[中学]尺规作图三等分任意角和构造正十七边形

[中学]尺规作图三等分任意角和构造正十七边形 尺规作图三等分任意和构造正十七边形 饶剑明 摘要:将角的等分问题转化为线段的等分问题，从而实现尺规作图的任意等分任意角。对线段的任意等分是很容易做到的，就是根据平行线间线段对应成比例。只要将角的等分转换成线段的段分问题就自然解决了，我们知道，角和线的关系在圆中可以实现，在一个圆中等角对应的弦长相等。从而实现角的三等分和正十七边形的尺规作法。 关键词:三等分角 平分线 圆弧 正十七边形 一、任意角的三等分 ,，作角的平分线。半径为的圆弧，所对的弦长为 设角为,,a2 ,Ma,2sin 14 ,角所对的弦长 4 ,Ma,2sin 28 ,角所对的弦长为 3 ,Ma,2sin。 36 42MMM,, 23133 42,sin,,,MMM,,由于当很小时有，即有。 23133 2,,4,sin()sin()sin()当取不同值时，和的近似值如下: ,34638 1111可以看出利用会比更为精确，但在操作上会更为方便。从数据上可以看出，锐角用4222 ,1就足够用了，在操作上也得到同样的结果。但角度大于是就最好使用了。由于尺规作42 图本身在操作上就存在误差，所以这样的误差是允许的。利用几何画板完全按尺规作图的步 42MM,骤可以看到当角为锐角时有，即两个点完全重合。 2133 操作步骤如下: 1. 对角平分 , 1,2. 取上作图时角所对的弦长2 AB 3. 对线段AB三等分 24.取线段AB的长线段AC 3 4. 以线段AB为半径，在圆弧等分 AB 这样就对弧进行了三等分，标记三等分点，然后与顶点O连接就对角三等分了。, 除去多余的痕迹 用这样的方法可以对任意角任意等分。 当角为锐角就一次性完成了操作。 , 4,asin()当角是钝角是，就要用四分角去作图了，且从理论上要比稍微少一点，尤其,38 是当接近平角时。当角大于,时，就平分其补角然后反向延长。 ,, 24MM当一次实现不了的时候可以在和之间取值，每次折中而逼近，一般最多在两到1233 三个循环操作能完成。 ,另外一个解决方案就是当角很大时(接近)，可以对角六等分，基数值8或4，这样相当于在锐角中作三等分。这样就可以一次性完成操作而没有必要用逼近的方法试取。 要更为精确的可以是12等分，24等分……一直当认为为小角为止。 二、正十七变形的作法 利用相同的原理可以作出正十七边形，确切的说是任意正多边形。 ,,,十六分一个周角后得到的是，半径为的圆对应的弦长为，可以看成Mr,2sinr16816 16是一个小角，则有十七分所对的弦长 MM',17 步骤如下: 1. 作圆 2. 对圆O进行16等分 13. 取所对的弦长16 AB 4. 对线段AB进行17等分 165. 取线段AB的的长度线段AC 17 以AC为弦长等分圆O 除去多余的痕迹，顺次连接交点就得到了正17边形 这样就得到了一个正十七边形。当这个正十七边形很大，误差可能会大一点，要更为精确， ,,可以对其三十四等分，取基数32，这样做结果就很精确了，因为和都是很小的角且3234两角度相似，误差差不多，这样两个的实际误差会更小，从而达到近似精确的结果。 n用这样的方法得到的正多边形变数越多越，且使用的基数是中与要作边数最接近的2 一个。例如，17我选16，31我选32.但是为了方便不一定取那么多。如果为了精确，17也可以选32。