第十一讲含参变量的无限积分
三、含参变量的无穷积分
设二元函数在区域有定义,,无fxu(,)Daxu(,),,,,,,,,,,u[,],,
,,穷积分都收敛,即都对应唯一一个无穷积分(值)fxudx(,),,u[,],,,a
,,,,,于是,是上的函数,表为 fxudx(,)fxudx(,)[,],,,,aa
,,, ,,,()(,),[,]ufxudxu,,,a
称为含参变量的无穷积分,有时也简称为无穷积分,是参变量( u
,,,已知无穷积分与数值级数的敛散性概念、敛散性判别法及其fxdx()u,n,a,n1
,,性质基本上是平行的,不难想到含参变量的无穷积分fxudx(,)与函数级数,a,
之间亦应如此(讨论函数级数的和函数的
性质时,函数级数的一致ux(),nn1,
收敛性起着重要作用;同样,讨论含参变量的无穷积分的函数分析性质时,一致
收敛性同样也起着重要的作用(
,,fxudx(,),无穷积分都收敛,即,有 ,,u[,],,,,u[,],,,a
,,Afxudxfxudx(,)lim(,),, ,,aaA,,,
即,,,,,,,0,,AaAA,有 uu
A,,,,fxudxfxudxfxudx(,)(,)(,),,,,( (4) ,,,aaA
uA,Aa,一般来说,相等的之下,不同的也不同。是否存在一个通用的,,u0
,,,,AAu,[,],,,有(4)式成立呢,事实上,有些参变量的无穷积分在[,],,0
A上存在,于是,有下面的一致收敛概念: 0
,,,,,,,,,0,,,,AaAAuI定义 若有 00
A,,,,fxudxfxudxfxudx(,)(,)(,),,,,, ,,,aaA
,,,,IIfxudx(,)fxudx(,)则称无穷积分在区间一致收敛;若无穷积分在区间,,aa
1
,,不存在通用的,就称在区间非一致收敛( Ifxudx(,)Aa,0,a
现将一致收敛与非一致收敛对比如下:
,,fxudx(,),,一致收敛: 有; ,,,,,,,,,0,,,,AaAAuI00,A
,,fxudx(,),,非一致收敛:有( ,,,,,,,,,0,,,,AaAAuI00000,A0
,,xu,例5 证明:积分在区间一致收敛,在上非一uedx[,](0)aba,[0,),,,0
致收敛(
A,0证:设,则
,,,,,,1xuttAuAa,,,,,( uedxxutuedtedteeaub,,,,,,(),,,AAuAuu
1111,Aa,,,0,要使不等式成立,只要,,。取,,于是,e,,Aln0Aln0,,aa
11,,,0,,,,,,有 Aln0,,,,AAuab,[,]00,a
,,xuAa,,uedxe,,,, ,A
,,xu,uedx在区间一致收敛( 即积分[,](0)aba,,0
1,2另外,由于存在,有 ,,,,,,,,,,,,eAAAu0,0,,[0,)000A0
1,A0,,,,xuAuA,,120000uedxeeee,,,,, 0,A0
,,xu,uedx即在非一致收敛( [0,),,,0
,,Ifxudx(,)定理5(柯西一致收敛准则)在区间一致收敛,a,,,,,0,,Aa ,0
,,,,,AAAAuI,,,有 1020
A2fxudx(,),,( ,A1
,,,,,,,,,0,,,,AaAAuI证:“”由一致收敛的定义,有 ,00
,,fxudx(,)2,,, ,A
AAAA,,,从而,,分别有 1020
2
,,,,fxudx(,)2,, 与 fxudx(,)2,,, ,,AA12于是,
A,,,,2fxudxfxudxfxudx(,)(,)(,),, ,,,AAA112
,,,,,,( ,,,,,fxudxfxudx(,)(,),,,AA1222
“” 有 ,,,,,,,,,,0,,,,,AaAAAAuI,01020
A2fxudx(,),,, ,A1
,,,,fxudx(,),,令,有,即在区间一致收敛( Ifxudx(,)A,,,2,,Aa1
定理6 若,有 ,,,,xauI,
, (5) fxuFx(,)(),
,,,,I且无穷积分Fxdx()收敛,则无穷积分fxudx(,)在区间一致收敛( ,,aa
,,Fxdx()收敛,根据?12.1定理2(无穷积分的柯西收敛准则),证:已知,a
即有 ,,,,,,,,0,,,,AaAAAA01020
A2Fxdx(),,, ,A1由不等式(5),有 ,,,,,,,AaAAAAuI,,,,01020
AAA222fxudxfxudxFxdx(,)(,)(),,,,, ,,,AAA111
,,Ifxudx(,)由定理5知,无穷积分在区间一致收敛( ,a
M定理6中的函数称为优函数,定理6亦称为优函数判别法或判别法Fx()
M(魏尔斯特拉斯判别法)(
,,cosxyR例6 证明:dx在一致收敛( 22,1,xy
,,1cos1xyMdx证:,,yR,有,已知收敛,由判别法知,2,2221xxyx,
,,cosxyRdx在一致收敛( 22,1,xy
fxugxu(,),(,)定理7(狄利克雷判别法)若满足下列条件:
3
p(1)在上一致有界; I,,pafxudx,(,),a
(2)是的单调函数,且当时,在上一致收敛于Ixgxu(,)(),,uIx,,,
0(
则
,, fxugxudx(,)(,),a
在上一致收敛( I
定理8(阿贝尔判别法)若满足下列条件: fxugxu(,),(,)
,,(1)在上一致收敛; fxudx(,)I,[,],,,a
(2)是的单调函数,关于一致有界( xugxu(,)(),,uI则
,,fxugxudx(,)(,) ,a
I在上一致收敛(
,,sinx,yxedx在一致收敛( 例7 证明:[0,),,,0x
sinx,yx,,证:设,则 fxygxye(,),(,)x
,,,,sinxfxydxdx(,),(1)收敛,从而关于一致收敛; y,,,[0,),,00x
,yxy(2)对,关于单调,且关于一致有界: x,,,,y[0,)gxye(,),
1,,yxyxgxyee,,,,(,)1, yxe
,,sinx,yxedx由阿贝尔判别法知:在一致收敛( [0,),,,0x
定理9 若函数在连续,且无穷积分fxu(,)Daxu(,),,,,,,,,
,,,()(,)ufxudx,,()u在一致收敛,则函数在连续( [,],,[,],,,a
,,,,,,,,,,,0,,,[,],AaAAu证明:由一致收敛的定义,有 00
,,fxudx(,)3,,( ,A
,,,,uuu[,],[,],,,,,取有 00
4
,,,,fxudxfxuudx(,)3,(,)3,,,,, , 00,,AA
A根据?12.3定理1,函数在连续,当然在任意一点pufxudx()(,),[,],,,a
也连续,即对上述同样的 ,,,,,,,0,0,, u有u,[,],,0
AApuupufxuudxfxudx()()(,)(,)3,,,,,, ,, 0000,,aa于是, ,,,,,,,,,,,,0(,),0,,AaAAu 有00
,,,,,,()()(,)(,)uuufxuudxfxudx,,,,, 0000,,aa
AA,,,,,,,,,,fxuudxfxuudxfxudxfxudx(,)(,)(,)(,) 0000,,,,aAaA
AA,,,,,,,,,,fxuudxfxudxfxuudxfxudx(,)(,)(,)(,) 0000,,,,aaAA
,,,,,,,, ,333
即函数在连续( ,()u[,],,
定理10 若函数在连续,且无穷积分fxu(,)Daxu(,),,,,,,,,
,,,()(,)ufxudx,在一致收敛,则函数在可积,且 [,],,,()u[,],,,a
,,,,,()(,)udufxududx,, ,,,,,a,,
即
,,,,,,fxudxdufxududx(,)(,),, ,,,,,,,,aa,,
简称积分号下可积分(
证:根据上面定理9,函数在连续,则函数在区间可,()u[,],,,()u[,],,
,,,,,,,,,,,0,,,[,],AaAAu积(由一致收敛的定义,有 00
,,fxudx(,),,( (6) ,A
根据本节定理3,有
,,AAfxudxdufxududx(,)(,),, ,,,,,,,,aa,,
,,AA从而,,由不等式(6),有 0
,,,,,,,A,()(,)(,)(,)udufxudxdufxudxfxudxdu,,, ,,,,,,,,,,aaA,,,
5
,,A,,,,fxudxdufxudxdu(,)(,) ,,,,,,,,aA,,
A,,,,,,fxududxfxudxdu(,)(,), ,,,,,,,,aA,,
于是,有
,,,A,,,()(,)(,)udufxududxfxudxdu,, ,,,,,,,,,aA,,,
,,,,,,,,fxudxdudu(,)(),,,,, ,,,A,,
即
,,,A,,,()lim(,)(,)udufxududxfxududx,,( ,,,,,,,,,aaA,,,,,,
,fxufxu(,),(,) 定理11 若函数在区域连续,且无Daxu(,),,,,,,,,u
,,,,,穷积分,()(,)ufxudx,在区间收敛,而无穷积分fxudx(,)在区间[,],,u,,aa
一致收敛,则函数在区间可导,且 ,()u[,],,[,],,
,,,,,()(,)ufxudx, ,u,a即
,,,,d,fxudxfxudx(,)(,),, ,,aaduu,简称积分号下可微分(
证明:,讨论积分 ,,u[,],,
u,,,fxtdxdt(,)( t,,,,,a
根据上面定理10,有
u,,,,u,,u,,fxtdxdt(,)fxtdtdx(,),fxtdx(,), ,,tt,,,,,,,,,,,,aaa
,,,,,,fxudxfxdx(,)(,),( ,,,,,()()u,,aa
所以,
,,,,,()(,)ufxudx,, u,a即
,,,,d,fxudxfxudx(,)(,),( ,,aaduu,
同样地,含参变量的瑕积分也有一致收敛及其判别法,它所定义的函数也有
相似的分析性质,这里从略(
6
四、例(?)
,,axbx,,eea,例8 证明:( ln,0dxab,,,,0xb
,,axbxee,x,0证:首先注意不是被积函数的瑕点( x
,yx,,,,,axbxbxaxyxbbbeeeeee,,,yx,( (),,,dyedy,,,,y,,aaaxxxx
,,,,axyx,,,,yxax已知,有,而收敛,根据本节定理6,在ee,edxedx,,yab[,],,00
一致收敛,根据上面定理10,交换积分次序,有 [,]ab
,,axbx,,,,,,bbbeea,1,,yxyx( dxedydxedxdydy,,,,ln,,,,,,,,,,000aaaxyb
,,sinx,例9 求狄利克雷积分( Idx,0x
,,sinx解:?12.1例11(P260)证明了无穷积分dx收敛(条件收敛)( ,0x
sinx因为的原函数不是初等函数,所以不能直接求此积分,为此,在被积x
,yx函数中引入一个“收敛因子”,讨论无穷积分 ey(0),
,,sinxyx,,Iyedx()( (7) ,0x
y显然,(无穷积分(7)的被积函数及其关于的偏导数 II,(0)
sinsinxx,,,,yxyxyx eeex,()sin,,xyx,
在连续(作连续开拓)(由例7知无穷积分 Dxy(0,0),,,,,,,,
,,sinxyx,edx ,0x
,,,0在[0,),,一致收敛(下面证明,,无穷积分
,,,,,sinxyxyx,, ()sinedxexdx,,,,00,yx
[,),,,在一致收敛(
7
,,x,,,,,yxyxx,事实上:,有(已知收敛,由本edxexeesin,,,,,,y[,),,0节定理6知,
,,,,,sinxyxyx,, ()sinedxexdx,,,,00,yx
在一致收敛。 [,),,,
由上面定理11,,有 ,,,,y[,),
,,,,,sinxyxyx,,, Iyedxexdx()()sin,,,,,00,yx
,yx,,eyxx(sincos)1, , ,,,22011,,yy从而,
1( (8) Iydyyc()arctan,,,,,2,1,y
,(8)式成立。下面确定常数(有 c,,y0
,,,,,,sinsinxxyxyxyx,,, ,,,Iyedxedxedx(),,,000xx
,yx,,e1, ,,,,,,,0()y0yy
lim()0Iy,即(由(8)式,得 y,,,
lim()limarctanIyyc,,,, yy,,,,,,
,,0,,,,,,cc即 于是, 22
,Iyy()arctan,,,( (9) 2
下面证明Iy()在y,0右连续(事实上,已知无穷积分(7)在区间[0,),,一
致收敛,根据上面定理9,Iy()在y,0右连续(由(9)式,得
,lim()limarctanIyy,,,, ,,xx,,002
8
,,,sinx,即,即( I(0),,,,IIdx(0),02x2
,,sinyx例10 求无穷积分( dx,0x
,,sinyx1解:时,;时,设,由例9,有 ,dx0y,0y,0yxtdxdt,,,,0xy
,,,,,,sinsin1sinyxtt,, ,,,,,ydxdtdt0,,,,000xtyyt2
,,,,,,sinsinsinyxtu, ( ,,,,,,ydxdtdu0,,,,000xtu2于是,有
,2,0y,,,,sinyx,dxy,,0,0, ,,0x,,,2,0y,,
从而,有
,,2sinyx,( sgnydx,0,x
,,pt,例11 无穷积分Fpedtp()(0),,称为拉普拉斯()变换,它laplace,0
将函数变换成函数(例如,求 ft()Fp()
,,ptt,,,Fpetedtp()(),,,,( ,0
,,,,1()ptx,,,,解: Fptedtptxxedx,,,,()()2,,00p,(),
11( ,,,,,,1()p22,,()()pp,,
9