求导法则

求导法则 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 石家庄经济学院数理学院 ?2 求导法则 教学章节:第五章 导数与微分——?2 求导法则 教学目标:熟悉导数的运算性质和求导法则,牢记基本初等函数的导数公式,并熟练进行初等函 数的导数运算. 教学要求:熟练掌握导数的四则运算法则,复合函数的求导法则;会求反函数的导数,并在熟记基 本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数 的导数. 教学重点:导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法; 教学难点:复合函数求导法则及复合函数导数的计算. 教学方法:以问题教学法为主,结合课堂练习. 教学过程: 引言 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家:深刻理解导数概念,能准确达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数(不管它是简单函数,还是复杂函数),总可用定义求其导数(只要极限存在).但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算(用定义求导)都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数: f(x),sinx，cosxg(x),sin2x11 f(x),sinx,cosxg(x),sin(ax)22 cosxf(x) g(x),arcsinx ,33logxa f(x),csinxg(x),arccosx44 一、导数的四则运算 1 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 石家庄经济学院数理学院 问题1 设,求. f(x),sinx,cosxf'(x) 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,.即 f'(x),cosx,sinx,(sinx)',(cosx)' (sinx,cosx)',(sinx)',(cosx)' 一般地,有如下和的导法则: f(x)g(x)x定理1(和的导数) 设,在点可导,则 ,,,[f(x),g(x)],f(x),g(x) (求导是线性运算) y(x),f(x)，g(x)证明 令 ,y[f(x，,x)，g(x，,x)],[f(x)，g(x)],,x,x f(x，,x),f(x)g(x，,x),g(x),，,x,x ,,,f(x)，g(x)当,x,0时。 xxx问题2 设,则对吗, f(x),sinx,af'(x),(sinx)',(a)',cosx,a,lna 分析 一般地,有如下乘积的求导法则: f(x)g(x)x定理2(积的导数)设,在点可导,则 ,,,[f(x),g(x)],f(x),g(x)，f(x),g(x) (它导它不导,它不导它导,然后加起来) y(x),f(x),g(x)证明 令 ,yf(x，,x),g(x，,x),f(x),g(x),,x,x (,f(x),g(x，,x)，f(x),g(x，,x))分子 f(x，,x),f(x)g(x，,x),g(x),,g(x，,x)，f(x),x,x ,,,f(x),g(x)，f(x),g(x)当,x,0时。 推论1 . (u(x)v(x)w(x))'(x),u'(x)v(x)w(x)，u(x)v'(x)w(x)，u(x)v(x)w'(x)0000000000推论2 若函数在知可导,C为常数,则. (cos(x))',C,v'(x)v(x)xx,x000 xa问题3 设,求. f'(x)f(x),logxa 分析:. 一般地,存如下商的运算法则: f(x)g(x)x定理3(商的导数) 设,在点可导,则 2 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 石家庄经济学院数理学院 ,,,，，f(x)f(x),g(x),f(x),g(x),2,,g(x)g(x)，，. 1y(x),g(x)证明 令 ，，,y111,,,,,,x,xg(x，,x)g(x)，， g(x，,x),g(x)1,,,,xg(x，,x)g(x) ,g(x),,当,x,0时。2g(x) f(x)1,f(x),g(x)g(x) 给出(3). ,,[cf(x)],cf(x)推论 (1) . ,nn，，,f(x),f(x),,ii,,,1,1ii，， (2) . ,nn,,,,,f(x),K(x),K(x),f(x)？f(x)？f(x),,ikk1kn,,,,j1k1,, (3) . .利用导数的四则运算法则举例. , 32例1 ,求,. f'(x)f'(0)f(x),x，5x,9x，, 例2 ,求. y'y,cosxlnxx,, ,n,n,1，例3 证明:,. (x)',,nxn,N 22例4 证明:,. (tanx)',secx(cotx)',cscx 例5 证明:,. (secx)',secxtanx(cscx)',,cscxcotx.利用导数的四则运算法则求导数举例: 21( ; f(x),x，sinx 32( ; f(x),x,sinx，cosx 23( ; f(x),2x 24( ; f(x),xcosx 3 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 石家庄经济学院数理学院 5(; f(x),xsinx，7x 236(; f(x),x，x，xcosx tgx27(; f(x),xsinx,lnx，x 5sinx，3tgx8(; f(x),x xesinx29(. y,，xlnx1，tgx 二、反函数的导数 问题1 设,求. f(x),arcsinxf'(x) 分析 . 一般地,存如下结果: ,y,(c,d),(y),0x,,(y)(c,d)00定理4 设在区间上连续,严格上升,在点可导,且, x,,(y)xy,f(x)000.则反函数在点可导,且 11,f(x),,0,,,(y),[f(x)]00. ,0(或,0)x,,(y)(c,d)y,f(x)注 若在可导,导数,则反函数存在,且 111,f(x),,,y,f(x),,,,,,(y)[f(x)](y) . ,0(或,0),(y)这里导数可推出严格上升(下降),反函数之导数公式也可写成 dy1,dxdx dy . fx,fx()()0limx,x0x,x0定理的证明 要证存在,注意到这个比式是函数 y,y0g(y),,(y),,(y)y,f(x)0 与 的复合,由定理条件知 f(x),f(x)101lim,lim,y,yy,y,(y),(y),,00,(y),(y),(y),000 y,y0 . 4 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 石家庄经济学院数理学院 x,xy,y00再由反函数连续性,时,,由复合函数求极限定理得 f(x),f(x)10limlimg[f(x)]limg(y),,,x,xx,xy,y,000x,x,(y)00 . x,y,a(a,0,a,1)y 例6 ,求. 1yxx,(a),,,alnaxxx,(logy)logex,logy,(a)aay,ay,aa 解 ,,反过来,如果已知, elog11a,x(log),,,axxxy,log,aaay()lna也可求 . ,,y,xy 例7 ,求. ,,xln,,1,y,e,,,x,lnxy,ex解 ,. ,y,arcsinxy例8 ,求. x,siny解 , 1,(arcsinx),y,arcsinx,(siny) 1,cos(arcsinx) 1。,21,x ,y,arccosxy例9 ,求. 解 1,(arccosx),y,arccosx,(cosy) 1,,sin(arccosx) 1。,,21,x ,y,arctgxy例10 ,求. 解 5 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 石家庄经济学院数理学院 1,(arctgx),y,arctgx,(tgy) 1,2sec(arctgx) 1,。21，x 1,(arcctgx),,21，x同理可得 . 三、复合函数的导数 x,问题1 设,求;2). 设,求;3). 设,求f(x),sin2xf'(x)f'(x)f(x),sin(a)f(x),x . f'(x) ,,g(x)u,g(x)f(u)xF(x),f[g(x)]00000定理5 设与存在,,则复合函数在点可导,且 ,,,F(x),f[g(x)],g(x)000. f(u)u,g(x)注 若的定义域包含的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数F(x),f[g(x)]g(x)在的定义域上可导,且 ,,,F(x),f[g(x)],g(x) (怀中抱月) ,,,y,y,uxux或 , dydydu,,dxdudx . 定理的证明 定义函数 f(u),f(u),0,uu,,0,u,uA(u),,0 ,,f(u),u,u。00, ,limA(u),A(u),f(u)00uA(u)u,u00在点连续,. f(u),f(u),A(u)(u,u)00 由恒等式,,我们有 F(x),F(x)f[g(x)],f[g(x)]g(x),g(x)000,,A[g(x)],x,xx,xx,x000 ,,,x,xF(x),f[g(x)],g(x)0000令,得 . A(u)我们引进是为了避免再直接写表达式 6 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 石家庄经济学院数理学院 F(x),F(x)f(u),f(u)g(x),g(x)000,,x,xu,ux,x000 x,xu,u00中当时,可能会出现 情况. 2,y,1,xy例1 ,求. 解 1,11222,,y,(1,x)(1,x)2 1,122,(1,x)(,2x)2 x,,。21,x 2,y,sinxy 例2 ,求. 222,,y,cosx,(x),2xcosx解 . 3,y,sin(sinx)y例3 ,求. 333233,,y,cos(sinx),cosx,(x),3xcosxcos(sinx)解 . 2,y,ln(x，1，x)y例4 ,求. 解 2x1，22,(x，1，x)121，x,y,,,222x，1，xx，1，x1，x . ,y,ln|x|y 例5 ,求. 1111,,,,y,(ln(,x)),,(,x),(ln|x|),y,？x,0x,0x,0xxxx 解 时,; 时,, 时,. ,y,lnsin(2x)y 例6 ,求. 22cos(2x),y,cos(2x),sin(2x)sin(2x)解 . 四、 隐函数微分法 dF(x,y),0y,y(x)F(x,y),0dx 若可微函数满足方程,则其导数可以从求出.一个方程F(x,y),0y,y(x)何时能唯一决定一个可微函数,留待日后解决,现在我们通常假定能唯一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题. 7 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 石家庄经济学院数理学院 222(x,y)(y,0)x，y,a000 例7 ,求过点的切线方程. 222x，y,ay,y(x)x 解 对方程求导,心中记住是的函数,得 ,2x，2y,y,0 ， x,y(x),,y ， x0,y(x),,0(x,y)(x,y)y00000在点上,,过切线方程为 x0y,y,,(x,x)00y0 , 22xx，yy,x，y0000 , 2xx，yy,a00即 . 五、 对数微分法 我们结合例子研究对数微分法 3xy,(a,0),yx,a 例8 ,求. 31lny,ln|x|,ln|x,a|(,,,0)(a,，,)y,y(x)22解 函数定义域和,取对数 ,两边对求导, 3,y31112x,3a2x,3ax,,,,,,y,y2x2x,a2x(x,a)2x(x,a)x,a采用隐函数微分法,得 ,所以 . v,y,uu,u(x)v,v(x)y 例9 ,,,求. ,y1,,,v,lnu，v,,ulny,v,lnuyu解 取对数,得,两边求导,得 , ,,vuvuv,,,y,y(，v,lnu),u(，v,lnu)uu. xx,y,xy,x(1，lnx) 如,. 六、双曲函数及其反函数之导数 xx,1y,shx,(e,e)2 , xx,1y,chx,(e，e)2 , shxy,thx,chx 8 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 石家庄经济学院数理学院 chxy,cthx,shx 22chx,shx,1性质 22chx，shx,ch2x sh2x,2shx,chx sh(x,y),shx,chy,chx,shy ch(x,y),chx,chy,shx,shy 12thx1,,2chx 12cthx1,,,2shx ,ix,,,cosisine，,shx，chx,e,,,i,,x,cos,,isin,,echx,shx,e, 由 ,(shx),chx ,(chx),shx 1,thx(),2chx 反双曲函数 2Arshx,ln(x，1，x) 111,(Arshx),,,2y,Arshx,(shy)ch[Arshx]1，x Archx不是单值函数,可选一个分支来研究 11，xArthx,ln21,x 1,(Arthx),21,x 小结 一、 基本求导法则 1( ; (u,v)',u',v' 2( , ; (uv)',u'v，uv'(cu)',cu' 9 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 石家庄经济学院数理学院 uu'v,uv'113( ,; ()',,()',22vvvv dydydu4( 反函数导数 . ,,dxdudx 二、基本初等函数导数公式 1(; (c)',0 ,,,12( ; (,,R)(x)',,x 3(,; (sinx)',cosx(cosx)',,sinx 224(,, ,; (secx)',secx,tanx(cscx)',,cscx,ctgx(tan)',secx(cot)',,cscx xxxx5(, ; (a)',alna(e)',e 116((logx)',,; (lnx)',axlnax 11117((arcsinx)',,; (arctanx)',,.(arccosx)',,(arccotx)',,22221，x1，x1,x1,x 10 《数学分析》上册教案 第五章 导数与微分 石家庄经济学院数理 学院 11