量子信息概论6

1 第三章 电磁场的相干态和压缩态 一、相干态的定义（符合最小测不准关系的量子态） 二、相干态的几个侧面 （经典电流的辐射场，平移的真空态，a的本征态） 三、相干态示 四、相干态性质（∆p.∆q＝ħ/2，点，非正交，超完备） 五、压缩态（ ∆p.∆q＝ħ/2，线，和相干态比较的角度） 六、相干态和压缩态的电磁场表示 （Fluctuations and noises） 2 2 ! n n e n n α α α − = ∑ 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 2 一、相干态的定义 2005，R.J. Glauber因为在coherent state 工作 获得 Nobel Prize. 量子和经典有一个区别在于：量子力学用一组波函数 描述物理量，不在它本征态下的测量具有不确定度， 即∆p.∆q≥ħ/2；而在经典中，对任何物理量的测量是 唯一的，即ħ＝0。 figure 谐振子的经典振动： 在势能V（x）下， 描述粒子运动的宏观量 p和q都是一定的。 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 3 谐振子的量子对应： 量子中，粒子以波包形式存在 运动中，波包会变化（如扩散） 运动扫过的轨迹不再唯一确定 如存在 ∆p 和 ∆q figure figure 按量子力学原理，∆p.∆q≥ħ/2 取等号时，我们认为态是最接 近经典的态，这些态就是相干 态和压缩态。 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 4 测不准关系图中定义相干态和压缩态 1 2 1 1( ) ( ) 2 2 X a a X a a i + + = + = −若 figure 量子允许存在的区域： 1 2. 1 / 4X X∆ ∆ ≥ Coherent state 1 2 1 / 2X X∆ = ∆ = same fluctuations or noises Squeezed state 1 2. 1 / 4X X∆ ∆ = Curve: ideal squeezed state, 1 2 1 / 2 1 / 2 X X ∆ > ∆ < 1 2 1 / 2 1 / 2 X X ∆ < ∆ >or总有一个量被压缩 Shaded area: squeezed state, 1 2. 1 / 4X X∆ ∆ > 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 5 两个相干态的例子 激光 现在人们已是一种相干态 BEC 从经典到量子过渡时，也是一种相干态 以一维为例，在温度T时，原子Debrodge波长 λT 原子间的平均距离 lT T T T T T T T T λ λ λ λ < < < > > A A ∼ A AT 从经典到量子 的转折点， BEC happens figure 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 6 二、相干态的几个侧面 Radiation from a classical current 物理上说， 不稳定时，会辐射电磁场 以下将会证明，辐射出的电磁场是相干态 ( , )J r t K K 磁失势A 在 Radiation gauge 下，可写成 .( , ) . .kk i t ik r k k A r t i e Ha cν ν − + = − +∑K K k 1 ε ( , )A r tE t ∂ = − ∂ K KK ( , ) 0, ( , ) 0A r t U r t∇ = = K K Ki 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 7 由于经典电流 而附加的能量为 V，也就是 在相互作用表象下的Hamiltonian，写成 ( , )J r t K K 3( ) ( , ) ( , )V t J r t A r t d r= ∫ KK K K Ki 代入薛定谔方程 ( ) ( ) ( )d it V t t dt ψ ψ= − = 形式地给出 ' ' 0 ( ) exp[ ( )] (0) tit dt V tψ ψ= − ∫= 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 8 将V和A代入得 ' ' * 0 exp[ ( )] exp( ) t k k k k i dt V t a aα α+− = −∏∫= 这里 .' 0 (1 , ) k k t i r k t ik k k dt dr J r t eν να ε ν − + = ∫ ∫ KK i K K= ε 相联系 整理后得 *( ) exp( ) (0)k k k k t a aψ α α ψ+= −∏ 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 9 (0) 0ψ =单模下和初始真空态下 * 0exp( )a aα αα + −= 平移算符D 0Dα = 平移的真空态所以 下面我们将会证明： 平移的真空态 湮灭算符的本征态 0Dα = a α α α=即 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 10 1 1 * * ( ) ( ) ( ) ( ) exp( ) D aD a D a D a D a a α α α α α α α α − − + + + = + = + = − 已经知道： 由 开始，( ) 0Dα α= 左乘 1 ( )D α− 得 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 0 D a D aD D D aD a α α α α α α α α α α − − − − = = = + = ( )D α左乘 1( ) ( ) ( ) 0D D a a Dα α α α α α α α− = = = 证毕！ 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 11 三、相干态表示 我们希望在Fock state表象中将Coherent state 展开，写成α n n n C n nn αα = =∑ ∑ a α α α= n a nα α α= 1/ 2( 1) 1n n nα α α+ + = 1/ 21 ( 1) n n n α α α+ = + 1/ 2( ! 0 ) n n n α α α= 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 12 0 ?α = 2 2 * | | | | 2 2 0 0 | 0 0 | 0a a D e e e e α α α α α +− − = = = 0Dα = B.H. 定理所以 2| | 2 1/ 2( !) n n e n n α α α − = ∑ 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 13 四、相干态性质 1. 相干态的平均光子数和光子数分布 2n n a aα α α α α+= = = a α α α= figure 在 α 中,有n个光子存 在的几率幅是 2 2 | |( ) ! ! nnn e n P n e n n α α − − = = 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 14 2. 验证测不准关系 1 2 1 1( ) ( ) 2 2 X a a X a a i + + = + = −定义广义量 2 22 2 2 2 1 1 1 2 2 2X X X X X X∆ = − ∆ = −涨落 2 2 1 2 1 4 X X∆ = ∆ =Coherent state 中 2 2 1 2 1 (2 1) 4 X X n∆ = ∆ = +Fock state 中 当n=0 时,真空态|0> 也是相干态; 将平移算符作用 到真空态,得到 |α>= D(α)|0>, 从另一个角度验证了 相干态是平移的真空态。 注意：在相干态中,所有共轭量都符合最小测不准关系 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 15 具体计算过程 1 2 1 1( ) ( ) 2 2 X a a X a a i + + = + = −相干态下: 2 22 2 2 1 1 1 1 1 22 2 22 * * *2 * | | | | 1 1| | | | 4 4 1 1| ( 1) | | | 4 4 1 4 X X X X X a aa a a a a a α α α α α α α α α α αα α α α α α α α α + + + + ∆ = − = − = + + + − + = + + + + − + = 2 2 1 4 X∆ = a α α α= [ , ] 1a a + =同理: 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 16 粒子数态下: 2 22 2 2 1 1 1 1 1 22 2 | | | | 1 1| | | | 4 4 1 (2 1) 4 X X X n X n n X n n a aa a a a n n a a n n + + + + ∆ = − = − = + + + − + = + | | 1 | 1 | 1 a n n n a n n n+ >= − > >= + + > 2 2 1 (2 1) 4 X n∆ = +同理: 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 17 3. 正交完备性 非正交、超完备 ' 2 ' * ' 21 1exp( | | | | ) 0 2 2 α α α α α α= − + − ≠ ' 2 ' 2| | exp( | | )α α α α= − − 当α－α’>>1 时, 近似正交. 2 n d n nα α α π π= =∑∫由于 ' 2 ' 2 ' ' 2 '' * ' 21 1 1 1exp( | | | | ) 2 2 d dα α α α α α αα α π α π α= = − + −∫ ∫ 一个相干态|α>可用别的 |α’>展开,超完备的 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 18 五、压缩态 1. 定义 (以谐振子为例) figure 从图中我们可以看到, 由于外界 势场发生了变化,波包发生了移 动,形状被压缩了(或被扩展).同时 某些物理量的noise被压缩,而对 应物理量的noise被扩展,形成 Squeezed state. 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 19 2. 测不准关系图中压缩态的定义 Squeezed state: ∆X1<1/2 or ∆X2<1/2 的态 figure 在X1和X2的phase space中,压缩态的表达 三个阴影部分的面积应相等,对应上图中的三个点 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 20 3. 压缩态的表示 ( ) 0Dα α=, ( ) ( ) 0S Dα ξ ξ α= ( )D α ( )S ξ是平移算符 是压缩算符 * 2 21 1( ) exp( ), 2 2 iS a a re θξ ξ ξ ξ+= − = 并且有 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cosh sinh ( ) ( ) cosh sinh i i S S S S aS a r a e r S a S a r ae r θ θ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ + − + + + + + − = = − = − = − 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 21 a α α α=已经知道相干态是湮灭算符的本征态 那么,压缩态是哪个算符的本征态? H.P. Yuen, Phys. Rev. A 13, 2226 (1976) 若算符b=µa + νa+,且|µ|2-|ν|2=1,则b的本征态 是压缩态 (证明略). 压缩态的实现可以先平移真空态再压缩 也可以先压缩真空态再平移 ' ', ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0S D D Sα ξ ξ α α ξ= = 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 22 4. 压缩态的测不准关系验证 1 2 1 1( ) ( ) 2 2 X a a X a a i + + = + = −已知广义坐标 / 2 1 2 1 2( ) iY iY X iX e θ−+ = + / 21 2 iY iY ae θ−+ =为方便 2 22 2 2 2 1 1 1 2 2 2Y Y Y Y Y Y∆ = − ∆ = −涨落 具体地 ( ) ( ) ( ), | 0| , (0 )D Sa a S a Dαα ξ α ξ ξ ξ α+ += = 2 2 2 *2 2 2 2 *2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( cos ( ) ( , ) | | , 0 h sinh ) cosh sinh (2 | | 1) cosh sinh ( ) )0 ( i i i a a a aD S S D D D a r a e r r S aS e r e S a r S r θ θ θ ξ α ξ α ξ ξ ξ α ξ ξ α α α ξα α α α α + + + + + + + = = − = + + = − = = 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 23 2 2 2 2 *2 2 | (cosh sinh ) sinh ( ) cosh sin | hi i a r r r e r r a e θ θ α α α + − + + − + = 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 4 4 1. 4 r rY e Y e Y Y −∆ = ∆ = ∆ ∆ = Thus we have P66， figures 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 24 5. 压缩态的光子数分布 仅给出光子数再|α,ξ>态下的分布图,计算略 2 2 *2 2 | | 1 2 2 2 ( ) ( , ) ( ! ) ( ) | ( ) | 2 2 n n P n n n H e ν νβ β β µ µ α ξ ν βµ µ µν − + + − = = figures 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 25 figure 讨论: 6. 压缩态是非正交、超完备的 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 26 六、相干态和压缩态的电磁场表示 已经知道一维单模下电磁场的算符表达和广义坐标 sin( ) . .i tE ae kz H cν−= +ε 1 21 1( ) ( )2 2X a a X a ai+ += + = − 1 2cos2 n )( i) sX tt X tE ν ν= +ε(随时间演化方程 22( ) ( ) ( )E t E t E tα α α α∆ = −在相干态光场下 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 ( ) (2 cos sin ( ) cos sin (2 ( cos sin ( ) cos sin ) E t X t X t X X X X t t X t X t X X X X t t α ν ν ν ν α ν ν ν ν = + + + = + + + 2 2 ε) ε) 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 27 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) (2 cos sin (2 ( cos sin 2 cos sin ) E t X t X t X t X t X X t t α ν ν α ν ν ν ν = + = + + 2 2 ε) ε) 2 22 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 22 2 2 2 2 2 ( ) ( ) (2 [( ) cos ( ) sin cos sin ] 1( ( 2 ) ( 1, 22 [ (cos sin ) cos) ( 1, 2) sin ] 4 1( 02 4 E t E t X X t X X t t t t t t t w X X X X X X V X X i Vh Xt X ν ν ν ν ν ν ν ν − = − + − + = + + = + − = 2 2 2 ε) ε) ε) 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班 28 Three figures国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 数 理 学 部 实 验 物 理 讲 习 班