中考数学

中考复习压轴题解析大集合 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证：E点在y轴上； (2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC ∴ 又∵DO′+BO′=DB ∴ ∵AB=6，DC=3，∴EO′=2 又∵ ，∴ ∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上 方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2① 再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2 ② 联立①②得 ∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上 （2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3） E（0，-2）三点，得方程组 解得a=-1,b=0,c=-2 ∴抛物线方程y=-x2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。 同（1）可得： 得：E′F=2 方法一：又∵E′F∥AB ，∴ S△AE′C= S△ADC- S△E′DC= = =DB=3+k S=3+k为所求函数解析式 方法二：∵ BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA ∴S△AE′C= S△BDE′ ∴S=3+k为所求函数解析式. 证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2 同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4 ∴ ∴S=3+k为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为 的圆与y轴交于A、D两点. （1）求点A的坐标； （2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若 ，抛物线 y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到 轴的距离为 .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM＝ ，OM＝1， 在Rt△AOM中，AO＝ ， ∴点A的坐标为A（0，1） （2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1　　∴y＝x＋1 令y＝0则x＝－1　　　　∴B（—1，0）， AB＝ 在△ABM中，AB＝ ，AM＝ ，BM＝2 ∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90° ∴直线AB是⊙M的切线 （3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝ ，AC＝2 ， ∴BC＝ ∵∠BAC＝90°　∴△ABC的外接圆的直径为BC， ∴ 而 　 　 ， 设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为： y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5 ∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法二：（接上） 求得∴h＝5 由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5） ∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5 又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0， a＝±5 ∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5 解法三：（接上）求得∴h＝5 因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 由已知得 ∴抛物线的解析式为 y＝5x2－5或y＝－5x2＋5. 3.如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线 过点A、B，且顶点C在⊙P上. (1)求⊙P上劣弧 的长； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. [解] （1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M. 　在Rt△PMB中，PB=2,PM=1, ∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120° 的长＝ （2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝ . 又OM=1，∴A（1－ ，0），B（1＋ ，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上， 则C(1，－3). 点A、B、C在抛物线上，则 　　解之得 抛物线解析式为 （3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD. 又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）. 又点D（0，－2）在抛物线 上，故存在点D（0，－2）， 使线段OC与PD互相平分. 4.如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0， ）在 轴的正半轴上，A、B是 轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q. （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在 轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由. [解] (1)在Rt△ABC中，OC⊥AB， ∴△AOC≌△COB. ∴OC2＝OA·OB. ∵OA∶OB＝3∶1,C(0, ), ∴ ∴OB＝1.∴OA＝3. ∴A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为 则 解之，得 ∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为 (2)EF与⊙O1、⊙O2都相切. 证明：连结O1E、OE、OF. ∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°, ∴四边形EOFC为矩形. ∴QE＝QO. ∴∠1＝∠2. ∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°， ∴EF与⊙O1相切. 同理：EF理⊙O2相切. (3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a. ∵MN∥OA, ∴△CMN∽△CAO. ∴ ∴ 解之，得 此时，四边形OPMN是正方形. ∴ ∴ 考虑到四边形PMNO此时为正方形， ∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形. 故 轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且 或 5.如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E( ， )，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点． (1)说明点A、C、E在一条条直线上； (2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由； (3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围． (本题图形仅供参考用) [解] （1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y= x+1. 将点E的坐标E( ， )代入y= x+1中，左边= ，右边= × +1= ， ∵左边=右边，∴点E在直线y= x+1上，即点A、C、E在一条直线上. （2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下 解法二：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为 ，且P在矩形ABCD内部，∴1＜ ＜3，由1＜1— 得— ＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下. （3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3 ∴ GO·AO— FO·AO=3 ∵OA=1，∴GO—FO=6. 设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2= ＜0，∴x1＜0＜x2， ∴GO= x2，FO= —x1，∴x2—（—x1）=6， 即x2+x1=6，∵x2+x1= — ∴— =6， ∴b= —6a, ∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1, 其顶点P的坐标为（3，1—9a）, ∵顶点P在矩形ABCD内部， ∴1＜1—9a＜3, ∴— ＜a＜0. ∴x=0或x= =6+ . 当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，则有：0＜6+ ≤ ，解得：— ≤a＜— 综合得：— ＜a＜— ∵b= —6a，∴ ＜b＜ 6.已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动. （1）求⊙A的半径； （2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式； （3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标； （4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式. [解] (1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90º 再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝ eq \r(2) (2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx 任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45º可得： b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1， ∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x 又由r＝ ，易得C(2，0)或C(－2，0) 由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2) 再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1 ∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分 (3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m＞0) 过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2， 又由切割线定理可得：OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分 ∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2)…8分 同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2) (4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2， 当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m， ∴S＝ 同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m； ∴S＝ 又若C(－2，0)， 此时l为y＝x，同理可得；S＝ 7.如图，直线 与函数 的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点． （1）若 的面积是 的面积的 倍，求 与 之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，是否存在 和 ，使得以 为直径的圆经过点 ．若存在，求出 和 的值；若不存在，请说明理由． [解]（1）设 ， (其中 )， 由 ，得 ∴ · · ( · · EMBED Equation.3 · · )， ， 又 ，∴ ，即 ， 由 可得 ，代入 可得 ① ∴ ， ， 　　　　　　 ∴ ，即 ． 又方程①的判别式 ， ∴所求的函数关系式为 EMBED Equation.3 ． （2）假设存在 , ，使得以 为直径的圆经过点 ． 则 ，过 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、 ． ∵ 与 都与 互余，∴ ． ∴Rt ∽Rt ，∴ ． ∴ ，∴ ， ∴ ， 即 ② 由（1）知 ， ，代入②得 ， ∴ 或 ，又 ，∴ 或 ， ∴存在 , ，使得以 为直径的圆经过点 ，且 或 ． 8.已知抛物线 与x轴交于两点 、 EMBED Equation.DSMT4 ，与y轴交于点C，且AB=6. （1）求抛物线和直线BC的解析式. （2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3）若 过A、B、C三点，求 的半径. （4）抛物线上是否存在点M，过点M作 轴于点N，使 被直线BC分成面积比为 的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. [解]（1）由题意得： 解得 经检验m=1，∴抛物线的解析式为： 或：由 得， 或 抛物线的解析式为 由 得 ∴A（－5，0），B（1，0），C（0，－5）. 设直线BC的解析式为 则 ∴直线BC的解析式为 (2)图象略. （3）法一：在 中， . 又 ∴ 的半径 法二： 由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线 的对称轴直线 上，设P（－2，－h）（h＞0）， 连结PB、PC，则 ， 由 ，即 ，解得h=2. 的半径 . 法三： 延长CP交 于点F. 为 的直径， 又 又 EMBED Equation.DSMT4 的半径为 （4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为 则点E的坐标为 若 则 解得 （不合题意舍去）， EMBED Equation.DSMT4 若 则 解得 （不合题意舍去）， EMBED Equation.DSMT4 存在点M，点M的坐标为 或（15，280）. 9. 如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为 、 ，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3. (1) 若抛物线 经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标. (2) 求直线DF的解析式. (3) 是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由. [解] (1) ∵抛物线过A、B两点， ∴ ，m=3. ∴抛物线为 . 又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点. ∴D点坐标为 . (2) 由题意知：AB=4. ∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2. ∴ON=1. 由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC， ∴NC×4=2×2. ∴NC=1. ∴C点坐标为 . 设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°. ∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°. ∵GC、GF是切线， ∴GC=GF. ∴∠3=∠4. ∴∠1=∠2. ∴GF=GP. ∴GC=GP. 可得CP=8. ∴P点坐标为 设直线DF的解析式为 则 解得 ∴直线DF的解析式为： (3) 假设存在过点G的直线为 ， 则 ，∴ . 由方程组 得 由题意得 ，∴ . 当 时， ， ∴方程无实数根，方程组无实数解. ∴满足条件的直线不存在. 10.已知二次函数 的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B（－1，0）和点C，顶点为P. （1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象； （2）设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标； （3）在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. [解] （1）解：∵二次函数 的图象过点A（－3，6），B（－1，0） 得 　　　　　　　　　解得 ∴这个二次函数的解析式为： 由解析式可求P（1，－2），C（3，0） 画出二次函数的图像 （2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45° 又已知：∠DPC＝∠BAC　　　∴△DPC∽△BAC ∴ 　　易求 ∴ ∴ 　　　∴ 解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E. 设抛物线的对称轴交x轴于F. 亦可证△AEB∽△PFD、 ∴ .　　　　　　易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2 ∴ ∴ 　　∴ （3）存在. （1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T ∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心， ∴MG＝MH＝OM 又∵ 且OM＋MC＝OC ∴ ∴ （2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′ 同理OM′＋OC＝M′C， 得 　　　　∴M′ 即在x轴上存在满足条件的两个点. SHAPE \* MERGEFORMAT 11.在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）. （1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标； （2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值； （3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式. [解] （1） ，顶点坐标为（1，－4）. （2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），即y＝ax2－2ax－3a， ∴ A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），M（1，－4a）， ∴ S△ACB＝ ×4× ＝6 ， 而a＞0， ∴ S△ACB＝6A、 作MD⊥x轴于D， 又S△ACM＝S△ACO ＋SOCMD －S△AMD＝ ·1·3a＋ （3a＋4a）－ ·2·4a＝a， ∴ S△ACM：S△ACB＝1：6. （3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k， 有菱形可知 ＝ ，a＋k＞0，k＜0， ∴ k＝ ， ∴ y＝ax2－2ax＋ ， ∴ . 记l与x轴交点为D， 若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝ ， ∴ k＝－ ，a＝ ， ∴ 抛物线的解析式为 . 若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝ ， ∴ k＝－ ，a＝ ， ∴ 抛物线的解析式为 . ②当抛物线开口向下时，同理可得 ， . 12.已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与x轴交于点A，抛物线 经过O、A两点。 （1）试用含a的代数式示b； （2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式； （3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 [解] （1）解法一：∵一次函数 的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0） ∵抛物线 经过O、A两点 解法二：∵一次函数 的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为（4，0） ∵抛物线 经过O、A两点 ∴抛物线的对称轴为直线 （2）由抛物线的对称性可知，DO＝DA ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO 又由（1）知抛物线的解析式为 ∴点D的坐标为（ ） ①当 时， 如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为 ，它沿x轴翻折后所得劣弧为 ，显然 所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D也关于x轴对称 ∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切 ∴点O为切点 ∴D'O⊥OD ∴∠DOA＝∠D'OA＝45° ∴△ADO为等腰直角三角形 ∴点D的纵坐标为 ∴抛物线的解析式为 ②当 时， 同理可得： 抛物线的解析式为 综上，⊙D半径的长为 ，抛物线的解析式为 或 （3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得 设点P的坐标为（x，y），且y＞0 ①当点P在抛物线 上时（如图2） ∵点B是⊙D的优弧上的一点 过点P作PE⊥x轴于点E 由 解得： （舍去） ∴点P的坐标为 ②当点P在抛物线 上时（如图3） 同理可得， 由 解得： （舍去） ∴点P的坐标为 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为 或 13.在直角坐标系中，⊙ 经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。 （1）如图，过点A作⊙ 的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为 ，求直线AC的解析式； （2）若⊙ 经过点M（2，2），设 的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。 [解] （1）如图1，过O作 于G，则 设 EMBED Equation.2 （3，0） AB是⊙ 的直径 切⊙ 于A， 在 中 设直线AC的解析式为 ，则 直线AC的解析式为 （2）结论： 的值不会发生变化 设 的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示 图2 则 在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN 平分 的值不会发生变化，其值为4。 14.已知：O是坐标原点，P（m，n）(m＞0)是函数y ＝ eq \f(k,x) (k＞0)上的点，过点P作直线PA⊥OP于P，直线PA与x轴的正半轴交于点A（a，0）(a＞m). 设△OPA的面积为s，且s＝1＋eq \f(n4,4). （1）当n＝1时，求点A的坐标； （2）若OP＝AP，求k的值； (3 ) 设n是小于20的整数，且k≠ eq \f(n4,2)，求OP2的最小值. [解] 过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ＝n，OQ＝m (1) 当n＝1时， s＝ eq \f(5,4) ∴ a＝ eq \f(2s,n)＝ eq \f(5,2) (2) 解1： ∵ OP＝AP PA⊥OP ∴△OPA是等腰直角三角形 ∴ m＝n＝ eq \f(a,2) ∴ 1＋ eq \f(n4,4)＝ eq \f(1,2)·an 即n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2 解2：∵ OP＝AP PA⊥OP ∴△OPA是等腰直角三角形 ∴ m＝n 设△OPQ的面积为s1 则：s1＝ eq \f(s,2) ∴ eq \f(1,2)·mn＝ eq \f(1,2)(1＋ eq \f(n4,4)) 即：n4－4n2＋4＝0 ∴ k2－4k＋4＝0 ∴ k＝2 (3) 解1：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△OAP 设：△OPQ的面积为s1，则 eq \f(s1,s)＝ eq \f(PO2,AO2) 即： eq \f(k,1＋eq \f(n4,4)) ＝k2,n2) eq \f(n2＋, n4,4) eq \f(4 (1＋) EQ \S(2) , n2) ) 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0 ∴k＝2或k＝ eq \f(n4,2)(舍去) ∴当n是小于20的整数时，k＝2. ∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋ eq \f(k2,n2) 又m＞0，k＝2， ∴ n是大于0且小于20的整数 当n＝1时，OP2＝5 当n＝2时，OP2＝5 当n＝3时，OP2＝32＋ eq \f(4,32)＝9＋ eq \f(4,9)＝ eq \f(85,9) 当n是大于3且小于20的整数时， 即当n＝4、5、6、…、19时，OP2得值分别是： 42＋ eq \f(4,42)、52＋ eq \f(4,52)、62＋ eq \f(4,62)、…、192＋ eq \f(4,192) ∵192＋ eq \f(4,192)＞182＋ eq \f(4,182)＞…＞32＋ eq \f(4,32)＞5 ∴ OP2的最小值是5. 解2： ∵ OP2＝n2＋m2＝n2＋ eq \f(k2,n2) ＝n2＋ eq \f(22,n2) ＝(n－ eq \f(2,n)) EQ \S(2) ＋4 当n＝ eq \f(2,n) 时，即当n＝ eq \r(2)时，OP2最小； 又∵n是整数，而当n＝1时，OP2＝5；n＝2时，OP2＝5 ∴ OP2的最小值是5. 解3：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ eq \f(PQ,QA)＝ eq \f(OQ,PQ) eq \f(n,a－m)＝ eq \f(m,n) 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0 ∴k＝2或k＝ eq \f(n4,2)(舍去) 解4：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△P AQ eq \f(s1,s－s1)＝ eq \f(OQ2,PQ2) 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0 ∴k＝2或k＝ eq \f(n4,2)(舍去) 解5：∵ PA⊥OP， PQ⊥OA ∴ △OPQ∽△OAP ∴ eq \f(OP,OA)＝ eq \f(OQ,OP) ∴ OP2＝OQ·OA 化简得：2n4＋2k2－k n4－4k＝0 （k－2）（2k－n4）＝0 ∴k＝2或k＝ eq \f(n4,2)(舍去) 15.如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、C三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。 （1）求出直线OC的解析式及经过O、A、C三点的抛物线的解析式。 （2）试在⑴中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D为顶点的三角形与△AOC全等，请直接写出点D的坐标。 （3）设从出发起，运动了t秒。如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围。 （4）设从出发起，运动了t秒。当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由。 [解] （1）∵O、C两点的坐标分别为O ，C 　　　设OC的解析式为 ，将两点坐标代入得： 　　　 ， ，∴ 　　　　∵A，O是 轴上两点，故可设抛物线的解析式为 　　　再将C 代入得： ∴ （2）D （3）当Q在OC上运动时，可设Q ，依题意有： ∴ ，∴Q ， 当Q在CB上时，Q点所走过的路程为 ，∵OC＝10，∴CQ＝ ∴Q点的横坐标为 ，∴Q ， （4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点OC上时，P运动的路程为 ，则Q运动的路程为 △OPQ中，OP边上的高为： 梯形OABC的面积＝ ，依题意有： 整理得： 　　∵△＝ ，∴这样的 不存在 当Q在BC上时，Q走过的路程为 ，∴CQ的长为： ∴梯形OCQP的面积＝ ＝36≠84× ∴这样的 值不存在 综上所述，不存在这样的 值，使得P，Q两点同时平分梯形的周长和面积 16.已知：如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°， （1）求m的值及抛物线顶点坐标； （2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式； （3）在（2）条件下，设P为 上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由. [解] （1）由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0. 　　设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·x2＝3m　 又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB　∴ ∴ ，即x1·x2＝－m2　 ∴－m2＝3m，解得　m＝0　或m＝－3　 而m＜0，故只能取m＝－3 这时， 故抛物线的顶点坐标为（ ，－4） （2）解法一：由已知可得：M（ ，0），A（－ ，0），B（3 ，0）， C（0,－3），D（0， 3） ∵抛物线的对称轴是x＝ ，也是⊙M的对称轴，连结CE ∵DE是⊙M的直径， ∴∠DCE＝90°，∴直线x＝ ，垂直平分CE， ∴E点的坐标为（2 ，－3） ∵ ，∠AOC＝∠DOM＝90°， ∴∠ACO＝∠MDO＝30°，∴AC∥DE ∵AC⊥CB，∴CB⊥DE 又FG⊥DE，　　∴FG∥CB 由B（3 ，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为： y＝ －3　 可设直线FG的解析式为y＝ ＋n，把（2 ，－3）代入求得n＝－5 故直线FG的解析式为y＝ －5　 解法二：令y＝0，解 －3＝0得 x1＝－ ，x2＝3 即A（－ ，0），B（3 ，0） 根据圆的对称性，易知：：⊙M半径为2 ，　 M（ ，0） 在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，OB＝3 ，，OC＝3 ∴∠CBO＝30°，同理，∠ODM＝30°。 而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°，∴DE⊥BC ∵DE⊥FG，　∴BC∥FG ∴∠EFM＝∠CBO＝30° 在Rt△EFM中，∠MEF＝90°，ME＝2 ，∠FEM＝30°， ∴MF＝4 ，∴OF＝OM＋MF＝5 ， ∴F点的坐标为（5 ，0） 在Rt△OFG中，OG＝OF·tan30°＝5 × ＝5 ∴G点的坐标为（0，－5） ∴直线　FG的解析式为y＝ －5　 （3）解法一： 存在常数k＝12，满足AH·AP＝12　 连结CP 由垂径定理可知 ， ∴∠P＝∠ACH （或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO） 又∵∠CAH＝∠PAC， ∴△ACH∽△APC ∴ 　即AC2＝AH·AP　 在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（ ）2＋32＝12 （或利用AC2＝AO·AB＝ ×4 ＝12 ∴AH·AP＝12　 解法二： 存在常数k＝12，满足AH·AP＝12 设AH＝x，AP＝y 由相交弦定理得HD·HC＝AH·HP 即 化简得：xy＝12 即　AH·AP＝12　 C（1，-3） A （2，-6） B D O x E y 图② C（1+k，-3） A （2，-6） B D O x E′ y 图① A B C D x M · y A B C O x y · P（1，－1） A B C O x y P（1，－1） · M A y x B E F O1 Q O O2 C B A E F O1 Q O O2 y x 2 1 3 4 N M P C X O P D C A B Y X G F O P D E C A B Y 由方程组 y=ax2—6ax+1 y=� EMBED Equation.3 ��� x+1 得：ax2—（6a+� EMBED Equation.3 ��� ）x=0 0 x y A A B (－2,0)C C(2,0) l O P E P′ x y （2,0） P C l O y x C F F F P P y x y x x y O （第27题图） A y x O N M G F E D C B F B A y x O N M G E D C P 1 2 3 4 x O y M′ T 1 1 -1 -2 4 -3 2 3 0 5 6 E -1 -2 2 3 A C x y B D M F S G H P A B C M O x y � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED Word.Picture.8 ��� QA P O C（8，6） B（18，6） A（18，0） x y A · B C D E F G M x y O A · B C D E F G M x y P H O _1292332543.unknown _1292332673.unknown _1292332738.unknown _1292332807.unknown _1292332839.unknown _1292332855.unknown _1292332863.unknown _1292332871.unknown _1292332875.unknown _1292332877.unknown _1292332879.unknown _1292332880.unknown _1292332882.unknown _1292332878.unknown _1292332876.unknown _1292332873.unknown _1292332874.unknown _1292332872.unknown _1292332867.unknown _1292332869.unknown _1292332870.unknown _1292332868.unknown _1292332865.unknown _1292332866.unknown _1292332864.unknown _1292332859.unknown _1292332861.unknown _1292332862.unknown _1292332860.unknown _1292332857.unknown _1292332858.unknown _1292332856.unknown _1292332847.unknown _1292332851.unknown _1292332853.unknown _1292332854.unknown _1292332852.unknown _1292332849.unknown _1292332850.unknown _1292332848.unknown _1292332843.unknown _1292332845.unknown _1292332846.unknown _1292332844.unknown _1292332841.unknown _1292332842.unknown _1292332840.unknown _1292332823.unknown _1292332831.unknown _1292332835.unknown _1292332837.unknown _1292332838.unknown _1292332836.unknown _1292332833.unknown _1292332834.unknown _1292332832.unknown _1292332827.unknown _1292332829.unknown _1292332830.unknown _1292332828.unknown _1292332825.unknown _1292332826.unknown _1292332824.unknown _1292332815.unknown _1292332819.unknown _1292332821.unknown _1292332822.unknown _1292332820.unknown _1292332817.unknown _1292332818.unknown _1292332816.unknown _1292332811.unknown _1292332813.unknown _1292332814.unknown _1292332812.unknown _1292332809.unknown _1292332810.unknown _1292332808.unknown _1292332774.unknown _1292332790.unknown _1292332798.unknown _1292332802.unknown _1292332804.unknown _1292332805.unknown _1292332803.unknown _1292332800.unknown _1292332801.unknown _1292332799.unknown _1292332794.unknown _1292332796.doc y B M O1 Q P O A N x T _1292332797.unknown _1292332795.unknown _1292332792.unknown _1292332793.unknown _1292332791.unknown _1292332782.unknown _1292332786.unknown _1292332788.unknown _1292332789.unknown _1292332787.unknown _1292332784.unknown _1292332785.unknown _1292332783.unknown _1292332778.unknown _1292332780.unknown _1292332781.unknown _1292332779.unknown _1292332776.unknown _1292332777.unknown _1292332775.unknown _1292332756.unknown _1292332765.unknown _1292332770.unknown _1292332772.unknown _1292332773.unknown _1292332771.unknown _1292332768.unknown _1292332769.unknown _1292332766.unknown _1292332767.doc y B O1 O A x C _1292332760.unknown _1292332763.unknown _1292332764.unknown _1292332762.unknown _1292332758.unknown _1292332759.unknown _1292332757.unknown _1292332747.unknown _1292332752.unknown _1292332754.unknown _1292332755.unknown _1292332753.unknown _1292332749.unknown _1292332750.unknown _1292332748.unknown _1292332743.unknown _1292332745.unknown _1292332746.unknown _1292332744.unknown _1292332741.unknown _1292332742.unknown _1292332740.unknown _1292332705.unknown _1292332721.unknown _1292332729.unknown _1292332733.unknown _1292332736.unknown _1292332737.unknown _1292332734.unknown _1292332731.unknown _1292332732.unknown _1292332730.unknown _1292332725.unknown _1292332727.unknown _1292332728.unknown _1292332726.unknown _1292332723.unknown _1292332724.unknown _1292332722.unknown _1292332713.unknown _1292332717.unknown _1292332719.unknown _1292332720.unknown _1292332718.unknown _1292332715.unknown _1292332716.unknown _1292332714.unknown _1292332709.unknown _1292332711.unknown _1292332712.unknown _1292332710.unknown _1292332707.unknown _1292332708.unknown _1292332706.unknown _1292332689.unknown _1292332697.unknown _1292332701.unknown _1292332703.unknown _1292332704.unknown _1292332702.unknown _1292332699.unknown _1292332700.unknown _1292332698.unknown _1292332693.unknown _1292332695.unknown _1292332696.unknown _1292332694.unknown _1292332691.unknown _1292332692.unknown _1292332690.unknown _1292332681.unknown _1292332685.unknown _1292332687.unknown _1292332688.unknown _1292332686.unknown _1292332683.unknown _1292332684.unknown _1292332682.unknown _1292332677.unknown _1292332679.unknown _1292332680.unknown _1292332678.unknown _1292332675.unknown _1292332676.unknown _1292332674.unknown _1292332608.unknown _1292332640.unknown _1292332656.unknown _1292332665.unknown _1292332669.unknown _1292332671.unknown _1292332672.unknown _1292332670.unknown _1292332667.unknown _129233266