平方根 算术平方根 立方根平方根算术平方根 立方根三说
王峰
一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要
1. 平方根、算术平方根的概念与性质
如果一个数x的平方等于a(即),那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根),记作:,这里a是x的平方数,故a必是一个非负数即;例如16的平方根是?4,从定义还可得出:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根只有一个0,即为它本身。 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,表示为,例如16的算术平方根是,从定义中容易发现:算术平方根具有双重非负性:?;?
。
2. 平方根、算术平...
平方根算术平方根 立方根三说
王峰
一、平方根、算术平方根、立方根
概要
1. 平方根、算术平方根的概念与性质
如果一个数x的平方等于a(即),那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根),记作:,这里a是x的平方数,故a必是一个非负数即;例如16的平方根是?4,从定义还可得出:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;负数没有平方根;0的平方根只有一个0,即为它本身。 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,
示为,例如16的算术平方根是,从定义中容易发现:算术平方根具有双重非负性:?;?
。
2. 平方根、算术平方根的区别与联系
区别:?定义不同;
?个数不同;
?表示方法不同;
?取值范围不同:平方根可以是正数、负数、零,而算术平方根只能取零及正数,即非负数。
联系:?它们之间具有包含关系;
?它们赖以生存的条件相同,即均为非负数;
?0的平方根以及算术平方根均为0。
3. 立方根的定义与性质
如果一个数x的立方等于a(即),那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根),记作:。
立方根的性质:正数的立方根是正数,0的立方根是0,负数的立方根是负数。 二、解题中常见的错误剖析
例1. 求的平方根。
错解:
的平方根是
剖析:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,而是一个正数,故它的平方根应有两个即?3。
求的算术平方根。 例2.
错解:
的算术平方根是3
剖析:本题是没有搞清题目表达的意义,错误的认为是求9的算术平方根,因而导致误解,事实上本题就是表示的9的算术平方根,而整个题目的意义是让求9的算术平方根的算术平方根。
,而3的算术平方根为,故的算术平方根应为。仿此你能给出的平方根的结果吗,
三、典型例题的探索与解析
例3. 已知:是算数平方根,是立方根,求的平方根。
分析:由算术平方根及立方根的意义可知
联立<1><2>解方程组,得:
代入已知条件得:
所以
故M,N的平方根是?。
例4. 已知,求的算术平方根与立方根。
分析:由已知得
联立<1><2>解方程组,得:
所以
因而的算术平方根与立方根分别为。
例5. 若一个正数a的两个平方根分别为和,求的值。 分析:由平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数,因而可构造方程
,解得
从而
评注:本题利用平方根的性质,构造一元一次方程,先求出其平方根,再进一步求出a,解法可谓简捷明了,令人耳目一新。事实上方程思想是初中阶段一种重要的数学思想方法,应引起同学们高度重视。
例6. 比较的大小。
分析:要比较的大小,必须搞清a的取值范围,由知,由知,综合得,此时仍无法比较,为此可将a的取值分别为 ?;?;?
三种情况进行讨论,各个击破。
当时,取
则,显然有
当时,
当时,仿?取特殊值可得
评注:本题的解答用到了分类讨论的思想,所谓分类思想就是根据问题的需要将涉及的对象按一定的
分成若干类,然后再逐类讨论求解的思维方法。分类要遵循三条原则:
?标准统一;
?任何两种情况不重复;
?每一种情况都不能遗漏。
例7. 已知有理数a满足,求的值。 分析:观察表达式中的隐含条件,被开方数应为非负数即,亦即,故原已知式可化为:
例8. 若x、y、m适合关系式
,试求m的值。 分析:观察等式的右边的两个表达式的被开方数互为相反数,再结合只有非负数才有算术平方根,因而必有
所以。原已知式可化为:
再变形得:
将代入(*)得:
由算术平方根的非负性,再根据“若干个非负数的和为零,则其中每一个非负数均为零”,可得
解这个方程组得:
评注:抓住题目中隐含的算术平方根具有双重非负性:?;?
是解决此类问题的关键。
例9. 有理数a、b、c在数轴对应点如下图所示,化简。
分析:根据数轴上的点表示的数,右边的总比左边的数大可知:
再结合算术平方根应为非负数,因而
原式
评注:本例借助以形(数轴)辅数(确定的符号)的方法解题的,是数形结合思想的具体体现。所谓数形结合思想就是在已知条件下建立数和形之间的关系,以形辅数,以数定形,利用数、形的相互关系来解题的思维方法。
例10. 借助计算器计算下列各题:
(1)
(2)
(3)
(4)
仔细观察上面几道题及其计算结果,你能发现什么规律,你能解释这一规律吗, 分析:利用计算器计算得:
(1)
(2)
(3)
(4)
观察上述各式的结果,容易猜想其中的规律为:个1与n个2组成的数的差
的算术平方根等于n个3组成的数。
即
解释理由如下:
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