用空间向量求夹角专题

用空间向量求夹角专题 专题一,利用空间向量求夹角专题 正阳一高二年级数学组 一、 求异面直线所成的角 ,,,,分别在直线上取两个定向量则异面直线所成的角等于向量m,na,b,m,n,a,b,,,,,, ||ab,所成的角或其补角,则 ,,,,coscos,,, ||||ab, abab,,, 0特殊情形,, 即异面直线a垂直于b。 评注,应用空间向量法解此类题避开了作平移及复杂的逻辑推理,只须求出异面直线所在的向量坐标,应用向量内积即可求夹角,然后利用公式求解异面直线所成的角。 【例1】如图,正方体ABCD—ABCD中,求异面直线AC与BC的夹角 11111 ,, 二、求直线与平面所成的角 ,B1n ,anR,,,,,,(0)且特殊情形,当,则直 A L,, 线a与平面垂直。 AB一般情形,在直线上取定,或与直线 L ,,,,, ,ABn,a,ncos,，共线的,,求平面的法向量,如图所示,,再求 ,,,,,, ||||ABn,,,,,, ||ABn,sincos,,,,,则 1,,,,,,cos ||||ABn, ,,,,,,,,,,,,,, ,注,,且 ，，,BAn,,,,，,180，，,ABn,,11 评注,求线面角关键在于,找到平面的一个法向量,法向量与直线所在的向量夹角的互余的角,即为所求的角。 (如何求平面的一个法向量): 例2: 如图，在正方体ABCD-ABCD中G、E、F分别 1!11 为AA、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。 1 11解:以D为原点建立右手空间直角坐标系，则E(1，,0) 、F(，1,0) 、 22 11111z GE,(0,,,)FE,(,,0)G(1,0，)由此得: 22222 设平面的法向量为 n,(x,y,z)DC 1 1 BA由,及,可得 nGEnFE 1 1 11,G n,GE,y,z,0,,22x,y,D y C ,, ,11z,yE F ,,n,FE,x,y,0,A B 22,图3 x 令y=1取平面的一个法向量为 n,(1,1,1) 评析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量(教简单的)即可。 ,【例3】如图,在三棱椎P-ABC中,平面ABC,D,E,F分，,BAC90,PA, 别是棱AB、BC、CP的中点,AB=AC=1,PA=2, ,?,求直线PA与平面DEF所成角正弦值的大小, 求二面角的大小 一. 利用法向量求二面角的大小的原理: ,设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向,,l,,,,,n,n12 量 的夹角为，则有(图1)或 (图2) ,,，,,,,,,n,n12 ω , n2 n1 n1 , α α θ θ l l β β 图1 图2 n2 基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角(可根据图形来判断二面角的平面角是钝角还是锐角来和所求法向量的夹角余弦值的正负来进行比较来确定是相等还是互补。 当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时, 通过判断法向量的方向来求解二面角. 原理 首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系: 如上图6所示，当我们把法向量控制成“一进一出”， xoy,yoz,xoz此时两法向量在三个坐标平面的投影也 ,,,,, 可以看成是“一进一出”，这时不难得出nn,的夹角 12,, n1就是二面角的大小，反之就不是。 ,,,其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想 n2 图6 要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢, ,如图7所示:平面ABC的法向量 n z,, 若要法向量的方向“向上”,可设,或 nn(x,y,1), n,,A ,,其中>0;若要法向量的方向 nn(x,y,z)z00 ,, “向前”,可设,或,,其中 nn(x,y,z)(1,y,z)0 ,, ;若要法向量的方向“向右”，可设, nnx,00o , yC 或,,其中 n(x,y,z)y,0(x,1,y)00 所以，只要我们判断两个法向量的方向是 xB 图7 “一进一出”，那么所求的二面角的平面角就等 于两法向量的夹角，如果是“同进同出”， 那么 所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法向量求二面角就可以做到随心所欲。 【例4】如图,在正三棱柱ABC—ABC中,D,E分别是棱BC、CC的中点,1111ABAA,,2, 1 BEAB,,?,证明,, 1 BABD,,,?,求二面角的大小, 1 ABCABC,【例5】如图，正三棱柱的所有棱长都为 111 A A1D2CC，为中点( 1 AB?ABD(?)求证:平面; 11 C CA,AB,C(?)求二面角平面角的余弦值; 111D B B1