混合连接函数模型及其在风险度量中的应用

混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 摘要 本文在基金业迅猛发展的背景下提出基于 GARCH-t 及混合连接函数模型度 量基金投资组合风险值VaRValue-at-Risk的方法。该方法的优点在于:摒弃 了以往 VaR 测算中常用的正态性假设,简化了多维函数的计算,令模拟更贴近 实际。准确地刻画出总体风险和个体风险的关系。充分考虑到金融数据厚尾分 布的性质,灵活运用及扩展了连接函数模型,有效捕捉尾部信息。 本文首先介绍连接函数模型的定义及性质,给出椭圆族连接函数和阿基米 德族连接函数的表达式及模拟散点图;充分利用阿基米德族连接函数尾部依赖 性的特点,建立混合连接函数模型,运用解决复杂极大似然估计的EM算法进行 参数估计,并采用 AIC 准则进行模型选择。而后介绍连接函数在风险度量中的 应用,以 GARCH 模型拟合各资产收益率分布,以收益率残差分布为边际分布, 用连接函数模型连接为收益率的联合分布,运用蒙特卡罗模拟拟合 VaR。最后 将 GARCH-Copula 模型应用于基金风险评价,针对 2005年初发行的博时主 题 行业基金及景顺鼎益基金进行实证分析,结合基金投资组合时变性的特点分 段 计算 VaR值,与 t 连接函数模拟结果进行比较,评价模型优劣。根据拟合结 果, 得出以下结论:运用混合连接函数模型拟合的 VaR 值与 t 连接函数及 Gumbel 连接函数模型所得结果基本相同,但混合连接函数可以更好地给出数据的尾 部 结构。 关键词:连接函数,混合连接函数,EM 算法,AIC,VaRAbstract This paper introduces a GARCH-Mixed Copula model for VaRValue-at-Risk estimation with the background of high development in Chinese fund market. The advantage of this approach is significant. It abandons the assumption of multivariate normality in former research, simplifies the multivariate function’s computation and makes the simulation much closer to the reality. The relationship between the whole and the individual risk is also accurately calibrated. It flexibly applies and expands copula models to catch tail information while fully considering the financial data's fat tail traitsThe paper’s structure is as follows: the first three chapters introduce the definition and properties of copula model and its classifications as elliptical copulas and Archimedean copulas with expressions and simulation scatter plots. Then it takes advantage of the tail traits of the Archimedean copulas to construct mixed copula models. The EM algorithm which is always used in complicated MLE and Akaike information criterionAIC are applied in estimating the parameters and model selection. The next two chapters introduce the application of the copula models in risk measurement. GARCH is used to model the asset return series. The residual distributions are taken as the marginal distributions and the copula models are taken as union distributions. Finally I use Monte Carlo method to simulate VaR. At the end of my paper, I choose two stock funds which were both issued at the beginning of 2005 to apply my method and compute VaR in different times. Based on the results, I get the conclusion that the values of VaR are nearly the same in t and mixed copula models. But the mixed copula model can give the tail structure which is superior to t copulaKey words: Copula,Mixed Copula,EM Algorithm,AIC,VaR 混合连接 函数模型及其在风险度量中的应用 目录 第1 章 绪论.1 1.1 选题背景及现实意义1 1.2 文献综述 2 1.2.1 国外研究成果. 2 1.2.2 国内研究成果. 3 1.3 论文创新点及框架. 4 1.3.1 论文创新点 4 1.3.2 论文框架4 第2 章 连接函数模型及混合连接函数模型 5 2.1 连接函数模型5 2.1.1 连接函数定义及性质. 5 2.1.2 连接函数族 6 2.2 混合连接函数模型 10 第3 章 参数估计及模型选择准则12 3.1 极大似然估计. 12 3.2 二步法. 13 3.3 EM算法 13 3.3.1 EM算法在混合密度函数极大似然估计中的应用. 15 3.3.2 二维混合连接函数数据模拟 17 3.4 模型选择17 第4 章 连接函数在风险度量中的应用.18 4.1 VAR简介 18 4.2 VAR测算方法18 4.3 基于GARCH-COPULA模型的VAR测算 19 4.3.1 边际分布的确定. 19 4.3.2 连接函数的确定. 20 1 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 4.4 模拟步骤20 第5 章 基金风险的实证研究及模型比较..22 5.1 基本数据描述. 22 5.1.1 博时主题行业股票证券投资基金简介. 22 5.1.2 景顺鼎益基金简介22 5.1.3 数据处理. 23 5.2 模型拟合及VAR测算. 23 5.2.1 博时主题行业基金23 5.2.2 景顺鼎益基金 27 5.3 小结 31 第6 章 结论32 6.1 本文总结32 6.2 本文评价32 6.2.1 本文优点. 32 6.2.2 值得继续研究之处33 参考文献35 附录..37 致谢..50 图表目录 图 1 正态连接函数1000次模拟散点图7 图 2 t连接函数1000次模拟散点图..8 图 3 Clayton连接函数1000次模拟散点图.9 图 4 Gumbel连接函数1000次模拟散点图..9 图 5 混合连接函数1000次模拟散点图..11 2 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 表格目录 表 1 混合连接函数EM算法模拟17 表 2 博时主题行业基金GARCH-t拟合2005.1-2006.6. 24 表 3 t-Copula参数估计值2005.1-2006.6,博时24 表 4 Gumbel参数估计值2005.1-2006.6,博时. 25 表 5 Mixed-Copula参数估计值2005.1-2006.6,博时. 25 表 6 各时段VaR模拟值2005.1-2006.6,博时25 表 7博时主题行业基金GARCH-t拟合2006.7-2007.12. 26 表 8 t-Copula参数估计值2006.7-2007.12,博时. 26 表 9 Gumbel参数估计值2006.7-2007.12,博时 27 表 10 Mixed-Copula参数估计值2006.7-2007.12,博时27 表 11各时段VaR模拟值2006.7-2007.12,博时 27 表 12 景顺鼎益基金GARCH-t拟合2005.1-2006.628 表 13 t-Copula参数估计值2005.1-2006.6,景顺. 28 表 14 Gumbel参数估计值2005.1-2006.6,景顺 28 表 15 Mixed-Copula参数估计值2005.1-2006.6,景顺 29 表 16各时段VaR模拟值2005.1-2006.6,景顺. 29 表 17景顺鼎益基金GARCH-t拟合2006.7-2007.12. 29 表 18 t-Copula参数估计值2006.7-2007.12,景顺 30 表 19 Gumbel参数估计值2006.7-2007.12,景顺30 表 20 Mixed-Copula参数估计值2006.7-2007.12,景顺30 表 21各时段VaR模拟值2006.7-2007.12,景顺 31 3 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 第1章 绪论1.1 选题背景及现实意义 随着中国金融市场的日益成熟完善,自1998年起政府开始大力发展基金市 场的十年间,基金业取得了空前的发展,以一组数据为例:1998年,基金市场 规模仅100多亿;至2003年底,上证指数1490点,同期基金市场规模为1646 亿元;2004 年底,上证指数 1260 点,同期基金市场规模为 3200 亿元;2005 年 底,上证指数1000点,同期基金市场规模为5000亿元;2006年底,上证指数 2600 点,同期基金市场规模达8000亿元。而2007年更是基金业迅猛发展的一 年:上半年上证指数在4300点时,同期基金市场规模为17900亿元;截至9月, 基金规模已达30000亿元。但是,基金规模的迅速扩大也为市场带来了不稳定因素。2007年,在股票 市场形势大好的环境下,基金公司纷纷将资金转向风险收益极高的股票型基金。 2007 年上半年,338 只基金中有三分之二以上是股票型基金,其余部分混合型 基金股票的持仓比例亦在80%以上。众多基金公司在选择投资组合时也存在一定 投机心理。在股市经历了 5.30 及 2008 年年初开始的连续下跌后,众多风 险暴 露无遗。所以,如何控制以及度量基金风险成为当务之急。 目前,国际上用于评价投资组合风险的主流方法为J.P Morgan提出的VaR 方法。随着模型方法的不断发展演深,度量 VaR 的方法已经有了长足的进步, 从最初较粗糙的非参数历史模拟法,到后来较精确的参数模拟方法。近年来, 1 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 连接函数技术的出现又将VaR的测算推向了一个新的阶段。 连接函数具有可以将多个随机变量的联合分布用边际分布表示出来的优良 性质。每只金融资产的价格变化是边际分布,而投资组合的风险就是联合分布, 连接函数可以准确地刻画出总体风险和个体风险的关系。而且,连接函数摒弃 了VaR测算中常用的正态性假设,简化了多维函数的计算,令模拟更贴近实际。 经过研究发现,已有众多学者利用适合金融数据的厚尾 t 连接函数对 VaR 进行了测算,但尚未有国内学者对混合连接函数模型做出深入探讨并将其应用 于实证分析。因此,本文结合连接函数及混合连接函数模型,将 VaR 方法应用 于基金市场风险的研究,以期能提供一定有价值的测量基金风险的方法。 1.2 文献综述1.2.1 国外研究成果 1959 年,Sklar 首次建立连接函数理论并提出 Sklar 定理,搭建了联合分布 函数与边际分布连接的桥梁。 Genest & Rivest1993详细介绍了基于经验值 Kendall’s tau的二元阿基米德 连接函数的估计方法和步骤,解释该方法为何为矩估计方法,并给出连接函数 模型参数的置信区间。 Oakes 1994, Genest Ghoudi & Rivest 1995 以及 Shih & Louis 1995 提出 针对半参数多元连接函数模型的两步法极大参数估计。Chen & Fan 2002建立 起两步法极大似然估计值的渐进性质。 Nelson1999系统总结了连接函数领域的主要研究成果:相关性研究,相关 程度的度量以及多元联合分布函数的构建。 Embrechts1999首次将连接函数应用于金融领域的研究,随后,在 2005 年他与 McNeil,Frey共同出版的“Quantitative Risk Management”一书中详述 了如何利用连接函数模型对风险因子随机向量的相关结构进行建模,以及连接 2 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 函数在极值理论,信用风险管理中的应用。 Breymann2003表明:t 连接函数可以更好地捕捉金融数据中常见的相关性 极值现象,因此,其拟合优度优于高斯连接函数的拟合优度。 Dias & Embrechts 2003利用 AIC准则进行连接函数模型选择。 Chen & Fan2005提出了半参数动态连接函数模型,即边际分布是经验分 布,连接函数模型为参数模型;并在随后的文章中给出了适合该模型选择的 伪 似然比检验。 Chen & Fan2005,Patton2004,2005和 Fortin,Kuzmics2002利用连接 函数发展了金融收益率数据时间序列的动态模型。 1.2.2 国内研究成果 目前,国内学者亦对连接函数进行了深入广泛的研究。2002年,张尧庭教 授首次将连接函数引入中国,简明扼要地介绍了连接函数的定义,性质,探讨 了连接函数在金融研究中的可行性和重要性。 韦艳华,张世英2004建立Copula-GARCH模型,对上海股市各板块指数收 益率序列间的条件相关性进行分析。结果表明:不同板块的指数收益率序列 具 有不同的边际分布,各序列间有很强的正相关关系,条件相关具有时变性,各 序列间相关性的变化趋势极为相似。 刘国光,许世刚2004基于连接函数方法对深圳A股,B股投资组合风险值 进行实证分析:采用最大似然估计方法对连接函数进行估计,通过蒙特卡罗 估 计VaR。结果表明,基于连接函数方法估计的VaR比方差协方差方法估计的VaR 更接近实际数据。 近年来,国内一些优秀的博士生硕士生也在连接函数领域做出了 比较出色的研究。例如上海财经大学金融学院的王红莲,暨南大学的刘汉伟等, 本文作者在进行论文写作过程中,也对上述同学的文章进行了参考研究。 3 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 1.3 论文创新点及框架1.3.1 论文创新点 本文的创新之处在于:在基于其他学者对连接函数模型较成熟的研究成果 上,根据阿基米德连接函数族的性质引入混合连接函数模型,并利用处理复杂 极大似然估计的EM算法进行模型参数估计。首次将连接函数及混合连接函数模 型应用于基金市场的研究,充分考虑到基金投资组合时变的特点,分段计算几 只代表性股票型基金的 VaR 值,比较模型,衡量模型的优劣。最终得出混合模 型要优于单连接函数模型的结论。 1.3.2 论文框架 本文第一部分绪论主要介绍选题目的及现实意义,总结连接函数理论的国 内外研究及应用发展情况以及本文的思路,框架,创新之处。第二章首先介绍 连接函数的定义及性质,给出椭圆连接函数族和阿基米德连接函数族;其次重 点引入混合连接函数的定义,进行模拟。第三章介绍连接函数模型估计及参数 选择问题,将 EM 算法应用于混合连接函数模型的参数估计。第四章给出 GARCH-Copula 模型及 VAR的计算过程。第五章将 GARCH-Copula 模型应用于 基金风险评价,针对 2005年初发行的 2只股票型基金进行实证分析,评价模型 的优劣。第六章为总结。 4 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 第2章 连接函数模型及混合连接函数模型2.1 连接函数模型 2.1.1 连接函数定义及性质 d 定义 2.1:一个 d 维的连接函数是指定义在[0,1] 上,具有标准均匀边际分布的 分布函数。连接函数具有以下三个性质: (1) 对于每一个元素u ,Cu ,.,u 是递增的。 i 1 d (2) 对于所有id ? 1,. ,u ?[0,1],Cu 1,1, ,1,,1 u i ii d (3) 对于所有 aa ,, , bb ,, ?[0,1] ,ab ? ,我们有 1 d 1 d ii 22 ii + 1 d. ?? 1 Cu ,,u 0, j ? 1,, d ,u a ,u b 。 ?? 1i di jj jj 1 1 2 d ii 11 1 d 定理2.1Sklar定理:设 F为具有边际分布FF , ,F 的联合分布函数,存在 12 d d 连接函数C :[0,1] ?[0,1],使得对于 R [, ?? +?]中所有的 x ,, x , 有 1 d FC x ,,xx F ,,F x 11dd 1 d 如果边际分布函数FF , ,F 是连续的,那么C是惟一的。否则C由FF , ,F 的 12 d 12 d 范围惟一确定。反之,如果函数C是连接函数,FF , ,F 是一维分布函数,那 12 d 么F是具有边际函数FF , ,F 的联合分布函数。 12 d 5 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 2.1.2 连接函数族 连接函数族主要由椭圆族Elliptical Copulas连接函数和阿基米德族 Archimedean Copulas连接函数构成。椭圆族连接函数主要包含正态分布及 t分 布连接函数;阿基米德族函数主要包含Clayton连接函数,Gumbel连接函数 以及 Frank连接函数。 1 椭圆族连接函数 ?1 设 F 为一个椭圆分布的多元累积分布函数, F 表示其边际分布, F 是边 i i 际分布函数的逆函数分位数函数。那么由 F 确定的椭圆连接函数为:? 11 Cu,KK ,u FF u, ,F u 11dd1 d 椭圆族连接函数的应用比较广泛,主要原因是椭圆族连接函数的分布性质比 较 容易掌握,而且模拟比较容易实现。由于椭圆分布为对称分布,因此,椭圆族 连接函数具有对称的尾部相关性。 ? 正态连接函数 设 X ,XX K, 服从多元正态分布,当且仅当其边际分布函数FF ,, K 皆 1 d 1 d 为正态分布时,则存在唯一的连接函数即:正态连接函数,使得: N 11 Cu,KK ,u Φ φφ u, , u Rd11R d 其中: Φ :标准多元正态分布的分布函数,其相关系数矩阵为 R R ?1 φ :单维标准正态分布函数的反函数 当 d 2时,连接函数的形式为: 22 11 ΦΦ uu 1 ss?+ 2 ρss 12 N 112 2 Cu,u; ρ? exp dsds 12 12 ?? 2 2 ?? ?? 21ρ 2πρ 1 其中: ρ 为两随机变量的线性相关系数。二元正态连接函数两侧尾部相关 系数 均为0。图1给出了 ρ 0.5时的二元正态连接函数1000次模拟的散点图。 6 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 图 1 正态连接函数1000次模拟散点图 ? t连接函数 设 X ,XX K, 服从多元t分布,自由度为 v,均值向量为 μ 当 v 1时, 1 d 协方差矩阵为vv / ?? 2 当 v 2时,即: v X+ μ Z S n 2 其中: μ ? R ,S χ ,独立随机向量ZN 0, ?。向量 X 的连接函数就 是自 v d 由度为 v的t连接函数。它的表示形式为: td11 Cu,KK ,u t t u, ,t u vR,1 d v,R v 1 v d d 其中:R ? / ? ? ,ij, ?1, K,d,t 是随机向量 vZ S 的分布函数,t ij ij ii jj vR , v d 是t 的边际分布函数。当 d 2时,t连接函数的表达形式为: vR , 22 11 tu t u 1 ss?+ 2 ρss νν12 t ?+ 2 ν /2 112 2 Cu ,u ;νρ , ? exp dsds 12 12 ?? 2 ?? ?? 2 νρ 1 2πρ 1 t连接函数存在对称的尾部相关性,并且其尾部相关性随着相关系数和自由 度的 增大而增大。图 2-2 给出自由度为 5,变量间线性相关系数为 0.5 时的二 元 t 连接函数1000次模拟散点图。 7 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 图 2 t连接函数1000次模拟散点图 2 阿基米德族连接函数 阿基米德族连接函数是通过一个完全单调函数构造而成的,其表示形式为:1 Cu,KK ,u+ φφ u+φu 11dd ?1 其中: φ 是 φ的逆函数。 通过阿基米德族连接函数的形式可以知道,我们只要知道单调函数 φ的表 示形式,就可以确定一种相应的连接函数形式。不同的单调函数的选择,会产 生不同类别的阿基米德族连接函数。 ? Clayton连接函数θ 当?θ tt? 1/ 1时,所得的连接函数定义为Clayton连接函数。 θ 二维Clayton连接函数的表达式为: CL θ θθ?1/ 0 θ ? Cu,u+ u u?1 , 。 θ 12 1 2 图3给出了 θ 2时二元Clayton连接函数1000次模拟的散点图。 8 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 图3 Clayton连接函数1000次模拟散点图 ? Gumbel连接函数: θ 当tt ? ln 时,所得的连接函数定义为Gumbel连接函数。 θ 二维Gumbel连接函数的表达式为: Gu θ θθ 1/ Cu ,u ? exp ? lnu + ? lnu ,1 ? θ ?。 θ 12 1 2 其中: θ 影响着变量uu ,, K 的相关程度,当 θ 1时,变量之间不相关, 当 θ ?? 1 d 时,变量之间完全相关。图4给出了 θ 2时二元Gumbel连接函数1000次 模拟 散点图。 图4 Gumbel连接函数1000次模拟散点图 9 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 2.2 混合连接函数模型 从上述连接函数的分布性质及散点图中可以看出:不同类型的连接函数对 尾部相关性的刻画是不同的:椭圆族连接函数具有对称的尾部相关性,而Gumbel 连接函数和Clayton连接函数具有非对称的尾部相关性,Gumbel连接函数强调随 机变量间具有更高的上端尾部相关性,而Clayton连接函数则强调随机变量间具 有更高的下端尾部相关性。在以往的金融分析中,椭圆族连接函数由于其简单 的性质及对称的尾部相关性得到较广泛的应用。经过大量实证表明:金融数据 具有厚尾性质,那么,椭圆族连接函数是否可以准确刻画数据的厚尾性质及尾 部结构呢?能否提出更好的连接函数模型来拟合金融数据?在这里,我们引入 混合连接函数。 定理 2.2:2 个连接函数的凸线性组合依然是连接函数,即: Cu,KK u; θ+ λθ C, u u; 1?λCu,Ku;θ, 11dd1 1 21d2 相应的密度函数为: cu,KK u; θ+ λθ c, u u; 1?λcu,Ku;θ。 11dd1 1 21d2 证明见:Nelson[2006],p.72-73。 本文均以 Clayton及 Gumbel 混合连接函数为例。混合连接函数的统计学意 义可以被解释为如下形式:设C 为Clayton连接函数,C 为Gumbel连接函数, 1 2 随机变量XB in1, λ,即Bernoulli分布,当 λ 1时,混合连接函数为Clayton 连接函数,当 λ 0时,混合连接函数为 Gumbel 连接函数。那么,我们可以看 出:若 λ越接近于1,则混合连接函数更多地具有Clayton连接函数的性质,即 下尾相关性;若 λ越接近于 0,则混合连接函数更多地具有 Gumbel 连接函数的 性质,即上尾相关性;若 λ接近于0.5,则混合连接函数具有对称的尾部相关性。 因此,混合连接函数与椭圆族连接函数及阿基米德族连接函数相比,都具 有显而易见的优点。比如,与对称厚尾 t 连接函数相比,该模型在拟合真实数 据时可以去除掉具有对称性尾部结构的假设,使模型更为真实。该模型可以通 过改变 λ的值而改变尾部结构,因此,它更为灵活。 10 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 图5为Clayton和Gumbel混合连接函数 λ 0.51000次模拟散点图。从散 点图中可以看出,混合连接函数具有金融数据常见的对称的尾部依赖性及厚 尾 的性质。图5 混合连接函数1000次模拟散点图11 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 第3章 参数估计及模型选择3.1 极大似然估计 Τ 考虑随机向量XX , K,X ,设 X 具有一元边际分布Fx, δ , 1 n Xj j j j 1, Kd ,根据Sklar定理,存在属于分布族CC , θ ?Θ的连接函数,使 得 θ 随机向量 X 的联合分布可以被表示为以下形式: FC xx ,, F x ; δ ,,F x ;δθ ; 1111 dd dd 进行微分,得到密度函数: d fx ,KK x ; δ , δθ , ? cF xx ;δ ,,F ;δ ;θ f x ;δ 11dd 1 11 d dd jjj j 1 dCu, Ku 1 d 这里,定义cu, Ku 为连接密度函数。 1 d uu K 1 d N Τ Τ+ k 1 给定观测样本 x , x ,xx K 和参数向量αδ? ,Kδ,θ ,似然 tt 1 tt 1 dt 1 d 函数为: N Lx ; α ,KK x ?fx , x ;δδ ,K ,θ, 11 Ntdt1d t 1 相应的对数似然函数为: NNd lx ; α ,KK x + logcF x ;δδ , ,F x ; ;θ logfx ;δ 。 11 NX?? ,t1Xd,td?jj,tj 1 d tt 11j1 通过极大化对数似然函数,可以得到相应的模型参数。 12 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 3.2 二步法 从以上对数似然函数形式可以看出:连接函数建模过程中的参数估计可以 被分为两部分:各边缘分布的参数估计及连接函数参数估计。为了简化计算, 本文采用 Oakes 1994,Genest Ghoudi & Rivest 1995 以及 Shih & Louis 1995 提出的针对半参数多元连接函数模型的两步法进行参数估计,即,首先对边际分布联合密度函数进行极大似然估计,得到参数 α 的估计值 α ,δδ K, ;其 1 d次,将估计值 α 代入连接函数联合密度函数,极大化后得到连接函数参数估计值 θ 。 nd 1α arg [ logfx ; δ ] α ?? jj,t j n tj 11 n 1%%? θ arg [ logcF X ;δδ , KF X ; ;θ] θ ? 11td 1 dtd n t 13.3 EM算法本文主要讨论混合连接函数模型的参数估计问题。考虑随机 向量 Uu , Ku,U 服从混合连接函数分布,其密度函数为: 1 d cu,KK u; θ+ αθ c, u u; 1?αcu,Ku;θ, 11dd1 1 21d2 对数似然函数为: N LU Θ | log? αc u ,KK u ;θα + 1? c u , u ;θ 11idi 1 2 1i di 2 i 1 N + log αcu ,KK u ;θα 1? c u , u ;θ , ? 11idi 1 2 1i di 2 i 1 13 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 若进行极大似然估计,需要估计的参数有 Θ , λ θθ, 。从对数似然函数 的形式 12 可以看出:由于对数项中具有和的形式,此时对其进行直接的极大化非常困 难。 所以,在这里,我们引入用于解决复杂极大似然估计问题的EM算法。 EM算法可以通过利用潜在数据扩大样本量的方法,解决具有不完全数据或 缺失数据分布的参数估计问题。EM算法主要有两种应用:第一种是数据集受调 查问题及调查过程的局限,确实存在缺失数据;第二种即为在本文中的应用, 数据本身不存在缺失问题,但可以假设其存在缺失数据,简化似然函数。 给定观测数据 X ,假定 X 为不完全数据,缺失数据为Y ,则完全数据集为: Z , XY。根据条件概率的性质,有: PZ|Θ PXY,|Θ PY|X,ΘPX |Θ。 这样就建立起了观测数据和缺失数据的联系关系。根据完全数据定义的似然函 数为: LZ |Θ LΘ|X,YPX,Y|Θ。 事实上,由于缺失数据Y 是受某未知分布决定的未知变量,此似然函数为随机 变量。EM 算法首先计算基于完全数据的对数似然 logPXY , | Θ关于Y 的期望, 即: 1ii 1 Q, ΘΘ E[logPXY , |Θ|X,Θ ]。 1 i ? 1 i ? Θ 为用于计算期望的当前参数, Θ为用于增加Q的待估参数。X 和 Θ 为 常 1 i ? 数,Y 为随机变量,由分布fY|X, Θ 所决定。所以,上式可以改写为: 1ii 1 EP [log X ,Y |ΘΘ |X , ] logPX ,y |Θf Y |X ,Θ dy。 ? yY ? 这步被称作EM算法中的E步。EM算法中的第二步,即M步,极大化第一步中 得到的期望表达式,计算新 的参数 Θ,即: ii ?1 Θ arg QΘ,Θ 。 Θ 迭代以上两步,直到收敛到固定的某个 Θ值。 14 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 3.3.1 EM算法在混合密度函数极大似然估计中的应用 给定混合连接函数概率模型: M pX|Θ α px| θ ? ii i i 1 该模型中,参数为:Θ, αKK αθ, , θ , α 1, p 是参数为 θ 的密度 函 11MM ? i i i 数。数据 X 的对数似然函数为: NM N logLX Θ | log?px |Θ log αp x | θ ij ??jij i 1 ij 11 这里,我们首先将其转化为EM算法通用形式。假设: X 为不完全数据,存在 未 N 观测随机向量:Yy , y ?1, KM ,对于任意的i,如果第i个样本来自于 ii 1 i 第 k个混合函数组成部分,那么 y k 。 i g g QL ΘΘ , log Θ |X ,yPy |X ,Θ ? y?? N N g? logαθ px | py |x ,Θ ?? yi yi i yi j j j 1 yi ?? 1 MM M N N g? L logαθ px | py |x ,Θ ?? ? ? yi yi i yi j j j 1 yy 11 y1i1 12 N MM M N M N g? L δα log px |θ py |x ,Θ ?? ? ? ? ly , l l i l j j i j 1 yy 11 y1i1l1 12 N MN M M M N g? logαθ px | L δ py |x ,Θ ?? ? ? ? ll i l l,y j j i j 1 li 11 y1y1 y 1 12 N 对于lM ?1, K, , MM M N g L δ ?py|x, Θ ?? ? ly , j j i j 1 yy 11 y1 12 N MMM M N g g ? LL py|x,Θpl|x,Θ ??? ? jj i jj ? 1, i yy 11y y1 11ii ?+1 N 15 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 M N g gg ? py|x,Θpl|x,Θpl|x,Θ ? jj i i jj ? 1, i y 1 j M g pi|x , Θ =1。 ? j i 1 因此: MN g g Qp ΘΘ , logαθ x | pl |x ,Θ ?? ll i l i li 11 MN M N g gΘ logαθ pl |x , + logp x | pl |x ,Θ ?? li ?? lil i li 11 li 1 1 上式将参数 α 与 θ 分离开来,可以对上式两项分别进行极大似然估计, 求得参 l l 数估计值。 MN g 考虑式 log α pl |x , Θ ,设拉格朗日乘数为 λ , α 的约束条件 为 ?? li l li 11 α 1,求解下列方程: ? l l MNg [ logαλ pl |x , Θ +? α 1] 0 ?? li ?lα li 11 l l 对于给定的 α ,有: j Ng [ logαλ pl |x , Θ +? α 1] 0, ?? li lα il 1 j N 1 g pl|x, Θ + λ 0。 ? i α i 1 l 对上式两边关于l求和,得, N 1 g α ?Θ pl|x, 。 li ? λ i 1 N 1 g α pl|x, Θ li ? N i 1 16 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 这即是EM算法中的E步。 3.3.2 二维混合连接函数数据模拟 以二维Clayton和Gumbel混合连接函数模型为例,模型真实参数值分别为: α 0.3,Clayton连接函数参数 θ 2,Gumbel连接函数参数 θ 3。随机 模拟 1 2 3次,每次生成100个数据,利用EM算法编程(程序见附录)估计出的模型参 数为: 表 1 混合连接函数EM算法模拟θ θ 1- α 1 2 1 1.894756 3.168294 0.716699 2 2.010977 4.694529 0.797003 3 2.027600 2.604127 0.804734 3.4 模型选择根据连接函数的性质可知,不同的连接函数具有非常迥异的依 赖结构,因 此,在进行数据拟合时,模型选择起到了至关重要的作用。本节主要介绍 Breymann,Dias & Embrechts2003运用的 AIC准则。 对于i 1, 2,令 θ 为两步法估计值,即: i n 1%%? θ arg [ logcF X ;δδ , KF X ; ;θ ] ii θ ? 11t 1ddtdi n t 1 AIC的定义为: n 22 %% AIC ? log c F X ;δδ , K,F X ; ;θ + p ii ? 11t 1ddtdii nn t 1p 为参数 θ 的维数。若 AIC AIC ,则模型 1 为最优模型,否则,模型 2 为最 i i 12 优模型。 17 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 第4章 连接函数在风险度量中的应用4.1 VaR简介 VaRValue-at-Risk,意为风险价值,是目前衡量金融投资组合风险较常用 的方法之一。其定义为在一定的持有期及置信水平下,某一金融资产或证券组 合所面临的最大潜在损失的估计值。用形式可以表示为:给定 α ?0,1,在 置信度水平 α 下,PL Δ?VaR 1? α,其中, ΔL为投资组合在一定持有期内 的损失。根据上述定义,VaR 的计算涉及 3 个因素:一是持有期的长短,这取 决于金融产品的流动性强弱;二是置信度的大小,反映了不同企业对风险的不 同偏好;三是未来资产组合价值的尾部分布特征。 4.2 VaR测算方法Τ 给定金融市场某证券投资组合 P,ww , Kw 为证券组合中各资产所占 1 d Τ 份数,PP , KP 为时刻t各证券价格,则时刻t的投资组合价值为: tt 1, d ,t dVw P ? tjj,t j 1 假设证券组合中各资产所占份数不变,定义损失收益函数: 18 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 dd d LV?V wPwP w P ?P tt++ 1,?? jjt1 jj,t?jj,t+1 j,t jj 11 j1 L为随机变量,表示相邻时间投资组合价值的变化。在研究股票价格时,通常 会考虑对数收益率 R? lnPP ln 的变化情况。将 R 的表达式代入 L,得: tt +1 t t d Lw P expR ?1 ? jj,, t jt +1 j 1 设 L的分布为: Fx PL ?x L 那么,在置信水平 α 下,投资组合的 VaR为:1 VaR α F α L 可见,若测算 VaR,必须首先确定各股票对数收益率的分布。 4.3 基于GARCH-Copula模型的 VaR测算依据金融时间序列的特点,韦艳华,张世英构建了GARCH-Copula模型,对 上海股市各板块指数收益率序列间的条件相关性进行了实证分析。本节将运用 该模型,给出VaR的测算方法。 在构造连接函数模型时,首先要确定边际分布,其次要定义一个恰当的连 接函数。GARCH-Copula 模型将 GARCH 模型和连接函数模型有机结合在一起, GARCH模型用于描述金融时间序列的边际分布,连接函数用于连接各个金融时间 序列。 4.3.1 边际分布的确定 金融时间序列具有时变,偏斜,尖峰,厚尾等特征,厚尾分布如 t 分布可 以很好的描述尖峰厚尾,而 GARCH 模型又能很好的描述金融时间序列的波 动, 19 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 一般来说,GARCH1,1-t模型就可以较好地拟合收益率的分布,因此,本文直 接采用该模型作为边际分布。该模型的表达式为: R+ μεttεζ Z ttt? 22 2 ζ + ααε +βζ?tt 01 ?1t ?1vε tv t 2ζ2 v ? tμ 为对数收益率的均值; Z 为独立,具有有限方差的严格白噪声序列,在 t GARCH1,1-t 模型中, Z 服从均值为 0,方差为 1 的 t 分布; v为 t 分布 的自 t 由度,自由度越小,分布的尾部越厚。 给定对数收益率的观测样本,rr K, ,可以得到 ε 的样本序列, ε K, ε , 1 T t 1 T 在估计出GARCH1,1-t的模型参数后,可以得到下一时刻收益率 R 的条件分 T +1 布: PR| ?r Ω P ε ?r?μζ |Ω P Z ?r?μ|Ω TT++ 11T T t+1t+1 T rrμμ ? PZt t +1 ν 22 22 α++ αε βζ α++ α ε βζ 01tt 0 1tt Ω 为到时刻t为止的信息集。 T 4.3.2 连接函数的确定 将拟合好的边际分布进行概率积分转换,转化为0,1上的均匀分布,选 择合适的连接函数模型将各边缘分布连接,进行极大似然估计,即可得到投 资 组合各股票对数收益率的联合分布。 4.4 模拟步骤T1.利用GARCH1,1-t模型拟合各股票的对数收益率序列,确定 Z 。 tt 1 20混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 2. Z 服从t 0,1分布,因此可以得到tZ,即收益率 R 的条件分布概率值, t ν ν t ttZ U0,1。 ν t 3.选择连接函数模型,采用极大似然估计方法确定模型参数 θ 。 4.根据连接函数的分布函数,用蒙特卡罗方法产生对数收益率和损失 L的 样本。 5.估计VaR值。 21 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 第5章 基金风险的实证研究及模型比较经过对基金市场的仔细研究发现,目前市场上众多收益较好且比较稳健的 基金均在 2005 年左右建仓,这是因为 2005 年时基金市场已经达到一定规模, 但股票指数还维持在较低的水平上。因此为了便于比较以及保证样本量的需求, 本文选取了2005年初发行的博时主题行业及景顺鼎益2只股票型基金为样本, 根据基金投资组合的构成形式,分时段计算VaR值,比较模型优劣。 5.1 基本数据描述5.1.1 博时主题行业股票证券投资基金简介 博时主题行业股票证券投资基金,下文中均简称为博时主题行业基金,基 金代码为160505,成立日期为2005年1月6日。该基金主要投资于股票,股票 资产占基金净值的比例范围为60%-95%;股票投资中,不低于80%的资金将投资 1 于基础设施、原材料及消费品行业所属上市公司。 5.1.2 景顺鼎益基金简介 景顺鼎益基金,基金代码为162605,成立日期为2005年3月16日。投资范围 为具有良好流动性的金融工具,包括国内依法发行和上市交易的公司股票和债 券以及经中国证监会批准的允许基金投资的其他金融工具。对于股票的投资不 1 该信息来源于天天基金网。 22 混合连接函数模型及其在风险度量中的应用 少于基金资产净值的60%,持有现金和到期日在一年以内的政府债券的比例不低 2 于基金资产净值的5%。 5.1.3 数据处理 本节主要介绍在实证分析中采用的数据处理方法。本文得到的数据最短为 半年数据,但在选取投资组合时,由于每半年数据的数据量无法满足模拟 GARCH 模型的要求,因此,本文选取每只基金在 1 年半内重复出现的 3 只股票构造投 资组合,利用该 3 只股票拟合连接函数,由于拟合连接函数与各股票的权重无 关,所以假设在1年半内,投资组合间的相关结构不变。在分段计算每半年VaR 时,将权重及每半年最初的股票价格均考虑在内,令拟合更贴近于实际。 考虑到每1年半内的3只股票构成的投资组合的交易可能存在如下的情况: 某些股票有交易数据,而另外一些没有交易数据。比如某只股票股改停牌期间 没有交易数据,而其他股票照常交易,导致样本数据组在某些天的数据不完整。 但是,在进行连接函数估计时,需要每组样本数据均要完整,因此,若某交易 日 3 只股票中任何一只股票没有交易,则把当天所有的观测数据删除。尽管处 理后的观测向量时间间隔不同,但由于假定相关结构不随时间变化,所以并不 影响对连接函数的估计。 本文所有数据均来自于天天基金网及国泰安金融数据库。 5.2 模型拟合及VaR测算 5.2.1 博时主题行业基金 1 2005.1-2006.6 根据天天基金网博时主题行业基金年