无理数的发现

无理数的发现 无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，为无限不循环小数(即小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环)。 如果几个数之间同时存在一个公约数，称为可通约(可公度)，否则称为不可通约(不可公度)，公约数中最大的称为最大公约数。古希腊人发现的不可通约量(或者叫不可公度比)实际上就是发现了无理数。 古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus(希帕索斯)告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比，数学陷入了历史上的第一次危机，人们公认的假设被推翻了。最后，Eudoxus(欧多克索斯)的出现奇迹般地解决了这次危机。 作为非比数的无理数，也很难被人们的直观感觉所接受。通常人们以为，如果给定两条线段，必定能够找出第三条线段，使得给定的两条线段都包含这个线段的整数倍。也就是说，人们从直觉上相信，任意两个同类量是可通约的，或者说是可公度的。毕氏学派关于比例理论的所有结论都建立在可通约量之上。作为非比数的无理数的发现，实际上是发现了不可通约量或称不可公度比。发现了无理数的毕达哥拉斯学派，为了掩饰这一发现与他们的信条之间的矛盾，在很长一段时间，他们费了很大精力保守这个秘密，不准外传。据说，毕氏学派的一个成员Hippasus把这个秘密泄露了出去，结果竟然被该学派的忠实信徒们扔进了大海;另外一个说法是他被开除出学派，别人把他当成死人，还为他立了一块墓碑。 关于有理数(比数)和无理数(非比数)的问题，也就是不可公度比以及一切量的比例问题，直到大约公元前37O年，由古希腊数学家Eudoxus通过给比例下新的定义的办法解决了。他的处理不可公度比的方法，后来出现在欧几里得的《几何原本》中，并且与无理数的现代解释是基本一致的。但是，古希腊人仍然对无理数存有戒心。他们在算术、代数里坚持排斥无理数，只是在几何里不得不承认不可公度量。其结果是，数与量分而治之，算术、代数的发展受到极大的限制，而几何学却得到充分发展，使得古希腊数学的发展不平衡，向几何学倾斜，这种影响在西方持续了近2000年。与东方数学较早接纳无理数，算术和代 数蓬勃发展形成了鲜明的对照。 为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比,换句话说，不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。 中学课程中安排了一段反证法。后面将介绍，当然，那个时候还没有根号、无理数之类的说法。在古希腊当时的数学体系中是根本不可能出现的。毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来，它们掌握的只是纯粹的几何。Hippasus当时完全运用的平面几何知识来证明他的结论。有人觉得奇怪了，既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出“所有数都可以表示为整数之比”的呢,其实古希腊人根本没有提出什么整数之比，当时毕达哥拉斯学派提出的，叫做“公度单位”。 两条线段的公度单位，简单的说就是找一个公度量，使得两条线段的长度都是这个公度量的整倍数(于是这个公度量就可以同时作为两条线段的单位长度并用于测量)。寻找公度量的方法相当直观，就是不断把较长的那个线段减去短的那个线段，直到两个线段一样长，此时相当于得到了能同时度量其它两个线段的线段。熟悉数论的同学一下就明白了这就是欧几里德的辗转相除算法求最大公约数。第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。第一次数学危机 的根结就在于，古希腊人理所当然地相信能同时度量其它两个线段的线段(“公度单位”)必定存在。Hippasus发现了反例，据推测，Hippasus画了这么一张图(图1): 现在看他怎么解释，在图中的BC和BD之间进行辗转相除为什么永远不能停止。把BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC(??EDF为等腰直角?且?BEF??BCF)。接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了。现在轮到DE和DF之间辗转相除，而它们是一个新的正方形的边和对角线，其比例正好与最初的BC和BD相当。于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去(图2)。最后的结论用我们的话说就是，不存在一个数x(公度量)使得BC和BD的长度都是x的整倍数。此种情况下，存在没有公度的线段，这，不是必定存在能同时度量其它两个线段的线段。 一个正方形的对角线跟这个正方形的边，这两条线段之比没法表示成两个整数的比，也就是说，找不出一条线段既能恰好量尽正方形对角线，又能恰好量尽正方形的边，这就叫不可公度(或者叫不可通约)。 事物是复杂的，看待问题的角度，思考问题的出发点(基点)不同，导致人们认识问题的视野把握解决问题的水平不同。 实际上，有理数和无理数的英文原名为“rational number”和“irrational number”,把它们叫做“比数”和“非比数”可能更为恰当，也更能体现它们本身的性质。 无理数是无限不循环小数，无理数的个数远大于有理数的个数。 证明根号2是无理数 假设是有理数，即，其中p和q是互素的整数，于是p=q 22两边平方得:P=2q 22于是P是一个整数的2倍，所以P必须是偶数，从而a也必须是偶数。令p=2r，这时 22上面最后一个等式就变成 4 r=2 q 22即 2 r= q 2由此可知，q是偶数，从而p与q均为偶数，这与我们的假设p与q互素相矛盾。因此 是有理数的假设不成立，也就是说是无理数。