初等变换法求解矩阵方程

初等变换法求解矩阵方程 牡丹江师范学院(自然抖学版)1994.1 8冯克勒译代教学.湖南教育出版社,1985年 ‘ 作者单位:鸡西大学,黑龙江省克山师范专科学校 责任编辑:雨夏 lf-D一初等变换法求解矩阵方程 段文英 (二)//./ [摘要]本文给出了应用初等变换求解矩阵方程AX=0与Ax—B的. 关键词:燮矩阵;型垦.通解’指礴,解Usingtheelementaryoperaliontoselvethematrixequati6n DuanWenying ABSTRACT:Wenotonlyusetheelementaryoperationtorowsbutalsotocolu mns andselvethematrixequation.’ KEYWORDS:Elementary;Matrix}Matrixequation 1矩阵方程AX=0的求解方法 1设有矩阵方程AX=0(1)其中A?F.X一(x)n×若r(A)r,存在 可逆阵P,Q使得PAQ={It:1.则.X(q..q,…,q.--r)C…×是方程(1)的通解. (其中q,q,…,qn--r为Q的后nmr列tc…为任意矩阵) 将Q按列分块Q一(p,P,…,P,qt,q2.…一)t因PAQ=PA(p1,, 10\ …,P.q1,q2t…,q…)一InJ 于是PA(q1,q:.…,q.-F)一O,PA(q..q,…,q…)C…xr=0,又P可逆,而有 A(q,q2.…,qn--r)C…一O,故X?=(q,q,’…,一)cn…为方程(1)的解. 若D为方程(1)的任意一个解,即AD=0.令Q_.D=C×.D=QC×.将cn×r分块为 c一_rr『邑.1,于是有.一AD—AQC一PAQCn一(c一l.l,于是有.一一一-竺【一【c3c4J 【:|I进一步有c一.,一.,即c=( 从而.一Qc一c6.()一Qzcs 这里Q为Q的后n—r列,C为n—rXp矩阵,这说明方程(1)的任一解D已成了 (q.q2.…,qn--,)C…的形式.定理得证. 根据定理1可给出矩阵方程AX一0的实际求解方法. 推论设A?F,x—c,.rcA,一r,若 【三] ?40? 矩阵初等变换 行变换仅对A进行 (::) 牡丹江师范学院f自然科学版)】994. 其中Q一(p,P.,…,P.q.q,……q),另c….为任一矩阵 则Xc一(q,q,……q,)C….为矩阵方程Ax一0的通解. 例1:设A. fA] 解:l…I一 【1J f11 l01 一l0——1 【e1e2 10 01 00 elez——el = fl】. 『. 11 11 ;一一l|=l—I: 0 O 0 e3十e2一e1 ] 斗 i 0 O 0 e’十e2一 故AX=0的通解为x一(q1.q)C 1 O X一(x.);解矩阵方程AX--0(2) ?1 1—210 e1eze 1 — 0 ei e4 0 1 O 00 — 1— 00 12—1e3d一01j :1i;1 — 1 1 1 0 1—1—2 111 010 001 — 2 1 0 1 f100O 01O0 J00O0 【P_;qq 其中c为任意2×5阶矩阵. 2矩阵方程AX=B的解法 定理2设有矩阵方程AX=B(3)AEF…x一(x),BEF, 若rcA,一rcA,B,则方程c.,有解.且存在可逆阵P,Q=:].使得PcA, B)Q的后P列全为零,PAQ q…)C…一R为方程(3)的通解. n—rxp阶矩阵.) OI oj,一R为方程(3)的一个特解,X一(q,’I一, (其中q,q,….q…为Q的后n--r列,C…为任意 证明:关于方程(3)解的存在性及解的结构,及其P,Q的存在性,在一般 的高等代数 教科书中都有证明 下面仅证一R为方程(3)的特解. PcABQ—cAB 【:J=cA’Q,PARTPB)一I(:J),于是PAR+PB= P(AR+B)一O又P可逆.得AR+B一0.A(--R)=B,故一R为方程(3)一特解. 由定理1知Q的后n—r列q,q.…q…与任一矩阵c….之积为方程(1)通解.故有方 程(3)之通解为X一(ql,q,…,q…)c…一R. ?41? 牡J斗江师范学院【自然科学板)1994.1 由定理2知方程AX—B的通解只与Q.和R有关.所实际求解过程可按如下推论进 行. 推论2设A?F圳.x:),B?F删r(A)一r(AB).对矩阵施行初等变换使 fA…1堑童选堑i0,I0/,则x一(.,…一)c…一R为方【I0Q:RJ 程AX—B的通解. (其中q..q.…,qL为Q的后n—r列,C…为任意n--rxp阶矩阵) 参考文献 l:&史黄等再论韧等变搀法求解线性程组.东北林n上学.1鲫I(6) :2:上海交通大学.线性代数.北京高等教育川版社,1982 :3j瞩竹塌一高等代数1海:海科学羹术}Il版社一】987 (作者I作单位:东北林业大学) 责任编辑;雨夏 用综合法证明不等式 王瑞兰 不等式的证明,历来是中学数学的重点也是难点由于不等式的证明题类型多证明的方 法也不少,一般常用的方法有综合法;比较法;_法;数学归纳法等等.有些题往往是几 种方法的综合运用.学生们看到证明不等式的题目时不知从何下手.下面着重谈谈我如何通 过公式及公式的变形来证明不等式的.从而培养学生分析问题.解决问题的能力. 例l设x.,x,…….xn是整数求汪:x A /+x/+…… +?x+x.+…… +x学生往往直接运用公式++…...++?j.如果能证明A,A1AnA1 ?x++……+x成立,问题就可以解决但实际上正好相反X1+x ……一 x?了_j怎么办呢?直接运用公式行不通.所以日f导学生从重要不等式 出发,通过对它的变形,可得到一些非常重要的结果c这些结果在实际中有广泛的应用.我 们知道若fdl,,……,都是正数.则(++……+)/? 当且仅当a=a:--.…?一a取等号 =a一 xs …一一a一 >.刚有一+……+一??n 2.如果a.一b-均为正数一由一b?2a等+b?2a……+bn?2an 则其和++……十十(b+b:……..+bn)?2(a1十a2+……+an) ?42?