骥主编. 电法测井. 石油工业出版社, p 128～ p 131.[ 2 ]　张守谦等. 石油地球物理测井. 石油工业出版社, p 64.[ 3 ]　梁灿彬等. 电磁学. 高等教育出版社, p 291～p 299.[4 ]　郭硕鸿. 电动力学. 高等教育出版社, p 90～p 91. (上接第32页) 民之间的场外交易. 从1973年起, 转入证券交 易所内挂牌交易, 那一年美国芝加哥期权交 易所正式开张, 这是国际金融界的一件大事. 期权交易之所以能正式挂牌交易, 是因为布 莱克和斯科尔斯发表了他们的期权定价公 式. 如上所述, 期权是一种选择权, 期权的所 有者具有在未来某个特定时刻或时间段内按 某一预先确定的价格购买或出售某项资产 (如股票、外汇等)的权利, 他可以行使这种权 利, 也可以放弃这种权利, 甚至转让给别人. 对于出售期权的交易所来讲, 它有因履行到 期的期权的义务, 因此, 它必须在事先要得到 某种补修, 就像保险公司售出某种保险, 需要 收取一定费用一样. 期权买方要买的这种“权 利”值多少钱?或者说期权买方应该向卖方支 付多少“期权费”以获得这种权利?这就是一 个“期权定价”问题. 布莱克、斯科尔斯和莫顿在前人研究的 基础上, 利用金融学的一项基础理论——套 利理论, 经过艰苦复杂的研究终于得出了一 个关于期权价格的微分方程——“布莱克2斯 科尔斯方程”, 它是一个倒向随机微分方程, 根据期权到期时刻 t 的股票随机价格来确定 期权交易之初 t0时刻的期权交易价. 本世纪初爱因斯坦、佩兰 (J. B. Perrin ) 等物理学家悉心研究的布朗运动竟与本世纪 末现代金融中最新的期权定价理论有紧密的 联系, 可见物理学的基础作用的重要性. 在金 融界, 人们常把布莱克和斯科尔斯比作开普 勒, 把莫顿比作牛顿. 这样一种日常所见的布 朗运动, 竟有四位 (爱因斯坦、佩兰、莫顿、斯 科尔斯)诺贝尔奖获得者给以高度重视、深入 研究, 这恐怕是布朗先生始料未及的. 参　考　文　献 [ 1 ]　彭实戈, 史树中. 倒向随机微分方程和金融数 学. 科学, 1997, 49 (5) : 30—33. [ 2 ]　彭实戈. 布莱克2斯科尔斯公式. 科学, 1998, 50 (2) : 50～ 60. 72工科物理　1999　V o l. 9　N o. 3