【doc】半导体量子环的基态和激发态的能量的计算

【doc】半导体量子环的基态和激发态的能量的计算 半导体量子环的基态和激发态的能量的计 算 第27卷第3期 V01.27No.3 广东教育学院 JournalofGuangdongEducationInstitute 2007年6月 Jun.2007 半导体量子环的基态和激发态的能量的计算 惠萍 (广东教育学院物理系,广东广州510303) 摘要:利用B样条技术计算强磁场下二维量子环在不同角动量下的能谱及其量子尺寸效应. 计算发现:量子环的能量在环半径Yo—Yo.时出现一个极小值,当r0<Yo.时,量子环的尺寸越小能量 越高,当ro?r0.时,量子环的尺寸越大能量越高,激发态能量的极小值的位置ro.向量子环增大的方 向移动. 关键词:B样条技术;量子环;基态能量;量子尺寸效应 中图分类号:O562.1文献标识码:A文章编号:10O7—8754(2007)03--0038--05 引言 由于半导体技术的飞速发展,国内外材料合成和生长的实验技术已可制备不同形状各类量子点和环的 结构,它们从几到几十纳米不等,这些材料中的载流子数目可以人为控制,其中半导体量子环(QR)是近年 才出现的新生事物,少数电子的量子环已经可以制备,这些系统会显示出奇特的物理性质,例如持久电流, Aharonov-Bohm振荡等,人们对其研究产生极大的兴趣[1].实验上可以通过测量量子环的光学性质分析出 量子环的能谱,这些人造半导体材料的光学性质对形状,尺寸,外场等因素有很强的依赖关系,因而可以通过 这些因素控制材料的光电性质.理论上,对半导体微晶系统的光学性质的研究还在不断地探索之中,这种研 究为新型材料的研制提供了理论依据,目前已成为了理论工作者关注和攻关的热点课题. 理论计算上,这种系统的研究需要从量子力学出发,计算由电子构成的少体系统的能级和波函数,继而 可以计算我们感兴趣的各种物理量.由此可以看出,解释半导体量子环的光学性质的根本出发点就是求解由 电子构成的微观少体系统的薛定谔方程.众所周知,求解多体薛定谔方程是一项困难的工作,特别是粒子关 联起重要作用的情形,这要求理论工作者发展新的有效的方法去解决多粒子的量子体系,本文探索一个电子 在二维量子环中的能谱的计算. 1量子环中一个电子在谐振子努的薛足谔万裎 采用平面坐标系(z,),设为电子相对于坐标原点的位置矢量,设量子环中心为坐标原点,环的半径 为Yo,在量子环的垂直方向(方向)加均匀磁场强度为B,一个电子在谐振子势下的哈密顿量为 H一1(一 )+1 .(r—r0)一gBB.(1) 其中 一 号直×一,粤+导, 1(一)一1[(一eB)+(Py +eB z)一 +eB(xp一+(抖)一 户+戤+ 收稿日期:2OO7一O3一O5 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10574163);广东教育学院教授博士专项经费资助项目 作者简介:惠萍(1962一),女,吉林通化人,广东教育学院物理系教授. 第3期惠萍:半导体量子环的基态和激发态的能量的计算39 在平面坐标系中,设一个电子平面极坐标(r,)下的波函数为 (r,)一?c(r,)一?CBj,(r)e,(2) JJ,/7c 其中c为展开系数,B(r)为径向忌阶B样条函数.于是哈密顿量变为 H一一{da ,. q_ d a21)+(r— to)+2+警--g*,uBBm3) 其中为电子在半导体材料中的有效质量,对于半导体GaAs材料一0.067me,1?o(r —ro)为谐振 势,一,等,为电子的角动量的贡献.一gBm为Zeeman能量,g为半导体材料对应的有效因" 子,为Bohr磁子,其中g一0.02547×B(T)×m.薛定谔方程简化为 /4~(r,)一(r,).(4) 哈密顿量矩阵元 ?一((r,l一笔{ad,.q_daa—re,a}-4-.丢.(r—ro)+丢l(r,)>+ (警f一警尢?2m)((r,)l(r,)>一 (Bjr)l一笔{d~_,.qdaa一ml2)+丢.(r—to)+丢lr)>+ (f一%.-h?2m)(B?(,.)J旦,(r)>.(5) 重叠矩阵 S一((r,)l(r,)>一<Bj,女(r)l,女(r)>.(6) 薛定谔方程矩阵形式为 HC—ESC.(7) 其中c为本征矢,C一(c,C2,…,C~),E为本征值,解矩阵方程(7)可得到本征能量E. 2参数的优化和能谱的计算 采用B样条技术进行能谱计算,(1)式中的Bj,(r)为k阶B样条函数,每个B样条函数都分布在一个特 殊区域,它的递推关系可以用一些节点示,设节点按顺序t?tz?ts?…?tj?tj+l?…?,,分布 在径向积分范围(0,R)内,k阶样条函数的递推关系为 Bj,k(r)=H(r)+等B升1,H(r). 可以看出B样条函数的形式取决于节点的分布,BJ,(r)是k一1次多项式形式,调节节点分布就可以调节函数 形式,且它只有在?r<z区间不为零.当?r<时,马,(r)一1,当r<t,r?时,马,(r)一0.求 矩阵元时,设积分区间为(0,R),那么0一t1一t2一t3一?一t女?…???…?tj+k—R,计算时, 调节节点分布使量子环r0附近的节点密度大一些,节点越少计算速度越快,节点越多计算结果收敛越快. 2.1B样条函数的阶数和节点数的调节 首先通过计算确定积分限(见表1). 分析表1的数据发现:改变R的大小,在R一90nm的条件下,能量收敛得最好,因此判断波函数分布在 0到90nm范围内.在这种很少的节点数目(一37)的情况下,积分限选择太宽,会影响数值计算的结果,所 以积分限R一9012m为最佳选择,且计算的能量已经达到足够的精度(10-~meV),如果节点数目选择多一 些,积分限可以选大一些也不会影响计算结果. 下面是样条阶数和节点数的调节(见表2和表3).从表2看到,在节点数目基本固定时,样条阶数只要选 3,基态能级精度已经超过(10一meV),但当样条阶数大于5时,高能级收敛速度加快,样条阶数k选7收敛结 果最好. 4O广东教育学院第27卷 表2B=10T.蜘力=3meV.=30+.脚=一1./?/s=1/2 表3B=10T.~ooh=3meV.k=7.mi=一1.m=1/2 从表3看到,节点数目越多,能级收敛越好,当节点数目达到37时,E5能级精度已经达到(1OmeV).但 在数值计算中,节点数目太多时,也同样会带来节点分割时的计算误差,因此节点数目不是越多越好,在这里 选37收敛结果很好,再大了没必要,不仅影响收敛速度,计算速度也会变慢. 2.2改变角动量和自旋的能谱变化 在参数的优化之后,下面计算不同角动量分量IT/和自旋IT/分量下的能谱变化(见表4) 表4ro=30nnl.~ooh=3meV,R=90nnl.k=7,n=37 第3期惠萍:半导体量子环的基态和激发态的能量的计算41 表4中数据显示,当不变时,电子的轨道磁矩项中的越大,能量越高;当不变时,自旋磁矩项 中的越大,能量越低;这个变化规律与(3)式的哈密顿量表达式是一致的,这里要说明的是,当B一0, 一 0,z一0时,R一150nm,而B?0时,R一90nm.这说明无磁场情况比加上磁场时波函数分布范围 广大. 2.3改变磁场大小观察能量的变化 下面改变磁场大小,观察能量的变化,表5说明磁场越大,能量越大,随着磁场的增大,能量表现出线性 变化规律.对这一现象做如下解释:由于波函数主要分布在量子环附近,量子环半径为ro一3×lOm,其平 方为很小量,从(3)式哈密顿量中的第三项可以看到,当B<lOT时,叫;项完全可以忽略,因此(3)式哈密顿 量随着磁场B的变化是线性增加的,这于计算结果是一致的.(3)式哈密顿量中的第三项和第四项就是对朗 道能级的贡献,外磁场的作用不仅使电子受洛伦兹力,而且还有回旋轨道的量子化. 表5ro=30砌,细力=3meV.R=90舳.k=7,=37,珊=一1,慨=1/2 2.4改变谐振子势和环的大小观察能量的变化 从表6中看到,谐振子势越大,能量也越大,为了清楚起见,将基态能量曲线画出,见图l所示,曲线表明 能量随着谐振子势的变化并不是线性规律,其增加速度越来越快.其解释与(3)式第二项叫.平方项对应,叫. 越大,曲线变化变化率越快. 表6B=10T,ro=30llIIl.R=90砌.=71n=37.ml=一1,m=1/2 墨 咖1 醐 图1谐振子势‰^/mev 墨 啮 咖1 醐 图2量子环半径ro/m 42广东教育学院第27卷 分析表7的数据发现:当改变环的大小时,出现奇怪的现象,量子尺寸效应并不是通常量子点的变化规 律(尺寸越小能量越高).对应的m一一1,m一1/2基态能量E在ro—ro.:15nm出现一个极小值,ro< ro.时尺寸越小能量越高,当ro?ro.时尺寸越大能量越高.E—E5对应极小值的位置roo向环增大的方向移 动. 3 本文从量子力学的薛定谔方程出发,计算了强磁场下一个电子构成的二维系统的能级,发现了令人感兴 趣的现象,得出意想不到的结论.这种方法可以继续用于研究多电子半导体量子环的能谱,从理论上去解释 实验所测量的半导体量子环的光学性质.尤其是对外场下的这些纳米半导体材料的光学性质对形状,尺寸等 因素的依赖关系的研究,意义是极其深远的. 参考文献: EliRAMIREZ-BONR,ESPINOZA-BELTRANFJ,ARIZPE-CHAVEZH.CdTenanostru cturespre— paredbythermalannealing[J].JournalApplicationPhysics,1995,77(10):5461—5463. 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TheCalculationofGroundStateandExcitedState Ener~"ofSemiconductorQuantumRingner~iesoremiconuctOruantumKlng HUIPing (Dept.ofPhysics,GuangdongEducationInstitute,Guangzhou,Guangdong,510303,P.R.China) Abstract:TheB-splinetechniqueisusedinthecalculationoftwo— dimensionquantumringenergies whichcorrespondtodifferentangularmomentum.Thesize-dependenteffectsoftheenergiesarestudiedin thispaper.Calculatedresultsshowthateveryenergyhasaminimumatquantumringradiusr0一r00,and thattheenergydecreaseswithther0atr0~ro0region,andincreaseswithroatro? r.Oregion.Theposition rOoofminimumofexcitedstateenergiesdisplacestowardlargequantumringradius. Keywords:B-splinetechnique;quantumring;GroundStateEnergies;size-dependenteffect