椭圆

椭圆 椭圆 目标认知 学习目标: 1(了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2(掌握椭圆的定义、几何图形、方程及简单性质. 3(理解数形结合的思想. 重点: 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质，理解坐标法的基本思想. 难点: 椭圆的标准方程的推导与化简，坐标法的应用. 知识要点梳理 知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:若，则动点的轨迹为线段; 若，则动点的轨迹无图形. 知识点二:椭圆的标准方程 1(当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:，其中; 2(当焦点在轴上时，椭圆的标准方程:，其中; 注意: 1(只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程; 2(在椭圆的两种标准方程中，都有和; 3(椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，;当焦点在轴上 时，椭圆的焦点坐标为，. 知识点三:椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 (1)对称性 对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 (2)范围 椭圆上所有的点都位于直线x=?a和y=?b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|?a，|y|?b。。 (3)顶点 ?椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ?椭圆(a,b,0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A(―a，0)， 1 A(a，0)，B(0，―b)，B(0，b)。 212 ?线段AA，BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，|AA|=2a，|BB|=2b。a和b分别叫做12121212 椭圆的长半轴长 和短半轴长。 (4)离心率 。 ?椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作 ?因为a,c,0，所以e的取值范围是0,e,1。e越接近1，则c就越接近a，从而 越小，因 此椭圆越扁;反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 222 a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x+y=a。 注意: 椭圆的图像中线段的几何特征(如下图): (1)，，; (2)，，; (3),，; 知识点四:椭圆与(a,b,0)的区别和联系 标准方程 图形 焦点 ， ， 焦距 ， ， 范围 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 ， ， 顶点 性质 长轴长=，短轴长= 轴 离心率 准线方程 焦半径 ， ， 注意:椭圆，(a,b,0)的相同点为形状、大小都相同，参 222数间的关系都有a,b,0和，a=b+c;不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。 规律方法指导 1(如何确定椭圆的标准方程, 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2(椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为: 222a,b,0，a,c,0，且a=b+c。 可借助下图帮助记忆: a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 3(如何由椭圆标准方程判断焦点位置 22 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是:看x、y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 224(方程Ax+By=C(A、B、C均不为零)表示椭圆的条件 22 方程Ax+By=C可化为，即， 所以只有A、B、C同号，且A?B时，方程表示椭圆。 当时，椭圆的焦点在x轴上; 当时，椭圆的焦点在y轴上。 5(求椭圆标准方程的常用方法: ?待定系数法:由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方 程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”; ?定义法:由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6(共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则c相同。 2 与椭圆(a,b,0)共焦点的椭圆方程可设为(k,,b)。此类问题常用待定系数法求解。 7(判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据: ?若把曲线方程中的x换成―x，方程不变，则曲线关于y轴对称; ?若把曲线方程中的y换成―y，方程不变，则曲线关于x轴对称; ?若把曲线方程中的x、y同时换成―x、―y，方程不变，则曲线关于原点对称。 8(如何解决与焦点三角形?PFF(P为椭圆上的点)有关的计算问题, 12 与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立 、之间的关系. 9(如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系, 222 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为c=a,b，a,c,0，用a、b表示为，当越小时，椭圆越扁，e越大;当越大，椭圆趋近圆，e越小，并且0,e,1 经典例题透析 类型一:椭圆的基本量 1(指出椭圆的焦点坐标、准线方程和离心率. 解析:椭圆的方程为，所以，，. ?焦点坐标为， 准线方程为和， 离心率. 总结升华:要将椭圆的方程化为标准形式，才能确定基本几何量. 举一反三: 【变式1】椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离=________. 【答案】7 【变式2】椭圆的两个焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两 的周长=___________. 点，则 【答案】20 【变式3】已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则m的取值范围是( )。 A(,4?m?4且m?0 B(,4,m,4且m?0 C(m,4或m,,4 D(0,m,4 【答案】B 22 【变式4】已知椭圆mx+3y,6m=0的一个焦点为(0，2)，求m的值。 【答案】m,5。 类型二:椭圆的标准方程 2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(,4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10; (2)两个焦点的坐标是(0，,2)、(0，2)，并且椭圆经过点。 思路点拨:用待定系数法。 解析: (1)?椭圆的焦点在x轴上，?设它的标准方程为。 ?2a=10，2c=8，?a=5，c=4 22222 ?b=a,c=5,4=9 ?所求椭圆的标准方程为; (2)?椭圆的焦点在y轴上，?设它的标准方程为 由椭圆的定义知，， ? 222 又c=2，?b=a,c=10,4=6 。 ?所求椭圆的标准方程为 22 总结升华:求椭圆的标准方程就是求a及b(a,b,0)，并且判断焦点所在的坐标轴。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为;当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程 。 为 举一反三: 【变式1】两焦点的坐标分别为，且椭圆经过点。 【答案】。 【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点，并且经过点(3，,2)，求此椭圆的方程。 【答案】。 3(求经过点P(,3，0)、Q(0，2)的椭圆的标准方程。 22 解析:设椭圆的标准方程为mx+ny=1(m,0，n,0，m?n)。 ?椭圆经过点P(,3，0)和Q(0，2)， ? ? ?所求椭圆方程为。 总结升华:在求椭圆的标准方程时必须先判断焦点的位置，然后再设出方程。在无法判 22断焦点的位置时可设mx+ny=1(m,0，n,0，m?n)，而不规定m与n的大小关系，从而避免讨论焦点的位置。 举一反三: 【变式】已知椭圆经过点P(2，0)和点，求椭圆的标准方程。 【答案】 22 4(求与椭圆4x+9y=36有相同的焦距，且离心率为的椭圆的标准方程。 22 解析:把方程4x+9y=36写成，则其焦距为 由题知，则， 2222 ?a=5，b=a,c=5,5=20 ?所求椭圆的方程为或。 总结升华:本例中由于没指明焦点所在的坐标轴，所以椭圆的方程应有两种形式。 【变式1】在椭圆的标准方程中，，则椭圆的标准方程是( ) A( B( C( D(以上都不对 【答案】D 【变式2】椭圆过(3，0)点，离心率，求椭圆的标准方程。 【答案】或。 【变式3】长轴长等于20，离心率等于，求椭圆的标准方程。 【答案】或。 【变式4】已知椭圆的中心在原点，经过点P(3，0)且a=3b，求椭圆的标准方程。 或。 【答案】 类型三:求椭圆的离心率或离心率的取值范围 5(已知椭圆一条准线为，相应焦点为，长轴的一个顶点为原点，求其离心率的取值。 解析:椭圆长轴顶点到相应焦点的距离为，准线到相应焦点的距离为. 由已知得，解得，. 举一反三: 【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是( ) 【答案】D 【变式3】椭圆上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若 成等差数列，则椭圆的离心率为__________。 【答案】 【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦 点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。 【答案】 6(已知椭圆，F，F是两个焦点，若椭圆上存在一点P，12 使，求其离心率的取值范围。 解析:?FPF中，已知，|FF|=2c，|PF|+|PF|=2a， 121212 222 由余弦定理:4c=|PF|+|PF|-2|PF||PF|cos120?? 1212 又|PF|+|PF|=2a ? 12 22 联立? ?得4c=4a-|PF||PF|，? 12 总结升华:求离心率或离心率的范围，通常构造关于，，的齐次式，从而构造出 关于的方程或不等式. 举一反三: 【变式1】 已知椭圆与x轴的正半轴交于A，0是原点，若椭 圆上存在一点M，使MA?MO，求椭圆离心率的取值范围。 【答案】设M点的坐标为，A(a，0) 由MA?MO得 化简得 所以 【变式2】已知椭圆，以，，为系数的关于的方程 无实根，求其离心率的取值范围。 【答案】由已知，，所以， 即， 不等式两边同除可得， 解不等式得或. 由椭圆的离心率， 所以所求椭圆离心率. 类型四:椭圆定义的应用 7(若一个动点P(x，y)到两个定点A(,1，0)、A,(1，0)的距离的和为定值m(m>0)，试求P点的轨迹方程。 解析:?|PA|+|PA,|=m，|AA,|=2，|PA|+|PA,|?|AA,|， (1)当0|PF|，求的值. 12 综合探究: 28(求椭圆的内接矩形面积的最大值. 参考答案: 基础达标: 1(答案:D 2(答案:C 3(答案:C 4(答案:D 5(答案:B 6(答案:C 解析:由题设得，解得a=10, b=8. ，,,或，,,. ?椭圆方程为 7(答案:A 8(答案:A 9(答案: 10(答案: 11(答案:1 12(答案: 13(答案: 14(答案: 15(答案: (1)焦点坐标F(-8,0)，F(8,0);准线方程 12 (2)焦点坐标F(0，-2)，F(0,2);准线方程 12 16(答案: (1) (2)或 (3)或 (4) (5) 能力提升: 17(答案:A 18(答案:D 19(答案:A 20(答案:D 21(答案:C 22(答案:C 23(答案: 24(答案: 25(答案: 26(提示:利用椭圆的第二定义证明. 27(答案:或2. 提示:|PF|+|PF|=6，|FF|. 1212 222 若?PFF为直角，则|PF|=|PF|+|FF|，由此可得211212 ; 222 若?FPF为直角，则|PF|+|PF|=|FF|，由此可得|PF|=4，|PF|=2. 12121212 综合探究: 28(提示:利用椭圆的参数方程.