【doc】凸函数算术平均值的凸性

【doc】凸函数算术平均值的凸性 凸函数算术平均值的凸性 第29卷第2期 2007年4月 湖州师范学院 JournalofHuzhouTeachersCollege Vo1.29No.2 Apr.,2007 凸函数算术平均值的凸性 王梓华 (浙江广播电视大学海宁学院,浙江海宁314400) 摘要:利用二元函数为凸函数的微分判别准则,证明了二阶可微的一元凸函数的算术平均值关于积分上下限为 凸函数,加强了其是s一凸函数的一个结论.后者是由Elezovic,N.和Pecaric,J.得到的. 关健词:凸函数;s一凸函数;算术平均 中图分类号:O174.13文献标识码:A文章编号:1009—1734(2007)02—0032—04 MSC2000:26D15 1弓I言禾口弓I理 定义1?设DR为凸集(若一1,则表示D为区间),厂:D—R,若任取口,bED都有厂(a下+b) 成立,则称厂为D上的凸函数;称厂为D上的凹函数,当且仅当一厂为凸函数. 定义2[设a,bER满足: ^^ (I)?口豳?b豳,志一1,2,…,一1; (;;)?n一?bi, 则称a被b所控制,记作aPb. 定义3?设函数_厂:DR一R,若对.72,YED,.72PY,都有厂()厂(),则称厂是D上的 Schur 一 凸函数,简称S一凸函数.如果一厂是D上的S一凸函数,则称.厂是D上的S一凹函数. 文[2]考虑了函数平均关于积分上下限的Schur凹凸性,借助于Hadamard不等式,建立了如下重要 结果. 定理A设厂是上的连续函数,则 ,6):jjda,bm;, l(口),n—bE, 是上的Schur凸(Schur凹)函数当且仅当-厂是上的凸(凹)函数. 本文在假设_厂在上有二阶连续导数条件下,将加强定理A.众所周知,如果厂是凸(凹)函数,则其二 阶导数几乎处处存在,所以这个附加条件并不是很苛刻的.总之,本文证明了以下定理B. 定理B设.厂在上存在二阶连续导数,则 一f舢,(口,6)一JJ.'l_厂(),a,bEI,a?b; a—b?I, * 收稿日期:2007—02—05 作者简介:王梓华(1961一),男,浙江海宁人,浙江广播电视大学海宁学院讲师,研究方向:解析不等式,数学教育与 教学. 第2期王梓华:凸函数算术平均值的凸性33 是上的凸(凹)函数当且仅当f是上的凸(凹)函数. 为此我们介绍以下引理. 设集合DR,函数:D—R有二阶连续偏导数,本文统一记: 一 差一2,… 和L(z)一 引理1(i)设DR为开区间,函数厂 厂(z)三三=()0. 11 21 12 222n 节nn…带 :D—R有二阶连续偏导数,则f为凸(凹)函数当且仅当 (ii)设DR"为开凸集,则为凸(凹)函数当且仅当L(z)在D上半正(负)定. 引理2E设集合DR"为对称凸集,函数:D—R为对称的凸(凹)函数,则在D上为 Schur 凸(凹)函数. 2主要定理的证明 定理B的证明我们只证,为凸函数的情形,对于厂为凹函数,只要考虑一厂即可. (I)先证"".若对称函数是上的凸(凹)函数,则其也是上的Schur凸(Schur凹)函数, 由定理A知,厂是上的凸(凹)函数. (?)再证"".由引理1知,存在只要证 1122一21120. 当(n,6)E,n?b时,易有: rb 一 (6一n)f(a)+1.厂(,)d, (n,6)一———, rb (6——n)厂(6)——l厂(,)d, z(n,6)一——一, (6一n)(.厂(6)+厂(n))一2f.厂(,)d, z()=z()一—————一, (6一n)f(n)+2(b—n)厂(n)一2If(t)dt u ()一———...—二——一, (6一n)f(6)一2(b—n)厂(6)+2If(t)dt , zz(n,6)一—————r——一? (1)当b>n时,(1)式等价于: ' g(a,6)一(6一n)f(n)+2(6一n),(n)一2I厂(,)dt0, g(n,6)一2(6一n)(厂(n)一鱼). 由拉格朗日中值定理知,存在E(n,6),E(n,),使得 g(n,6)一2(b—n)(厂(n)一f(a))一一2(b—n)(a—n)厂(). (1) (2) 证 要 只 即 可 即 定 正 半 为 在 ,?????J , 拢0/\J 34湖州师范学院第2卷 由引理1知g关于b在(口,+Cx3)n为单调减少,即有g(a,6)g(a,口)一0.(1)式得证. 此时(2) 式等价于: 一 E(b一口)zf,(6)一2(6一口)(6)+2r厂()d].[(6一口)z厂,(&)~-2(b一口)厂(a)一 2f.(,)d,] I'b2 f(6一口)(厂(6)+厂(口))一2I厂()dt1.,?4, 把上式左右边展开化简,并约去(6一a)后,有: 一 (6一口)f(6)厂(口)+2(b一口)(厂(6)厂(口)一f(6)厂(口))+ r6 2(f(6)一厂(口))If(t)dt三三(厂(6)一厂(口)).J4 ?设f(z)在(6,口)上都有f(z)>f(口),(3)式等价于: ?r6 h(口,6)一一2I厂()dt+ — (— b——— -- ———— a —— )—— 2 —— f——— ' — (—— b—— )—— f——— ' —— (—— a —— )——— -- —.—— 2—— (—— b——— -- ———— a ——— )—— (—— f—— (—— b.— )— f——— ' —— (— a —— )——— -- ————— f—— ' —— (—— b—— )—— f——— (— a ——— )—— )—— - ~-(f(b)--f(a))2 厂(6)一厂(口) (,) (3) <0.(4) — (— t—— -- ——— a—— )—— 2 — f——— ( — t—— )— f—— ' —— (— a—— )—— -- ———— 2— (—— t —— -- ——— a —— )—— (— f—— (—— t — )—— S——— (— a —— )——— -- ——— S——— (—— t — )—— f—— (— a—— )—— )—— - — F——— (— f——— (— t— )— -- f(a))2一 :: (厂()一厂(口)) 一 [厂()一厂(口)一(一口)厂(口)]zo.(f()一 f(口))u,…一 故h关手t在[.,6]为单调减少.又可证: hll6)一I-f(b)一)_(b--s(6.. 故h关于5在[.,6]为单调增加.若厂(a)?0,则有: h(a,6)一2limI厂()dt/'b+ lim 6—?n+ lim 6—?口+ — (b—— -- —— a —— )— 2 — f— ' — (— b— )— f— ' — (— a —— )— -- ——— 2— (— b— -- ——— a— )— (— f— (— b— )— f— ' — (— a — )— -- —— f—— ' — (— b— )— f— (— a —— )— )— - — ~— - — (f(b)--f(a))2.一 f(6)一f(口) lim[(6一口).f(口)+2(b—a)f(a)J+ 垒二!:垒:二兰垒二垒:垒?墨垒二:垒?:垒二:!一 厂(6)一厂(口) 一 /9) _O. —4+广 (4)式得证.若(口)一0,我们可选择c?(口,6),使得厂(c)?0,则有: h(口,6)三三h(c,6)三三limh(c,6)一0. (3)式也成立. ?若有f(6)一f(口),则由引理知—f()在(6,口)上为常函数,一厂()在(6,口)上为直线 段, 不难验证(3)式的左右边是相等的. ?若存在f?(口,6),使得 厂()一f(口),t?[口,c], 厂()>f(口),t?[c,6]. 一 \, , 厂 \, ,厂 2 + \, 口 /厂 , 1L 一 2 一 一+ ))口 ,( 2\, 厂 2 一 \, 口 , \, , \, 口 一 , 寸( u \, 6 口 , ? 当 "U贝 第2期王梓华:凸函数算术平均值的凸性35 则当t?Ea,c],厂(,)一厂(n)+(,一a)f(c),经整理不等式(3)化为: 一 (6一c).f(6)厂(c)+2(6一c)(厂(6)厂(c)一f(6)厂(c))+ 2(f(6)一厂(c))lf(t)dt(厂(6)一厂(c)).. 这就化为情形?,所以(3)式也成立. (ii)当6<n时,考虑到函数?的对称性,我们只要证明f]为半正定即可,这等同于 情形 (i). (iii)当b—n时,由导数定义和拉格朗日中值定理可以证明?(n,n),(n,n),.(n,n)一.(n, n),(n,n),..(n,n)存在,且由?的二阶导数的连续性知,此时]为半正定.22l 至此定理B证毕. 注1由引理2知,定理B强于定理A. 注2我们猜测定理B中的"厂在上存在二阶连续导数"可以减弱为"厂是上的连续 函数". 参考文献: [1]王伯英.控制不等式基础EM].北京:北京师范大学出版社,199o.2,37,39,45,54. [2_].ELEZOVICN,PECARICJ.AnoteonSchur— convexfuctions[J].RockyMountainJMath,2000,30(3):853~856. ConvexityofArithmeticMeanInvolvingConvexFunction WANGZhi—hua (HainingCollege,ZhejiangRadioandTVUniversity,Haining314400,China) Abstract:Bydifferentialcriterionofconvexfunctioninseveralvariables,thispaperprovesth atthearithmetic meaninvolvingconvexfunctionisconvextoupperlimitandlowerlimitoftheintegral,whichimprovesaresult relatingtotheS—convexfunction,withthelatterprovedbyElezovic,N.andPecaric,J. Keywords:convexfunctions;S—convexfunctions;arithmeticmean MSC2000:26D15