有界弦自由振动问题的辛本征函数系在一致收敛意义下的完备性

有界弦自由振动问题的辛本征函数系在一致收敛意义下的完备性 年 月 ,,,:,, : 内蒙古大学学报 自 然 科 学 版 :,,,,:,,第卷 第期,,,,, ,:,,,, ::,,::,,,,,:,,,,,,,:,,:,,,,,,,,,,,,, :,,,,,,,,,,,,,,,,,,:, ,,,文 章 编 号 :,,,:,,:::),,,,,:,,:,)) 有界弦自由振动问题的辛本征函数系在 , 一致收敛意义下的完备性 ，，，陈 晓 敏 侯 国 林 程 婷 王 欣 杰 ,内蒙古大学数学科学学院 ，呼 和 浩 特 ,:,::,, ，,摘 要 针对有界弦自由振动问题导出的一个无穷维 算 子 给 出 了 其 本征函数系在一 ,,,,,,:, 致 收敛性意义下的完备性定理 基于证明的定理 ，将初始条件统一处理 ，得 到 了 方 程 ,,,,,,,:, 和弦自由振动问题的古典解 , , 关 键 词 ,,,本 征 函 数 一 致 收 敛 古 典 解 算 子,,,,,,:, ,,文 献 标 志 码 中 图 分 类 号 ,:,:,,, 引 言 ，分离 变量法是 求解某些数学物理方程的有效方法 其理论基础是相 应 算 子 本征 函数系的完备性 , ，，对 于 非 问 题 由 于 不 能 保 证 算 子 本 征 函 数 系 的 正 交 性 及 完 备 性 分离变量法就显,,,,,,,:,,,,,,) 得 ，无 能 为 力 钟 万 勰 院 士 利 用 结 构 力 学 与 最 优 控 制 相 模 拟 的 理 论 将 弹 性 力 学 问 题 与 无 穷 维 ,,,,,,,: ,〔〕,，，算 子 相 结 合 建 立 了 弹 性 力 学 求 解 新 体 系 在 新 体 系 中 无 穷 维 算子本征函数系的完,,,,,,,:, 备 性 起 决 定 作 用 , ,,,，,,，,对 于 无 穷 维 算 子 的 本 征 函 数 系 在 函 数 空 间 中 平 方 收 敛 意 义 下 ,,,,,,:, ,,,,,,×的 〔〕,),，完 备 性 已 取 得 一 些 较 好 结 果 但对于该算子的 本 征 函 数 系 在 函 数 空 间 中 一 致 收 敛 意 义 下 的 完 ,,, , ,烄, ，，:, ,, , , , ，备 性 目 前 还 没 有 文 献 进 行 探 讨 , ,, , 考虑 如下有界 弦的自由振动问题 ，，,, , :, :,,,,: 烅, ,,, ,,,， ,,, ,,,,,,: , φψ, ,: 烆, 〔〕, , ,令,，则 在 方 程 ,,可 化 为 如 下 系 统 ,,,,,,,:,ζ, , ,, ,: ,烄烌 , , ,,,，， ,,,, , ,, , , ,,, :ζ , ,,烆烎 其 中 就 是 无 穷 维 算 子 , ,,,,,,:,, , λ,,,,,,,,，,, 运 用 分 离 变 量 法 求 解 方 程 令代 入 方 程 得 且,,, ,,,,,,,,,, ,,,,,, ,, ,, ,,,λ ,收 稿 日 期 , ,:,,,:,:)) ,,,,,, 基 金 项 目 内蒙古自然科学基金资助项目 国家大学生创新性实验计划项目 ,::,:,:,,,:,:,:,,:,,,:, 作 者 简 介 ,陈 晓 敏 ,,，女 ，山 西 应 县 人 ，级 本 科 生 ,,,,) ,,::: ,,,，，，, 通 信 作 者 侯 国 林 男 辽宁省宽甸县人 教 授 ,,,:),,,,,,,:,,:,,,,,,,,:,,),, ，,,这 里是 待 求 的 本 征 值 是 相 应 于的 本 征 函 数 向 量 , ,,, , λλ ,,，，根 据 方 程 的 边 界 条 件 通 过 直 接 计 算 可 得 的 本 征 值 和 本 征 函 数 为 ,, 〔〕,, ,,,, ,π ππ ,, π,，, ，，，…,,,,,， ,,,,,,,,,,,, ,,,??, , ,, λ , ,,, ,〔〕 ,,, ,,,,，,,，,，,，,本 征 函 数 系 ,,在 函 数 空 间 中 平 方 收 敛 意 义 下 完 备 即 对 于 ,,,:,,:,, :,,×× ,,,,, ,，,,,中 的 任 意 元 素，,,它 按 ,,展 开 的 级 数 ,:,,,, , ,,:,,,,, ,,, ,,,, ? ,,,,,,,, ,,,,,,,,,,),),? ,, , ,,,,,, ,，,,，,,,在 中 按 能 量 范 数 收 敛 于,:,,:,,,,×, ,, ,,,, ，，,,我 们 知 道 一 致 收 敛 蕴 含 平 方 收 敛 但 反 之 不 然 对于本征函数系 ,,在一致收敛意 义 下 ,,,,的 ，,,，完 备 性 目 前 还 未 见 文 献 进 行 探 讨 通 过 将 级 数 的 部 分 和 巧 妙 地 示 成 一 个 积 分 运 ,,,,,,,,,,,,,,, ，,,,,,,著 名 的 引 理 本 文 证 明 了 式 一 致 收 敛 于这 不 仅 验 证 了 文 献 已 有 结 ,,,,,,,,,,,,, 用,, ,,,, ，,,果 的 正 确 性 而 且 预 示 着 基 于 ,,的辛本征展开可 获 得系 统 的 古典,,,解 , 主要结果及证明 , ,假 定 表示满 足 如下条件的 函数全体构成的空间 , ,,，,，,,,中 的 任 意 一 个 元 素周 期 为 且 在 上 可 积 和 广 义 绝 对 可 , ,,:,:?, ,δδ ， ,积 ′ ,,,，,,,,,,,在 上 具有有界导函数 :,,:,,?,δδ ,, ， ,,定 理 无 穷 维 算 子 的 本 征 函 数 系 ,,在 空 间 中 在 一 致 收 敛 意 义 ,,,,,,,:,, ,,, , ,×下面 的定理是 本文的主要结果 ,下 ,,,, ,,,, ，,,,,，,,是 完 备 的 即 对 于 任 意 的按 本 征 函 数 系 ,,展 开 的 ,,, ,, ,,, , ×,, ?,, ,, ,,,,,,,, ,, ,,, ，,,,,，,,,,,，,,,则级 数一 致 收 敛 于设,:,,,,,,,,,,,,, , ,,,, ,,,, ,, , ,,,,,π π ,,,,,, ,,,,, ,, , ,,,,,,,, ), ,, :,,,:,?π? , , , ,,,,,π π ,,,,，，，，…,, ,,,,, ,, , ,,,, ,,,,,,, ,) ,),,:) ,,:,:,?π? ，为 证 明 上 述 定 理 先 陈 述 如 下 引 理 , ,,,, ,,,,，,,，,是 ,上 周 期 为的 奇 函 数 则,,引 理 设 , 按 ,, , :,,,))δ,δδ,,， , ,,,,,,,,,,,, 展 开 的 级 数 的 部 分 和 可 表 示 为 ,:,,,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,π π ,, ,, ,,, ,，,,,,,,, , ，, ,,, , ,,,,, , ,,, ,, ,, ,)π)π,, πππ?π? ,,,,,,,, ,, ,, ,,，, ,,，…,的 具 体 表 达 式，系 数 证 明 将 函 数 按 , , 展 开 的 , ,,:,,,,, , , ,,,,,??,), ,,,,,, , ,,,,,,，,代 入 中 得 ,,,,,,,,,),),? ,, ,, ,,,, , π π烄 烌 ,,,, ,,,,, ,,,,, ,,: ,?,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,),),, , ?? ,,,,π π ,,,, , ,, ,,,, ,,,,, ,,,,, ,,:, ?烆 烎 记 ? , ,,,,,π π ,,,, ,,,,, ,,,,, ?: ,?,, ,, , ,,,,，的 部 分 和 为 则 ,,,, ,, ,, ,,,, ,, ,,,,π π ππ ,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,, ,,,,, ,,, ,,,,,, ,, ? ? ::,,, ,,?,? ,, ,,, ,, , ,, ,, , ,,,,,, π)π,,,,, ,:, ,,,:,,,, )? : ,?,, ,, , ,, ππ,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,),, ,, ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,, ) ::,?,?π π ,,,, ,,,,,,,,,,,,), ,,,, ,,: π π ,,,,,,,, ,,, ,,,,,, ,,,,), ), , ,, ,, ,,,, ,, ,,,,,,,,, ) ) :,,?? ππ ,,,, ), ,,,,,,,,,,,,)), ,,,, , ,, ππ,, ,,,,, ,,,, ,,,,,,,,,,,,, ), ) ,,, ,,,,, ,, ,,,,,,,, , ,,,?,? ππ ,,,,, ,, )),,,, ,, ,,,, ,, )) ,,,, π ,,，,引 入 变 换 有 ,,,), , ,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ππ ,, , ,, ,, ,,,,, ,, ? ,, , ,,,,, ,, , ,, , , , ,,,,,,)π)π,?,,π?π π π ,,,,,,,, ,,,同 理 有 , ,, , ,,,,, , ,π ,,,,, ,,, ππ ,,,,,,,,,,,, ,,, ,, ,,,,, ,,,,,,,, ,:, ,,, ? ,,:),π,?π?π , , , ,,,, ,,,,,，,,根 据和式 知式 成 立 证 毕 ,,:,,, ,, ,,,，,，引 理 引 理设 函 数在 区 间 上可积和广义 绝 对 可 积 则 以 下 极 限 式 成 ,,,,,,,,,,,φ ,,立 ,,,,，,,,, ,,, ,,,,,,, :,,, ,,:,,,, :,,,,,φφ,?? ,?? ?? ,, ，,，,,，,,，,上 进 行 奇 延 拓 记 为任 取 对 它 们 在 定 理 的 证 明 :,,, ,,))δ,,? ,，,,，,,,,,, :,, :,,,,,δδ,,? ? ，,,，,,,,,,, , ,, ，,，,,, ,,, ,::,, ,,, ,),))δ),))δ? ? ,,，,,则 均 为 周 期 为 的 奇 函 数 ,,,,,,, ,, ,, ε ,,以 下 证 明 部 分 和 式 一 致 收 敛 于 ，，，对 任 意 的 正 数由 已 知 条 件 知 存 在 正 数 , ,, ε， ,,,,, δ,, πε，,，,上 恒 成 立 取且 我 们 有在 使 得 ,,, :, , ,,,π ))δδ ，， ,,,′,, , ,,,,,,,, ,π , ,, ,, ,,,,,,,,,, ,,,,, ,,),,,,,,,),)π , π? π ,,,, , ,, ),, ,,,,, , , π , , ,,,, , ,, ,,, ,, ,,,,,,, ,),,, ,, ,, ,, ,),,? ??π π )π ,,,, , , ,,,,,) ,,,, , , ，如 果 在处 定 义 的 值 ,先 估 计 注 意 到 ,,,::,,,,,) ,,,) ,, ,,,:: ,? ,? ,,,,,,,,,,,,,,, ,,, ,, , ，,，,,,,为 零 则 在 上 函 数，,, 是连续有界函数 于 是 ,,: ,, )), )δδδ) , ， , ,,π ,,,, , , ,,,，,,,，,在上 可 积 和 广 义 绝 对 可 积 根 据 引 理 有 ,,:,,) ))δ,δδ ， ,,,, ,, , , ,,,, , , ,, , , , ,, , ,,,, ,, ,,,,,:, ) , ,,,,,,,, ,,,, ),, ??),, ?π , ,,,, , ，，，,，,,故 对 上 述存 在 正 整 数 当时 对 都 有 , :, ,,: )ε:， : ? , ,, , , , ,, , ,,,, ,, ,,,,,) , ,,,, ,,,, )ε ,, ),, ,?π ,,, ,,,,, , ，另 一 方 面 ,,,,, ,,,,, ,) , ,π ,,,,,,,, ,, ), , ?, , ′,, , , ,,ξ, ,,, , , ) ,, επ , , , ,, ,,,? ,,,, , , ,, ,, , , ,, , π, ),,),??,,π ,, ′, ,，, ,,， ,， ， , 于 是其 中易 知 因 而 ,,,,,,, ,,,,, , ))δ,δδ,δ, , ))? ? ? ξξξπ π 且 ,,, ,,,,,, , , , , , ,,,, ,,, , ,,, ),,, , ,),π? ,,,, , , , ,, , ,,, , ,, ,, , , ,,,,, ,,, ,), , ,),, ),, ,? ,π , ,,,, , ,,,,, ,,,,, ,) ε ε , , π , , ε ,,,,,,,, ,,,, ), , ?, ,，,对 都 成 立 , ,,,)? ,, ′,，,，下 面 估 计 定 义 ,,, ,, π, , ,,,,,,,,,，? 显 然 ,,,,,,,, , ,,, , ), , , ,? , π , , ′,, ，,，,,,，，因 此由 于 是 周 期 为 的 连 续 函 数 所 以 存 在 使 ,,,,,,,,, :π， , , ， 得 , , , , , 对 , ，,，, ，,,，,，, ,，都 成 立 对 有 ,, ,,, ,, ,, ,,, , ) , ,π,, ? )), ‖, , ‖ ， ? ? ?π , , , ,, ,,,, ,, ) π ,,,,，,,所 以记,,,,, , , ,,,, ?‖‖ ?, ,,， , , ,? ， ， ,，, ，〕，,,,, ,,,,,,? π, ,? ? ) π, ,,,,,,,,,,,, ,, , , ， 则, ,,, , ,π ,, ,,,,, , , , ,,, , ,, ,, , , , ,,,,),,?,π ,,,,, , π ππ , , )) ′,, ,,,, ,,:,, , ,,,,,,,,,,:,,,,, ,,, ,) , ,,, , ,, ?? ,, ,, , ,, , ,π) ′ ,,,,,, ,,: :,,,,‖ ε‖, , ‖‖ , , , ,? ，， , , ,? ，〕，,,,,,,,,, ? ) ) , ? ,,,, , , 其 中为 与无 关 的 常 数 ,, , ε ε，，，，至 此 已 经 证 明 且类 似 于 的 证 明 知 存 在 某 个 正 整 数 当时 ,,,,:, :,, , , ,, ， π π , ε，，，，，，综 上 对 任 给 的取 ,,则 当时 ,: ,,,:::, : ,ε:,, ， π ,ε,,,,,, ,,,,,, ,,,), ,, ,, π ,，,对 都 成 立 , ,,,)? ,,,,,,,,,,，，，，由的 任 意 性 当时 一 致 收 敛 到 而 为的 奇 延 拓 特 别 地 , ,,,,,,,,,? ε? ,,在 ,，,，，,,,,,,上 有时 将 一 致 收 敛 到 同 理 有 , :,, ,,,,,? ? ? ,,, ,,, ,,,,, , ,π ,,,,,,,π π , ,,,,,,,,,, ,,,,, ,,,,, ,,,,,, , ,,, ,, ?: )π,?,,,?ππ ,, , ,,,, , ,, ,,,，,,,，,,,,在 上 一 致 收 敛 于 因 此 按 本 征 函 数 系 ,,展 开 的 级 , :,,,,,, , ,,:,,,,,? , ,,, ,,,, ,, ,,,,,，,,,证 毕 数在 上 一 致 收 敛 到 ,,,, :,,,, ? ,, ,,,, 系 统 的 一 般 解, ,,,,,,:, ，,,由 定 理 和 解 的 叠 加 原 理 知 方 程的 解 可 表 示 ,,,为 ,),λλ,? ,,,,,,,,,,,，, ,,,,,,,, ,, ,,,, ,,,,, ))? ,, , ，,，，… ,，,,其 中如所 示 而是待定的常数序列 应 由方 向 的 初 始 条 件 确 定 ,,,,,,,,λ, ?, ,, ,,,，,,,,，,,,,,，根 据 方 程 的 初 始 条 件 可 统 一 写 为根 据式 得 到 ,,,:,,,,,, φ,ψ , ,? , , , , ,,, ,,,,，,,,,,, ,,,,,,, , ,,,,, ,),), φ,ψ ? ,,, , 容 易 验 证 ， ，:, ,)烄? ,, , , ,:,,, ,,,,,烅, π，:? , ,,, ,),烆 ,,，,,，，因 为右 端 的 级 数 一 致 收 敛 故 可 以 逐 项 积 分 式两端分别乘以 和积 分 后 结 ,,,,,:,:,), , 合 ,, 式 得 到 ,,,, , ,,,ππξξ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, , ) φξξξψξ ,:,,:,?,?π ,, ,, ,,ππξξ,,,,,,,,,, ,,,,,,:,) ),,,,), φξ ξψξξ:,,:,,?,π? ,,,,,,，,将和式 代 入式 中 整 理 得 到 ,,,:,, ,，, ,,,, ,, , ,,,,,, ,, ,,ππ πππ,烄 烌 ξξ ,,,, ,,,,,,,, ,,,, ,,,,,,,,:, ,,,, φξ,?ψ ξξξ : ,,:,,?,,,,?π ,, ,, ,,? ,,, , ,,,,,,,, , ππππππ,, , ξξ ,,,,,,,, , ,,, ,,,,,,, ,,,,,:, ,,,), ,φ ,ψ ξξξξ ::,,,,?,, ,,?,烆烎 〔〕,,，，,,上 式 与 文 献 中 的式 相 同 但推导的方式不同 这里是基于本征函 数 系 ,,在 一 致 ,,,,,,收 ，,, 敛意 义下 的完备性 定理严格导出的 值 得 一 提 的 是 式的第一分量就是有界弦的自由振动问题 ,,, ,, 的 古 典 解 ,, 总 结 , ，针 对 有 界 弦 自 由 振 动 问 题 导 出 的 无 穷 维 算 子 文中证明了其本 征 函数系在一致收敛 ,,,,,,:, ，意 义 下 是 完 备 的 辛本 征展开方法 对方程的边界条件进行统一处理 相关 方法 已 经 成 功地应用于弹性 , ，，力 学 问 题 但 相 应 的 数 学 基 础 本 征函数系的完备性还没有系统建立 希 望本 文 的 工 作能对此问题的 ) 解 决 具 有 一 定 的 促 进 作 用 , ,参 考 文 献 ,,，,,, 钟 万 勰 弹性力学求解新体系 大 连 大连理工大学出版社 ,,,,,,,,,,, ,，,,,侯 国 林 阿 拉 坦 仓 一 类 无 穷 维 算子族的特征函数 系 的 完 备 性 内蒙古大学学报 自 然 科 学 ,,,,,,,:, :,，版 ，,,, ,::,,:,,,,,,,,) ，，,, ,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,:,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,:,,:,,,,,,,, ,,,,,, ,,，，,,, ,,,,,,,,,,,,,,,:,:,,,,,,,,,,,,,,,,::,,,,,,,,),,,,,,,,, ,,， ,,:,,,:,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,:,:,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,:,,,, ,,,,,) ,,，，,,, :,,,,:,,:,,:,,,,,,,,:,,,,,,,:,:,,,,,:),,,,,, ,, ， ,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,，，,,, ,,,,,,,:,,,,,,,,,:,,,,:,,,,:,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,::,,,,,:,,,:,), ,,，，，，,,, ,,, 周 建 方 卓 家 寿 李 典 庆 基 于 体系的分离变量法 河 海 大 学 学 报 自 然 科 学 版 ,,,,,,,,:,:,,,,,:::,,,,:) ,,责 任 编 委 杨 联 贵 ,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,:,,,,:,,,,,,,,:,,,,,,,,, ,,,,, ,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,:, ,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,:,,,,,,, ，，，,,,: ,,,:,,,,:, ,,:,,,,,,:, ,,,,,:, ,,,,,,, ))) ,，，，, ,,,::,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,:,,,,,,,,,,,,,:,,:,:,::,,,,,,,, ,, , ,,,,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,:,,,,:,,,,:,,,,,,,,,:,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,, ， ,,,,,,,:,,:,,,,,,,,:,,,:,,,,,,,,,,,:,,,:,,,:,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,:,,,,:,,,,,,,,,,,,, ， ,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,:,,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,:,,:,,,,,:,,,,:,,,,,,,,,,:,,,,,,,, ,,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,:,,, ,,,,,, ,,,, ,,,:,,,,,,,,,,,,,:,,,,,:,,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,:,,,,,,,:,,,,:,,,,:,,,,,,