为什么会生出先天性心脏病患儿

-/湖南大学本科课程《随机过程》习题集主讲教师：何松华教授第一章：概述及概率论复习1.1设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，求其中有次品的概率。1.2设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。1.3设一袋中有N个球，其中有M个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。1.4设一批产品有N个，其中有M个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连续n次取得合格品的概率。1.5设随机变量X的概率分布函数为连续的，且ABexx0F(x)0x0其中0为常数，求常数A、B的值。1.6设随机变量X的分布函数为F(x)ABarctg(x)(-0)，求Y的概率密度分布。1.13设二维随机变量的联合概率密度分布函数为fXY(x,y)Asin(xy)(0x,0y)22(1)求系数A，(2)求数学期望E[X]、E[Y]，方差D[X]、D[Y]；(3)求X、Y的相关函数及相关系数。|x|1.14设X为拉谱拉斯随机变量，fX(x)e(-x)(0)；求：(1)X的特征2函数，(2)利用特征函数求X的均值与方差，(3)讨论特征函数实部与虚部的奇偶性。第二章：随机过程的基本概念2.1某公共汽车站停放着两辆公共汽车A、B，从t=1s开始，每隔1s有一名乘客到达车站。如果每名乘客以概率1/2登上A车，以概率1/2登上B车，各乘客登上哪辆车是相互独立的，用Xj表示第j秒到达的乘客的登车状态，即登上A车则Xj=1，登上B车则Xj=0；设t=n时A车上的乘客数为Yn。(1)求离散时间随机过程Yn的一维概率分布率；(2)当公共汽车A上的乘客达到10个时，A即开车，求A车出发时刻n的概率分布。2.2一个正弦振荡器，由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，其输出的正弦波可以看作一个随机过程X(t)Acos(t)，其中A、、为相互独立的随机变量，且22a/A0a(0,A0)1/100(250,350)fA(a)，f()，0otherwise0otherwise-/1/(2)(0,2)f()0otherwise求随机过程X(t)的一维概率密度分布函数。2.3用一枚硬币掷1次的试验定义一个随机过程cos(t)出现正面X(t)2t出现反面设“出现正面”和“出现反面”的概率各为1/2。(1)确定X(t)的一维分布函数FX(x,1/2)、FX(x,1)；(2)确定X(t)的二维分布函数FX(x1,x2;1/2,1)；(3)画出上述分布函数的图形。2.4设随机过程Z(t)Xcos(t)Ysin(t)(-t)，其中>0为常数，X、Y为相互独立的随机变量，概率密度分布函数分别为标准正态分布(即均值为0，标准差为1)。若将Z(t)写成Z(t)Vcos(t)，(1)求随机变量V、的概率密度分布函数及联合概率密度分布函数，问二者是否统计独立？(2)求随机过程的一维概率密度分布函数。2.5求4题所给出的随机过程的均值及相关函数，并判断该随机过程是否为广义平稳随机过程。2.6设某信号源每T(s)产生一个幅度为A的方波脉冲，脉冲宽度X为均匀分布于[0,T]的随机变量。这样构成一个随机过程Y(t)(0t<)。设不同的脉冲是统计独立的，求随机过程Y(t)的一维概率密度分布函数。2.7设随机过程X(t)=Ycos(t)(-0)，输入平稳随机过程X(t)||的自相关函数为RX()e(>0)，求输入输出之间的互相关函数。3.16设系统的输出为输入的延迟，延迟时间为，试用输入随机过程的相关函数RX()来表示输出随机过程的相关函数以及输入与输出之间的互相关函数。j3.17设线性时不变系统的传输函数为H(j)，输入平稳随机过程的X(t)的自jv||相关函数为RX()e，试求输入输出随机过程之间的互相关函数。N03.18设输入随机过程的自相关函数为()，理想窄带放大器的频率特性为22|0|2H(j)0|0|2(0)，求该放大器输出信号的总平均功率。23.19如图所示的RL电路，输入X(t)是物理功率谱密度为N0的随机过程，试用频域法求Y(t)的自相关函数RY()。-/N03.20如图所示系统，输入随机过程的功率谱密度函数为常数，GX()，试用频谱2法求输出随机过程Z(t)的均方值。3.21零均值平稳随机过程X(t)加到一个线性滤波器，滤波器的冲激响应是指数函数的一段，即et0tTh(t)0otherwise试用GX()来表示输出随机过程Y(t)的功率谱密度。t3.22Y(t)X()d，其中T为常数，且X(t)、设积分电路输入输出之间满足如下关系tTY(t)均为平稳随机过程，求二者功率谱密度之间的关系。3.23线性时不变系统的输入X(t)、输出Y(t)为平稳随机过程，系统传递函数为H(j)，*求证：GYX()H(j)GX()、GY()H(j)GYX()3.24对于图示单输入、多输出线性时不变系统，求证：输出Y1(t)、Y2(t)的互功率谱密度G()H(j)H*(j)G()为Y1Y212X。H1(j)Y1(t)X(t)H2(j)Y2(t)223.25设具有功率谱密度函数GX()(3)/(8)的某平稳随机过程通过某线性系统后，输出随机过程的功率谱密度函数为GY()1，求该系统的传递函数。23.26已知平稳随机过程的相关函数为：(1)RX()(1||)(||1/)；-/2||(2)RX()e；0。分别求其等效通能带。(注：此题应放在第4章)1X(t)x3.27给定实数x，定义理想门限系统的输入输出关系为Y(t)，证明：(1)0X(t)xE[Y(t)]FX(x);(2)RY()FX(x,x,)。第四章：白色噪声与正态随机过程4.1X1、X2、X3、X4是四元联合高斯分布随机变量，且E[X1]E[X2]E[X3]E[X4]0，求证：E[X1X2X3X4]E[X1X2]E[X3X4]E[X1X3]E[X2X4]E[X1X4]E[X2X3]。224.2X、Y是零均值高斯随机变量，方差分别为X、Y，若X、Y服从联合高斯分布，且相关系数为r，求Z=X/Y的概率密度分布函数。4.3(接上题)证明以下关系成立：1arcsin(r)P{X0,Y0}P{X0,Y0}421arcsin(r)P{X0,Y0}P{X0,Y0}421arcsin(r)P{XY0}21arcsin(r)P{XY0}24.4设线性系统的冲激响应为h(t)，输入为平稳高斯过程X(t)，系统的输出过程为Y(t)，证明X(t)与Y(t)为联合正态分布随机过程。T4.5设n维高斯分布随机矢量X[X1,X2,...,Xn]的各个分量的均值为零，协方差矩阵为111...11122...2223...333OMMM(其他未注明的元素根据对称性确定)n2n2n2n1n1n求X的一维与二维概率密度分布函数。4.6功率谱密度函数为N0/2的高斯白色噪声通过一个滤波器，其传输函数为-/1H(j)1j/1求输出随机过程Y(t)在任意时刻的概率密度分布函数。4.7白噪声的均值为0，功率谱密度为非零的常数N0，求其相关函数。4.8理想白噪声通过截止频率为fc的理想低通滤波器(幅频特性为常数1)，求输出过程的自相关函数。4.9设X、Y是相互统计独立的高斯随机变量，且它们具有相同的该密度N(m,2)；求随机变量U=aX+bY和V=aX-bY的互相关系数以及U、V的二维联合概率密度。4.10并联谐振电路如图所示，iN代表噪声电流，它是白噪声，其功率谱密度为N0，且为零均值，若t=0时电路开始工作，初始条件为iL(0-)=0，v(0-)=0；研究t时刻电流iL和iR的统计特性。4.11设X、Y为联合高斯分布的随机变量，均值分别为mX、mY，根方差分别为X、Y，互相关系数为r，已现知X=x，求Y的合理估计值。4.12一个高斯随机过程的均值函数为mX(t)2、协方差函数为KX(t1,t2)8cos[(t1t2)]，写出t1=0,t2=1/2时刻的二维概率密度。sin()4.13一个平稳高斯随机过程的均值函数为mX(t)0、自相关函数为RX()，写出t1=0,t2=1/2、t3=1时刻的三维概率密度。4.14设随机过程Z(t)Acos(0t)n(t)，其中A、0为常量，n(t)为零均值平稳高斯过程，相关函数为RN()，写出Z(t)的一维、二维概率密度分布函数。4.15考虑两个随机变量的去相关处理。设Y1、Y2为相关的零均值随机变量，方差分别22为1,2，互相关系数为，考察下列变换X1cos()sin()Y1X2sin()cos()Y2求使得变换后的变量不相关的条件。4.16图示RC低通滤波器的输入为白色噪声，物理功率谱密度为FX()=N0(0<)，求输出随机过程的物理功率谱密度及相关函数，并证明对于任意的t3>t2>t1，有RY(t3t2)RY(t2t1)RY(t3t1)RY(0)-/4.17(与第3章第26题重复)。4.18设有二维随机矢量[X1,X2]，其概率密度为2211(x1m1)2r(x1m1)(x2m2)(x2m2)fX(x1,x2)exp{2[22]}22(1r)21r121122在椭圆22(x1m1)2r(x1m1)(x2m2)(x2m2)222(为常量)112212上概率密度为常数exp{}，称该椭圆为等概率椭圆，求随机矢量2221r122(1r)落在等概率椭圆内的概率。4.19设n维随机矢量X=[X1,X2,⋯,Xn]服从联合高斯分布，各个分量相互独立，且均值为0，随机矢量的协方差矩阵为2a200...02a20...02a2...0MOM2求其N维特征函数4.20(接上题)若各个分量的之间的协方差为Km,in|mi|n设另一随机变量Y为YXi，求Y的特征函数i14.21设3维高斯随机矢量X=[X1,X2,X3]各个分量的均值为0，其协方差矩阵的元素值为2222kij(i,j=1,2,3),且k11=k22=k33=；求(1)E[X1X2X3]，(2)E[X1X2X3]，(3)222222E[(X1)(X2)(X3)]4.22设3维高斯随机矢量X=[X1,X2,X3]的概率密度为-/1222fX(x1,x2,x3)Cexp{[2x1x1x2x22x1x3x3]}2(1)证明经过线性变换11/41/2X1YAX012/7X2001X3得到的随机矢量Y=[Y1,Y2,Y3]，则Y1,Y2,Y3是相互统计独立的随机变量；(2)求C的值。4.23设X1、X2是相互独立的零均值、单位方差高斯随机变量，定义二维随机矢量Y[X1,|X2|]X10Y[Y1,Y2][X1,|X2|]X10证明：(1)Y1、Y2都是高斯分布的，(2)Y不是联合高斯分布的。4.24设某一线性系统的单位冲激响应为eatt0h(t)(a>0)0t0输入N(t)为零均值白色噪声，功率谱密度为N0/2，输出为X(t)；Y(t)X(t)X(tT)，假设输入从-开始，求Y(t)的一维概率密度函数。4.25设随机变量X、Y是联合高斯随机变量，且具有边缘概率密度fX(x)、fY(y)，222E[X]E[Y]0，E[X]E[Y]，E[XY]；证明：1E[fX(X)fY(Y)]24422a||4.26设零均值高斯随机过程X(t)的相关函数为RX()e，对其进行量化处理，得到时间连续但取值离散的随机过程Y(t)，即Y(t)iSifiX(t)i(i=0,1,2,...)22(1)求Y(t)的均值函数；(2)求Y(t)的一维概率密度函数。4.27设线性系统的输入过程X(t)为零均值高斯随机过程，相关函数为2a||RX()e(a>0)，系统的冲激响应为ebtt0h(t)(b>0,ba)0t0X(t)是在t=-接入系统的，(1)求在t=0时输出Y(0)大于y的概率；(2)如果在t=-T时，-/X(-T)=0，求条件概率P{Y(0)y|X(T)0}(T>0)；(3)如果在t=T时，观察到X(T)=0，求条件概率P{Y(0)y|X(T)0}(T>0)。4.28设有平稳高斯随机过程X(t)，其均值为0，功率谱密度函数为S00/2||0/2GX()0otherwise求：(1)该过程在单位时间内取得极大值的平均次数；(2)极大值的概率密度分布；(3)该过程在单位时间内正穿越X=a(从水平线X=a的下方向上穿过)的次数。4.29设有平稳实高斯过程X(t)，均值为0，相关函数为RX()，该过程依均方意义可导，其导数过程为X'(t)，求在t1,t2两个时刻X(t1),X'(t1),X(t2),X'(t2)的四维概率密度。4.30设X(n)为均值为0、方差为2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：2222E[X(n)Y(n)]h(0)，Yh(n)n02n4.31均值为0、方差为的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h1(n)=au(n)以及n2h2(n)=bu(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求W。n4.32设离散系统的单位脉冲响应为h(n)nau(n)(a1)，输入为自相关函数为2RX(m)X(m)的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。4.33序列X(n)和Y(n)满足差分方程Y(n)X(na)X(na)其中a为整常数，试用X(n)的相关函数表示Y(n)的相关函数。4.34实值一阶自回归过程X(n)满足差分方程X(n)a1X(n1)V(n)2其中a1为常数，V(n)为方差为的白噪声，输入从n=0开始，X(1)0。(1)证明：若V(n)均值非零，则X(n)非平稳；(2)证明：若V(n)均值为零、|a1|<1，则当n222足够大时，E[X(n)]V/(1a1)；(3)若V(n)均值为零，|a1|<1，求X(n)的自相关函数的平稳解。4.35考察如下的二阶自回归过程X(n)-/X(n)a1X(n1)a2X(n2)V(n)(1)若已知随机过程的相关函数值RX(0)、RX(1)、RX(2)，试写出用于计算系数a1,a2以及2零均值白色噪声V(n)的方差V的Yule-Walker方程；(2)反过来，若已知a1=-1,a2=0.5,2V0.5，求RX(0)、RX(1)、RX(2)的值；(3)求相关函数的通解。4.36察如下的二阶自回归过程X(n)X(n)b1X(n1)b2X(n2)V(n)222零均值白色噪声V(n)的方差为V，|b1b14b2|2；求：(1)X(n)的功率谱密度；(2)根据Wold分解求X(n)的自相关函数；(3)求Yule-Walker方程24.37考察如下的二阶MA模型，输入X(n)的功率谱密度为X，求Y(n)的自相关函数和功率谱密度。Y(n)X(n)a1X(n1)a2X(n2)4.38考察如下的ARMA模型X(n)0.9X(n1)V(n)0.2V(n1)其中V(n)为零均值、单位方差离散白色噪声，求X(n)的自相关函数。第五章：窄带随机过程5.1证明：偶函数的希尔伯特变换为奇函数，奇函数的希尔伯特变换为偶函数。5.2设一个线性系统的输入为X(t)时，相应的输出为Y(t)，证明：若该系统的输入为X(t)的希尔伯特X?(t)，则其输出为Y(t)的希尔伯特Y?(t)。5.3设功率谱密度N0/2为的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为f，带宽为2B（Bf），滤波器输出为n(t)，求n(t)的自相关函数以及其同相分量与正交分量的自相关函数。5.4设a(t)A(t)sin[(t)]与b(t)A(t)cos[(t)]为低频信号，即当||/2时，其频谱值为0，00/2，证明-/H{A(t)cos[0t(t)]}A(t)sin[0t(t)]H{A(t)sin[0t(t)]}A(t)cos[0t(t)]5.5证明广义平稳随机过程X(t)与其希尔伯特X?(t)的相关函数存在如下关系??RXX?()RX()，RXX?()RX()RX?()RX()，RXX?()为奇函数5.6设X(t)的解释信号(复信号表示)为Z(t)X(t)jX?(t)，证明：*?E[Z(t)Z(t)]2[RX()jRX()],E[Z(t)Z(t)]0并用X(t)的功率谱密度函数GX()来表示Z(t)的功率谱密度函数。5.7在复随机过程Z(t)X(t)jY(t)中，如果其均值E[Z(t)]E[X(t)]jE[Y(t)]mZ为复*常数，且其自相关函数E[Z(t)Z(t)]RZ()为仅与有关的复函数，则称Z(t)为复平稳随机过程，设Ak,k1,2,...,n是n个实随机变量，k,k1,2,...,n是n个实数。试问：njktAk以及Ak之间应满足什么条件，才能使Z(t)Ake是一个复平稳随机过程。k15.8考虑窄带高斯过程n(t)X(t)cos(ct)Y(t)sin(ct)，假定其物理功率谱密度对称于载频c，求概率密度f(xt,xt,yt,yt)。n5.9设复随机过程为Z(t)[icos(it)jisin(it)]，其中i、i为相互独立的零均值i1222实随机变量，E[i]E[i]i，对于任意的ik，i、k以及i、k相互正交，求该复随机过程的自相关函数。5.10设窄带信号X(t)的物理带宽为(c/2c/2)，证明其复包络模平方的物理带宽为(0)。5.11设窄带平稳随机过程n(t)X(t)cos(ct)Y(t)sin(ct)，证明：?RY()Rn()cos(c)Rn()sin(c)5.12对于调频信号X(t)cos[ctm(t)]，设|dm(t)/dt|c，即为窄带信号，求该信号-/的复包络与包络的表示式。5.13设窄带平稳随机过程n(t)X(t)cos(ct)Y(t)sin(ct)，证明其自相关函数为Rn()RX()cos(c)RXY()sin(c)5.14设窄带平稳随机过程n(t)X(t)cos(ct)Y(t)sin(ct)，若满足：Gn()0(||2c)证明X(t)的功率谱密度为GX()Gn(c)Gn(c)(||c)2a||5.15将相关函数为RX()Xecos(0)的窄带平稳随机过程X(t)表示为X(t)A(t)cos(*t)A(t)sin(*t)C0S0**试在(1)(2)R()R()R()00，00的条件下，分别求出相关函数C、S以及CS。5.16考虑随机相位正弦波与窄带平稳实高斯随机过程X(t)之和Y(t)Asin(0t)X(t)其中A、0为常数，0为窄带实平稳随机过程Y(t)的功率谱密度的中心频率，为(0,2)2上均匀分布的随机变量，E[X(t)]0、D[X(t)]，并假设X(t)、相互独立；(1)对每一个固定的值，求Y(t)的均值和相关函数，判断Y(t)是否为高斯过程以及平稳过程；(2)当为(0,2)上均匀分布的随机变量时，求Y(t)的均值和相关函数，判断Y(t)是否为高斯过程以及平稳过程。5.17考虑图示RLC带通滤波器，设其品质因素Q1，输入是功率谱密度为N0/2的零均值高斯白噪声w(t)，求滤波器输出端的窄带过程n(t)及其同相分量、正交分量的功率谱密度Gn()、GnC()、GnS()，并以图示之。-/5.18设A(t)为窄带平稳高斯平稳随机过程的包络，试证：2E[A(t)]X、D[A(t)](2)22X其中2X为该窄带随机过程的方差。5.19设窄带信号Z(t)Acos(0t)n(t)，其中n(t)为高斯过程，为[0,2]上均匀分布随机变量，且n(t)X(t)cos(0t)Y(t)sin(0t)证明Z(t)的包络平方的相关函数为4222222RZ()A4A44[ARX()RX()RXY()]25.20变量为卡方分布变量的的平方根，证明n个自由度的变量的概率密度为2n1e/2f()(n2)/22(n/2)25.21证明n个自由度的卡方分布变量的m阶原点矩为mnnn21...m1222第六章：随机过程的非线性变换6.1给定实数x和一个平稳随机过程X(t)，定义理想门限系统的特性为1X(t)xY(t)0X(t)x试证：(1)E[Y(t)]FX(x)；(2)RY()]FX(x,x,)-/26.2设平方律检波器的传输特性为yx，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程X(t)，其概率密度函数为1(xa)2fX(x)exp{2}2X2X在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当a0时结果有何变化。6.3设对称限幅器的特性为x0X(t)x0Y(t)g[X(t)]X(t)x0X(t)x0x0X(t)x0(1)已知输入随机过程X(t)的一维概率密度fX(x,t)，求输出随机过程Y(t)的一维概率密度fY(y,t)。(2)当输入随机过程X(t)为零均值平稳高斯过程、自相关函数为RX()时，求输出过程Y(t)的相关函数RY()。6.4设有理想限幅器1X(t)0Y(t)g[X(t)]1X(t)0假定输入X(t)为零均值平稳高斯随机过程。(1)求Y(t)的一维概率密度和均值；(2)用Price2定理证明：RY()arcsin[rX()]。6.5设有零均值高斯平稳随机过程X(t)，其自相关函数为RX()，它的一维概率分布函数为FX(x)，定义一个无记忆非线性系统Y(t)FX[X(t)]1/2，试用Price定理证明Y(t)的相关函数为1RX()RY()arcsin22RX(0)26.6平方律检波器的传输特性为yx，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程2X(t)，其方差为，相关函数为RX()，求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值及相关函数。-/6.7全波线性检波器的传输特性为y|x|，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过2程X(t)，其方差为，相关函数为RX()，(1)求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程Y(t)的相关函数及方差。6.8半波线性检波器的传输特性为x|x|xx0y20x02在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程X(t)，其方差为，相关函数为RX()，(1)求检波器输出过程Y(t)的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程Y(t)的相关函数及方差。6.9图示非线性系统。输入为零均值、功率谱密度为GX()N0/2的高斯白噪声X(t)，求输出随机过程Y(t)的自相关函数和功率谱密度。26.10设随机变量X和Y是零均值、方差为的联合高斯随机变量，其概率密度分布函数分别为fX(x)和fY(y)，且E[XY]，证明：1E[fX(X)fY(Y)]24426.11设功率谱密度为N0/2的白噪声通过一个物理带宽为/2的理想低通滤波器，在2低通滤波器后接一个传输特性为yx的平方律检波器，求检波器输出随机信号的自相关函数和功率谱密度，并将功率谱密度函数用图表示。6.12设X(t)为均值为mX、相关函数为RX()的平稳高斯过程，将其加入到模型为1X(t)0Y(t)g[X(t)]1X(t)0-/的理想限幅器输入端，求限幅器输出过程的自相关函数RY()。b26.13平方律检波器的传输特性为yx，在检波器输入端加入一窄带随机信号，其中2包络A(t)服从瑞利分布2aafA(a)2exp{2}(a0)2求检波器输出过程的一维概率密度、均值和方差。6.14同步检波器如下图所示，设X(t)为窄带平稳随机信号，其相关函数为2||RX()Xecos(0)sin(0||)(0)0求检波器输出端的相关函数及平均功率。6.15设全波线性检波器的传输特性为y|x|，检波器的输入为aN(t)，其中a0为直2流电平信号，N(t)为零均值平稳高斯随机过程，其方差为，求检波器输入、输出端的信噪比(考虑高信噪比情况)。第七章：马尔可夫过程7.1设由独立随机序列Xi构成一个新的序列Yi，且定义为Y1X1,YnCYn1Xn(n2)试证明随机序列Yi为马尔可夫序列。7.2设X(t)为马尔可夫过程，又设t1t2...tntn1...tnk，试证明f(x|x,...,x)f(x|x)tn|tn1,...,tnknn1nktn|tn1nn1即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。7.3试证明对于任何一个马尔可夫过程，如果“现在”的X(t)值为已知，则该过程的“过-/去”和“将来”是统计独立的，即如果t1t2t3，其中t2代表“现在”，t1、t3代表“过去”和“将来”，若X(t2)x2为已知，试证明ft1,t3|t2(x1,x3|x2)ft1|t2(x1|x2)ft3|t2(x3|x2)7.4设齐次马尔可夫链有四个状态S1、S2、S3、S4，其转移概率矩阵为1/41/401/201001/201/201/41/41/41/4(1)如果该链在第n时刻处于S3状态，求在n+2时刻处于状态S2的概率；(2)如果该链在第n时刻处于S1状态，求在n+3时刻处于状态S3的概率。7.5X(t)为马尔可夫过程，又设t1t2...tmtm1tm2，试证明f(x,x|x,x...,x)f(x,x|x)tm1,tm2|t1,t2,...,tmm1m212mtm1,tm2|tmm1m2m7.6一个质点沿标有整数的直线移动，经过一步从点j移动到j1的概率为p，停止在点j的概率为q，移动到j1的概率为r，且pqr1。(1)求该马尔可夫过程的一步转移概率矩阵以及二步转移概率矩阵；(2)若该质点在n时刻位于点j，求该质点在n+2时刻位于各点的概率。7.7若质点M在(0,1,2)三个位置随机徘徊，每经一单位时间按下列概率规则改变一次位置：自0出发，下一步停留在0的概率为q，来到1的概率为p；自1出发到达0,2的概率分别为p和q；自2出发停留在2及到达1的概率分别为p和q。该马尔可夫过程的一步转移概率矩阵以及二步转移概率矩阵。7.8若质点M在图示的反射壁间四个位置(a1,a2,a3,a4)上随机游动，在a1处向右移动一步的概率为1；在a4处向左移动一步的概率为1；在a2、a3处向左或向右移动一步的概率为1/4、停留的概率为1/2，试求在平稳情况下，质点处于各状态的概率。-/7.9设X1,X2,..,Xn,...为相互统计独立的零均值随机变量构成的序列，各自的概率密度分()布函数分别为fXnxn，定义另外一个随机变量序列{Yn}如下Y1X1,Y2X1X2,Y3X1X2X3,..,YnX1X2X3...Xn,...试证明：(1)序列{Yn}具有马尔可夫性(2)E[Yn|Y1y1,Y2y2,Y3y3,...,Yn1yn1]E[Yn1|Ynyn1]yn12/31/37.10设齐次马尔可夫链的一步转移矩阵为，请应用该过程的遍历性证明：1/32/31/21/2P(n)[P(1)]nn1/21/27.11从1，2，3，4，5，6六个数中等可能地取一个数，然后还原，不断独立地连续下去，如果在前n次中所取的最大数为j，就说质点在第n步时的位置处于状态j。质点的运动构成马尔可夫链，试写出其转移概率矩阵。7.12设有随机过程X(n)，n=1,2,3,⋯；它的状态空间I：{x,00}X(1),X(2),⋯,X(m)的联合概率密度函数为(xmxm1xm1xm2...x2x1x1)x1x2...xm1e0x1,...,xm1,xmf1,2,...,m(x1,x2,...,xm)0otherwise(1)求边际概率密度分布f1(x2)、f2(x2)；(2)求边际概率密度f1,2,...,m1(x1,x2,...,xm1)；(3)求转移概率密度fm|m1(xm|xm1)，并问该过程是否为马尔可夫过程。7.16三个黑球与三个白球，将这6个球任意等分两个袋中，并将甲袋中的白球数定义为随机过程的状态，则有四种状态：0，1，2，3；现每次从甲、乙袋中各取一球，然后相互交换，经过n次交换，过程的状态为X(n)，n=1,2,3，⋯；(1)该过程是否为马尔可夫链；(2)计算其一步转移概率矩阵；(3)该链的平稳分布是否存-/在，为什么？若存在，求其平稳分布；(4)若X(0)=0，求经过三次交换后甲袋中有三个白球的概率。7.17设{X(n)}是一马尔可夫链，其状态空间为I：{0,1,2}，初始状态概率分布为P{X(0)0}1/4,P{X(0)1}1/2,P{X(0)2}1/4一步转移概率矩阵为1/43/40P1/31/31/301/43/4(2)(1)计算概率P{X(0)0,X(1)1,X(2)1}；(2)计算P017.18设有马尔可夫链，它的状态空间为I：{0，1，2}，它的一步转移概率矩阵为010P1p0p010(2)(4)(2)(1)试求P，并证明PP；(n)(2)求P，n1。7.19设{X(n)}是一马尔可夫链，其状态空间为I：{0,1}，其一步转移概率矩阵为p1pP1pp证明：1n1n(2p1)(2p1)(n)22P11(2p1)n(2p1)n22-/7.20天气预报问题。假设今日是否下雨依赖于前3天是否有雨，请将这一问题归结为马尔可夫链。如果过去一连3天有雨，今天有雨的概率为0.8，连续3天为晴，今天有雨的概率为0.2；在其他天气情况下，今日的天气与昨日相同的概率为0.6，求这个马尔可夫链的转移矩阵。7.21设{Xn,nN}为马尔可夫链，其状态空间I{a,b,c}，转移矩阵为1/21/41/4P2/301/33/52/50(1)求P{X1b,X2c,X3a,X4c,X5a,X6c,X7b|X0c}(2)求P{Xn2c|Xnb}7.22设{Xn}为马尔可夫链，其状态空间I{a,b,c,d,e}，转移概率矩阵为1/201/20001/403/40P001/302/3，求其闭集。1/41/201/401/301/301/37.23确定下列马尔可夫链的状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。其一步转移概率矩阵分别为。00011/21/20001/21/200011/21/200(1)P1/201/2；(2)P；P1/21/2001/41/41/41/41/21/20001000101/201/2001/43/40001/41/21/4001/21/2000(4)P1/201/200；(5)P001000001/21/2001/32/300001/21/210000-/7.24设N(t)为具有比率为的泊松记数过程，其相应的概率分布为k(t)tP{N(t)k}ek!试求该过程的特征函数，并根据特征函数求其均值、方差。7.25设N(t)为具有比率为的泊松记数过程，以如下方式产生一个新的随机过程X(t)，X(0)0，在N(t)过程中，每发生一事件，X(t)就变化一随机数量，对应第n次事件的随机变量为Yn，并且对应不同的事件，这些变化之间以及与N(t)间是相互独立的，这样N(t)X(t)Ynn1假设每个随机变量Yn具有相同的概率密度函数fY(y)，对应的均值、均方值分别为mY、2mY，试求该过程的特征函数，并根据特征函数求其均值、方差。7.26设N1(t)与N2(t)是两个相互独立的、比率分别为1和2的泊松过程(1)证明NS(t)N1(t)N2(t)是比率为12的泊松过程；(2)证明ND(t)N1(t)N2(t)不是泊松过程k7.27设在时间t内向电话总机呼唤k次的概率为e,k0,1,2,...，其中0为常数，k!(n)在任意相邻的时间间隔内的呼唤次数是相互独立的，求在2t时间内呼唤n次的概率P2t。7.28设X1、X2、⋯、XN是相互独立、分别服从参数为1、2、⋯、N的泊松分布kNNiP{Xik}e随机变量，证明随机变量YXi服从参数为i的泊松分布。k!i1i17.29电子管中的电子发射问题。设单位时间内到达阳极的电子数目N服从泊松分布，即kP{Nk}e，每个电子携带的能量构成随机序列X1、X2、⋯、Xk；已知各Xi间k!N2相互独立且与N相互独立，E[Xi]、D[Xi]；SXi，求S均值与方差。i17.30给定一个随机过程X(t)的任意两个时刻t1'和t2'，若对于任意时刻t't1'，X(t')与-/X(t2')X(t1')统计独立，试证明X(t)为马尔可夫过程。7.31多级单调谐电流放大器的频率响应特性为2(0)K()C0exp2其输入端接入电流I(t)q(ttj)，q为电子的电荷，已知泊松脉冲序列Z(t)j2(ttj)的相关函数为RZ()()，如果中频放大器输出电流V(t)的均值mV和j2方差V都可以测出，求输入脉冲列每秒的平均个数。7.32已知X(t)为泊松过程，如果t2t1，且n和k为非负整数，证明：nkt2kn(t2t1)t1P{X(t1)k,X(t2)nk}en!k!7.33一质点沿圆周运动，圆周按顺时针等距排列3个点(0,1,2)将圆周分成3格，质点每次移动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为1/2，逆时针退一格的概率为1/2。设X(n)代表质点经过n次游动后所处的位置，X(n)为齐次马尔可夫链。试求：(1)一步转移概率矩阵，(2)极限概率分布。7.34一质点沿圆周运动，圆周按顺时针等距排列5个点(0,1,2,3,4)将圆周分成5格，质点每次移动或顺时针或逆时针移动一格，顺时针前进一格的概率为p，逆时针退一格的概率为1p。设X(n)代表质点经过n次游动后所处的位置，X(n)为齐次马尔可夫链。试求：(1)一步转移概率矩阵，(2)极限概率分布。