导数的定义、可导的充要条件、可导与连续的关系、常用导数公式和复合函数

导数的定义、可导的充要条件、可导与连续的关系、常用导数公式和复合函数 中小学个性化教育专家 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号____________________ 学员编号:gz5lhw135 年 级:高二 课时数及课时进度:3(6/60) 学员姓名:易璟蕴 辅导科目:数学 学科教师:雷晓 学科组长/带头人签名及日期 掌握导数的定义、可导的充要条件、可导与连续的关系、常用导数公式和复合函数的‎‎课 求导法则 授课时间:2011-3-13 备课时间: 2011-3-12 1、能熟练的运用导数定义求函数的导函数，根据可导的充要条件及可导与连续的关系‎‎ 教学目标 判定函数在某点的可导性与‎‎连续性 2、能用常用导数公式、求导法则和复合函数求导法则求初等函数‎‎的导数 1、可导的充要条件 重点、难点 2、可导与连续的关系 3、复合函数的求导法则 考点及考试要求 教学内容 一、导数的相关概念 1、导数的定义: fx，,x,fx()()/00fx,()lim 0,x,0,x 例1、用导数的定义求下列函数的导数 (1) f(x),1 2f(x),，2x(2) x 1 精锐教育网站:www.1smart.org 精锐教育?教学服务部 中小学个性化教育专家 2、单侧导数(左、右导数): fx，,x,fx()(),/00(1)、左导数: f,()limx,0,x,,x0 fx，,x,fx()()，/00(2)、右导数: f,()limx，0,x,,x0 2,xx，2(,1),xx,1例2、求函数在点处的左导数和右导数。 f(x),,,xx4,1(,1), ,，//f(),f()3、函数在点处可x,导的充要条件:左、右导数均存在且相等，即 y,f(x)xxx000 x,0f(x),x例3、已知函数，试判定在是否可导,若可导，求出其导数值;若不可导数，请说明理由。 f(x) 4、导数的几何意义: x,f(x)x曲线上点()处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点y,f(x)y,f(x)y,f(x)000 /x,f(x)()处的切线方程为 y,f(x),f(x)(x,x)00000 2f(x),，1x,3例3、求函数在点处的切线方程。 x 2 精锐教育网站:www.1smart.org 精锐教育?教学服务部 中小学个性化教育专家 注意: 导数与导函数都称为导数，这要加以区分:求一个函数的导数，就是求导函数;求一个函数在给定点的导数，就是 ,/求导函数值，它们之间的关系是函数在点‎‎处的导数就是导函数在点的‎‎函数值，通常记作或xxy,f(x)f(x)y00 x,x0'。 ()fx0 1x,1f(x),例5、求函数的导数及其在处的导数值。 x 5、可导与连续的关系 如果函数在点x,处可导，那么函数在点处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具y,f(x)y,f(x)x0x0 有可导性的必要条件，而不是充分条件;即函数在某一点可导则在该点一定连续，但函数在某点连续不一定可导。 (,0xx),x,0,,yx例4、已知函数，试判断在处的连续性和可导性。 y,f(x),,x(x，0), 6、求函数导数的一般: y,f(x) (1)、求函数的改变量; ,y,f(x，,x),f(x) ,yf(x，,x),f(x),(2)、求平均变化率; ,x,x ‘,y/lim(3)、取极限，得导数,。 (x),yf,x,0,x 2y,x,1例5、求的导数及其在点处的导数值。 x 3 精锐教育网站:www.1smart.org 精锐教育?教学服务部 中小学个性化教育专家 ,,3例6、 已知，求，。 y,,2x，1yyxx,2 二、几种常见函数的导数 C',01、(C为常数) 例如:求下列函数的导数:(1);(2) y,0y,a(a,R) 2,3nn,1y,y,2、( 例如:求下列函数的导数:(1);(2);(3) n,Q)(x)',nxy,xxx 3、 (sinx)',cosx 4、 (cosx)',,sinx 1(lnx)',5、 x 1(logx)',y,x6、 例如:求下列函数的导数:(1) loga3xlna 'xx7、 ,()ee x'1xxxy,8、例如:求下列函数的导数:(1);(2) ,lnay,()()3aa 2 三、函数的和、差、积、商的导数 1、法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和‎‎(或差)，即 (u,v)',u',v'2、法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个‎‎函数的导数，即 (uv)',u'v，uv' 3、法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 'uuvuv'',,, ,,(0)v,,2vv,, 例7、求下列函数的导数 3y,，sinx(1) x 4 精锐教育网站:www.1smart.org 精锐教育?教学服务部 中小学个性化教育专家 42y,,,x，3(2) xx 32y,2,3，5x,4(3) xx 2y,(2，3)(3x,2)(4) x 2y,3，xcosx(5) x 10y,5sinx,2xcosx,9(6) x 2 x(7) y,sinx 1(8) y,,cosx x (9) y,cotx 1，x(10) y,3,x 2,1x(11) y,sinx 四、复合函数的导数 1、复合函数:由几个函数复合而成的函数‎‎，叫复合函数。由函数与复合而成的函数一般形式是y,f(u)u,,(x) ，其中u称为中间变量。 y,f[,(x)] ,,2、复合函数的导数:设函数u=(x)在点x处有导数u′=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′=f′(u)，xu ,,,则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且y',y',u' 或f′( (x))=f′(u) ′(x)。 xxux例8、试说明下列函数是怎样复合‎‎而成 23?; y,(2,x) 2?; y,sinx ,y,cos(,x)?; 4 ?y,lnsin(3x,1)( 例9、写出由下列函数复合而成的‎‎函数 2u,1，xy,cosu?，; u,lnxy,lnu?，( 5 精锐教育网站:www.1smart.org 精锐教育?教学服务部 中小学个性化教育专家 例10、求下列函数的导数 3,4x(1) y,2xcosx 2(2) y,ln(2x，3x，1) 2(3) y,lg1,x 2,,ln1y,，,x(4) ,,x,, (5) ,,，，y,lnlnlnx (6) y,lnx 2(7) y,1，logxa 5(8) y,(2x，1) 2f(x),sin(9) x ,2y,(2x，)(10) sin332(11) y,ax，bx，c1,x5(12)y= x 1 x(13) y,sin2 22(14) y,(2,3)1，xx 2，12x5y,(15) ，，3x，15x,1 22(16)y,sin3x ，，,3x，2x n，，lnxy,(17) x 2xy,cos3x(18) e 5xy,(19) a sinxy,(20); e 6 精锐教育网站:www.1smart.org 精锐教育?教学服务部 中小学个性化教育专家 x(21) ，，y,ln1，2 2x(22); y,，，2e 2x e(23) ,lny2x，1e 2xsin(24)y,; 10 x e(25)( y,，ln32 x ,2xsin3xy,(26) e ,2x e(27) y,sin3x (28) y,xsinx (29) ，，y,32xlg1,cos2x xy,(30) 2x (31) y,(x,1)(x,2)(x,3)？(x,100)(x,100) (x，1)(x，2y,(32) (x，3)(x，4) ,123nn,1，2，3，？，n,n,n,例11、利用导数证明，其中( CCCCN2nnnn 7 精锐教育网站:www.1smart.org 精锐教育?教学服务部 中小学个性化教育专家 五、课后作业 1、数在处可导是它在处连续的( ) x,x,，，y,fxxx00 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ,y22、在曲线的图象上取一点及邻近一点，则等于( ) ，，1，,x,1，,y(1,1)y,2,1x,x 224，2,x4，,xA. B. C D. 4,x，2(4,x，,x)(,x) 3、已知命题函数的导函数是常数函数;命题函数是一次函数，则命题是命题的() p:q:pqy,f(x)y,f(x)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 hfh，，(，),,xx004、设函数在处可导，则等于( ) f(x)xlim0,x,0h ‘‘‘0A. B. C. D. ()()(),fff22xxx000 ‘，，，，5、设fx,x1，x，则等于( ) (0)f 01,1A. B. C. D.不存在 6、若曲线上每一点处的切线都‎‎平行于轴，则此曲线的函数必是___。 x 37、曲线在点处的切线方程是___________。 P(2,8)y,x 2k,8、曲线在点处的切线斜率__________。 A(2,10)f(x),，3xx 229、两曲线与在交点处的两切线的夹角为___________。 y,，1y,3,xx fxaxfxbx，,,,,()(),10、设在点处可导，为常数，则____。 xf(x)a,blimx,,x,0 2,，x，1(x,0),xx,0fx(),11、已知函数 ，试确定的值，使在处可导。 a,bf(x),,ax，b(x,0), (x,1)(x,2)？(x,n)f(x),12、设，求。 (1)f,(x，1)(x，2)？(x，n) y,x(x,0)13、利用导数的定义求函数的导‎‎数。 8 精锐教育网站:www.1smart.org 精锐教育?教学服务部