【doc】 一类广义凸函数平均值的单调性

【doc】 一类广义凸函数平均值的单调性 一类广义凸函数平均值的单调性 第25卷第6期 20O5年l2月 上饶师范学院 JOURNALOFSHANGRAONORMALCOLLEGE vd.25.No.6 Dec.2005 一 类广义凸函数平均值的单调性 杨联华,刘晓玲 (1.上饶师范学院数学系,江西上饶33400; 2.韩山师范学院数学与信息技术学院,广东潮州521041) 摘要:定义了Ben一附广义代数运算意义下的平均值(f),Bn(f),(f),S1.(f),并在f为一凸函数的条件 下讨论了这些平均值的单调性. 关键词:单调性;BeII一附广义代数运算;凸函数;一凸函数 中图分类号:O174.13文献标识码:A文章编号:1004—2237(2o05)o6—0O22—04 1引言 本文在Ben—Tal广义代数的基础上定义了几个包含或不包含端点 的平均值,并且在f为甲一凸函数的 条件下考虑了这几个平均值的单调性.为此我们首先引进Ben—Tal的广义代数运算?. 设是AcR上的连续实值函数,它具有反函数一,则两个数aEA和p?A的甲一加法定义为 a[+]p=甲一[(a)+甲(p)] 对aEA和入?R的甲一数乘定义为 入.a=[(a)] 两个数aEA和p?A的一减法定义为 a[一]p=a[+]((一1)?p)=甲一[(a)一甲(p)] 另外我们记[]ai=a.[+][+]..?[+]‰,其中?A,i=1,2,…m.下面我们利用实数集的B饥一TM 的广义代数运算给出以下几个平均值及f为一凸函数的定义: 定义1定义(f)=?[]吉)(n?2), Bn(f)=1?[黑]吉)(n1).’ sn(f)=1?[]吉) sn(f)=.r) 定义2若对任意a,B?A(其中ACR为一区间),及任意入?(0,1)有 f(k?a[+](1一入)?p)?入?a)[+](1一入)?p) 收稿日期:200s—o7—29 作者简介:杨联华(1971一),女,江西上饶人.理学学士,上饶师院数学与计算机系讲师. 第6期杨联华,刘晓玲:一类广义凸函数平均值的单调性 则称f为A上的甲一凸函数 注1:由f为A上的甲一凸函数的定义我们有如下的性质 命1若f为A上的一凸函数,aiEA,E(0,1),=1,则 一 m—m f([]?a1)[]?ai) lll:l 注2:当(p为线性函数时,Ben—Tal的广义代数运算即为我们通常的代数运算,此时凡(f),Bn(f),sn(f),(f), 即是通常运算下的平均值,而(p一凸函数即是我们熟悉的凸函数.这时关于凡(f),Bn(f),sn(f),Sn(f)在f凸 的条件下有如下很好的性质,这也是文引理的推广. 命题2【设f为定义在区间[0,1]上的凸函数,则凡(f)关于n是单调增加的,B(f)关于n是单调减少的. 命题3【设f为定义在区间[0,1]上的凸函数,则sn(f)关于n是单调增加的,Sn(f)关于n是单调减少的. , 对命题3,文[给出了一个详细的及一个证明思路,但证明的过程很繁杂,为此本文给出一个很简 单的证明. 命题3的证明:当f为定义在区间[0,1]上的凸函数且为单调函数时文[3】已经证明.下设f不是[O,1]单 调函数,则由凸函数的性质知,存在XoE(0,1),使得f在Xo处取得最小值,且区间[O,Xo]及[Xo,1]均为f的单 调区间.首先我们不妨设f(xo)=O,否则考虑函数g(x)=f(x)一f(xo),其次我们作函数 (x):{‘,1]f2(x)={),xxE?[(O,x,1]o] 则函数fl(x)及f2(x)均为区间[0,1]上的单调凸函数,且在[O,1]上f(x)=f1(x)+f2(x). 又sn(f)=1n 圳 - l(,r)=(f1()+f2(吉))=1n缶-1tl\r)+1~-1I2\/rn) =sn(‘)+sn(f2) sn(r)= nr 妻=lr()=耋(‘()+f2(吉))=奎(吉)+耋f2(吉) = sn(‘)+S(f2) 所以由文的定理3A知sn(f)随n的增加而增大,Sn(f)随n的增加而减小. 2主要结果及证明 本节我们考虑当为[0,1]上的非线性函数且f为[O,1]上的一凸函数时由Ben—Tal的广义代数运算 定义的凡(f),Bn(f),SrI(f),Sn(f)等平均值的单调性. 定理1若为[0,1]上单调增的凸函数,f为[O,1]上的单调增一凸函数,则Bn(f)凡(f) 证明:因为甲为Io,】’上的凸函数,所以 (吉)(1一吉)(o)+(1),r=o,1,…,n 又甲在[O,1]上单调增,所以在[O,1]上单调增,故 (rn)s[(一言)(o)+吉(?)]=q)-1[((?一rn)?0)+(吉?)]=(一rn).o[+]吉’, r=0,1,…,n 再由f在Io,1]上的单调增甲一凸函数知 f()(1一rn)?o[+]’?](1一rn).fro)[+]吉’1),r=o,1,…,n 所以 f()[+]r(?一吉)=一((r())+(r(?一))) 一 (((,一n)?f(o)[+]n?,))+(?o)[+](1一rn)?1))) 上饶师范学院2005(第25卷) =甲一((1一吉)甲(f(o))+吉甲(f(1))+吉(f(o))+(1一吉)甲(f(1))) =甲一((f(O))+甲(f(1)))=f(0)[+]f(1) 因此 (f)=:1?【】吉)=(l_(【】吉))) (【1?(吉)nn-_r))】) 甲一(【?(0)[+]1))】)=1?(0)[+]1))=B.(f) 所以 Bo(f)=;n-1’(f)[+].B ?(f)(f)证毕. 定理2若甲为[O,1]上单调增的凸函数,f为[O,1]上的单调增甲一凸函 数,则氏(f)随n的增加而增大,(f) 随n的增加而减小. 证明:因为 rn—rrrr+I n.nn+1’nn+1’ 所以由甲的单调凸性有 (吉)【(-一吉)甲()+吉甲()】=1-ir)?[+r?r+l,,…,n. 从而再由f的单调一凸性,且记=f(),r=l,…n,则有 吉)s(-一吉)?r一[+]吉?{)(-一吉)?at[+]吉?at+.. 所以 (f)=:1?【】音)=(l_甲(【】吉))) (甲(((--rn)+]吉.))) =甲一(甲([+[+n-2[小[+[+]an)) =甲,1 甲(a?[+][+]??’’[+]an))=+?(f) 所以(f)随n的增加而增大;下证(f)随n的增加而减小. 因为 n = n兰nI+(1一n)n__一,,一l 所以由甲的单调凸性有 (吉)甲,Jr(r-I)+I-吉)(r)】 从而再由f的单调甲一凸性,且记b=f(),则有 吉).. r ?;r-1[+](1一rn)?r)s吉?br一.[+](1一吉)?br 所以 (f)=;1?【羔】)=~p-i(甲(【羔】r())) 第6期杨联华,刘晓玲:一类广义_凸函数平均值的单调性 s((【(吉.br-.[+]))) = 一 (T~--i+1,p(bo[+]{?bo[+]}?bl[+]?hi+in-n2?b2…[+]}?一[+].b一-[+]詈 一-)) = - 1 ((bo[+]bl[+]..?[+]bo一.))=Bn-I(f)证毕. 定理3若为[O,1]上单调增的凸函数且(O)=O,f~J[O,1]上的单调增一凸函数,则(f)随n的增加而 增大,sn(f)随n的增加而减小. 证明:我们不妨设f(O)=O,否则令g(x)=f(x)[一]f(O),则 g(O)=一((f(O))一(f(O)))=O 且 g(入?a[+](1一入)?p)=f(入?a[+](1一入)?p)[一]f(0) =一((f(入’a[+](1一入)’p))一(f(0))) sI1[(入?f(a)[+](1一入)?f(B))一(f(O))](IB为f为一凸和单调增) =一[(入?(f(a)[一]f(0))[+](1一入)?(f(p)[一]f(0)))] =入?(a)[一]f(O))[+](1一入)?(p)[一]0))=入?g(a)[+](1一入)?g(p) 所以g(x)为[0,1]上的单调增一凸函数且g(O)=0 sn(f)=i1?【蔓】吉)=i1?(o)[+]【】r(吉))=1?(【】f(音)) = }?(?【】f(吉))=I-iI)?(r) s(f)=i1?【耋】吉)=?(f(o)[+]【耋】吉)) =? (1?(【f(吉)))=(?+1).BD(f) 由定理2知sn(f)随n的增加而增大,S(f)随n的增加而减小.证毕. 参考文献: [1]AridM.NonlinearPrtgmnuning:AnalysisandMethods[M].NewJersey: Prentice—Hall,E,chwoo~e—li—ff.q,1976. [2]张庆祥.非光滑(h,)一半无限规划解的充分性和对偶性[J].应用数 学,2001,24(1):129—138. [3]GrahameBennett.MonotonicAveragesofConvexFunctions[J].J.M.A. 430. A.2OOO,252:410— [4]H.A1z~r.AnoteonalemmaofG.Bennett[J].Quart.J.Math.Oxfordser.1994,45(2):267—268. MonotonicityoftheAveragesofaKindGeneralizedConvexFunctions YANGLian.hua,LIUXiao-ling (1.ShangraoNormalCollege,shanji~xi334001,China; 2.HanshanTeacher’sCollege,ChaozhouGnangdong521041,China) Abstract:Inthispaperwedefinedaveragesof(f),(f),焉 l(f),(f)whichbaseonthegeneralizedBen—Talalgebraicopera— fion,anddiscussedtheirmonotoneitiesundertheconditionthatfunctionsfare’p—convex. KeyWords:Monotoneicity;generalizedBen—Talalgebraicoperation;conv exfunction;’P—collvexfunction