椭圆的焦点弦长公式

椭圆的焦点弦长公式 22abPQ,及其应用 222a,ccos, 通山一中 万小勇 在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢,首先我们 有命题: ac若椭圆的焦点弦所在直线的倾斜角为，、、分别示椭圆的长半轴长、短半轴,b 22abPQ,长和焦半距，则有。 222a,ccos, 上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。 ,F例1、已知椭圆的长轴长，焦距42，过椭圆的焦点作一直线交ABFF,8112 ,,，PFX椭圆于、Q两点，设,(0,,,,)，当取什么值时，等于椭圆的短PPQ1 轴长, :由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且，c,22，从而b,22，故由焦 a,4 222ab2，4，(22),42PQ,点弦长公式及题设可得:，解得222216,8cos,a,ccos, cos,,arc,,arc,，即或。 ,,2,2cos2,2cos2,2 例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F(3，1)，相应于F的准线为Y轴， ,16直线通过点F，且倾斜角为，又直线被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的ll35方程。 22(x,c,3)(y,1)，,1分析:由题意可设椭圆E的方程为，又椭圆E相应于F的准线22ab 22a162ab,c，3,为Y轴，故有 (1)， 又由焦点弦长公式有 (2),c5222a,ccos3 22222又 a,b，c (3)。解由(1)、(2)、(3)联列的方程组得:a,4，b,3，，c,1 22(x,4)(y,1)，,1从而所求椭圆E的方程为。 43 22xyxy，,1例3、已知椭圆C:()，直线:被椭圆C截得的l,,1a,b,0122abab 23弦长为，过椭圆右焦点且斜率为的直线l被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的，2225求椭圆C的方程。 22分析:由题意可知直线过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有， (1)la，b,81 22ab,4a3又由焦点弦长公式得=， (2) 因=，得，(3) ,,tan,222a,ccos,5322222又 (4)。解由(1)、(2)、(3)、(4)联列的方程组得:，，a,b，ca,6b,2 22xy，,1从而所求椭圆E的方程为。 62