姓名：张达

姓名：张达 姓名:张达 浙江?中国 指导老师:王红权 论文标:风和喷水池 1 1 风和喷水池 摘要:本文对喷水池的水流控制问题进行了研究。首先建立了喷泉水 柱轨迹的模型，预测了不同风速下水花的落点和水柱的高度。 然后利用控制流量和调整角度这两种手段，得到了最优化的喷 泉水流控制，最后实现了风速计对于喷水池自动控制的目 标。 关键字:喷泉水流控制;风力条件;轨迹模型 Wind and Waterspray Abstract: In this paper, a numerical method for dynamic simulation of an ornamental fountain is studied. The equations of water-flow motion are based on Newton’s law, which can estimate the height of fountain and whether the spray falls outside the pool area. The results show that the method is effective in adjusting the water-flow from the fountain as the wind conditions change. Key words: water-flow ; control ; wind conditions 1题目的素材来源于2002年美国大学生数学建模竞赛 2 1 问题提出 在一个楼群环绕的宽阔的露天广场上，装饰喷泉把水喷向高空。刮风的日子，风把水花从喷泉吹向过路行人。喷泉射出的水流受到一个与风速计(用于测量风的速度和方向)相连的机械装置控制，风速计安装在一幢邻近楼房的顶上。这个控制的实际目标，就是要为行人在赏心悦目的景象和淋水浸湿之间提供可以接受的平衡:风刮得越猛，水量和喷射高度就越低，从而使较少的水花落在水池范围之外。试设计一个算法，随着风力的条件和变化，运用风速计给出的数据来调整由喷泉射出的水流。 2 问题分析 由于受到风的影响，喷泉射出的水流情况和无风时相比将会有很大区别。为了达到赏心悦目的景象和行人淋水浸湿之间的平衡，就需要恰当地调整射出的水流。在求解过程中可分为调整流量和角度两种情况进行分析，确定出在一定风力条件下的最佳流量和喷角。设计的目标就是使得喷射景象壮观(水柱高)，同时满足水花落在水池范围之内的要求。 为研究最佳流量和喷角，首先需要建立喷泉水流的轨迹模型。该轨迹模型可计算出任意风速时，不同流量和不同喷角所对应的水花落地半径。最后根据风速计给出的数据，通过逐步调整喷角和流量并计算相应的水花落点，来寻找最优的喷射。 3 模型假设 1) 广场范围内和广场附近的风速和方向处处相同; 2) 喷泉位于水池的正中，并且水池呈圆形; 3) 喷嘴的尺寸大小固定; 4) 喷射的最大流量为Q=0.02立方米每秒; 5) 喷嘴最大调整幅度为?θ=25度; 6) 水柱在空中只受到重力和风力的作用; 4 符号说明 g,-----------------重力加速度; -----------------水密度; -----------------喷射的流量; ------------------水柱微元段的倾角; Q, ---------------水柱微元段的质量; ----------------水柱微元段的体积; dmdv a----------------水柱微元段的长度; ------------------水柱微元段的截面积; dl wr------------------水柱微元段的位置矢量; -----------------水柱微元段受到的重力; -----------------水柱微元段受到的风阻力; V-------------------水柱微元段的切向速度; ft V -----------------水柱微元段的法向速度; C ------------------切向风阻力系数; nt C -----------------法向风阻力系数; J 、J ------------水平、垂直风速; nxy 5 模型建立 通过观察喷泉，可以看到水流运动的全部过程:从喷嘴射出，然后经过空中的飞行，并且划出一道优美的弧线最终落到水池中。我们需要建立的就是水流在空中飞行的轨迹模型。 首先取正在空中飞行的任意一小段水柱， 建立沿着该水柱的轨迹坐标系(t,n)和空间固定坐标系(x,z)，两坐标系之间的夹角为Ф。两个坐标系可以通过转换矩阵[A]相关联: 3 txxcossin,,,，，，，，，，， (1) ,,,,A,,,,,,,,,,nzz,,sincos,,，，，，，，，， r引入水柱微元段的位置矢量，对其求两阶导数得到水柱微元段的加速度: 2，，VVV,,,,,,drdddttt,,,,，,tntntn,,,，，，，，，,,,,,,,,2VVVdtdtdtdtnnn,,,,,,，， VV1,,,,,ddttTT，，，， (2) ,,,,，,tnAAtn,,，，，，,,,,，，，，VVdtdtnn,,,, dVd,,,t,,，Vn,,dtdt,,tn,,,，，dVd,,,n,，V,,tdtdt,, 水柱微元段受到的外力有重力和风阻力，分别用矢量示: ,sin,,, (3) wdmgtn,,,,,，，,,,cos,,, ,,,CUU14atttfdltn,,,,,, (4) ,，，,,CUU2,nnn,, 根据牛顿第二定律，可得: Fma, 2drfwdm，,, (5) 2dt Qa,V,0考虑到水柱微元段是沿着轨迹运动，故。此外还有关系式:，nVt ，，将以上各式与(2)、(3)、(4)式代入(5)式，最后经过化简dmdv,,,dldva,/ 分别在和两个方向上列出等式: tn dVV,tt (6) ,,,，,,singCUU,tttdtQ dg,,cos1, ,,，,,CUU (7) nnndtVQV,,tt UVJcossin,,,,,,,,,，，ttxUU其中，和为水柱微元段相对于空气的速度:,,, nt,,,,,,,,UVJ,,sincos,,，，nnz,,,,,, 6 模型求解 式(6)和(7)组成了常微分方程组，可以采用四阶龙格库塔方法，利用Matlab软件进行数值求解: 4 dt ,，，，，,22,(1,2)yykkkki,,ininiiii,11234，6 其中， kfyy,,;，，112iinn dtdt,,kfykyk,，，,;2111212iinn,,22,, dtdt,,kfykyk,，，,;3121222iinn,,22,, kfydtkydtk,，,，,,;，，4131232iinn fVfyy为(6)式，为(7)式，为时间步长，和分别为和。 ,dt1212t V, 以水柱微元段刚离开喷口的时刻为初始时刻，初始速度和倾角分别为和。解得时t00 Vi()ii刻的速度和倾角，然后通过关系式(1)可求出该水柱微元段在时刻的水平速()i,t Vi()Vi()度和垂直速度，最后对时间进行积分可得到喷泉水流的轨迹。 xz CC现假设喷泉的喷嘴直径为1厘米，水池的半径为5米，水流在空气中的阻力系数和tn 3分别为0.1和1.0。图1给出了当喷泉以0.02的流量垂直向上喷射时，风速的大小对水ms/ 流轨迹的影响。可见当风速超过0.3米/秒时，水花将落到水池以外。为了不使行人在大风速时淋湿必须减小喷泉的流量，表1和图2给出了不同流量和风速对应的水花落地半径。 15 风速0.1米/秒风速0.2米/秒风速0.3米/秒风速0.4米/秒10风速0.5米/秒 垂直高度(米)5 0024681012水平半径(米) 。 图1 不同风速下喷泉水流的轨迹线() ,,900 5 14 12 10 Q=0.02立方米/秒 8 Q=0.018立方米/秒 6水柱高度(米)Q=0.016立方米/秒 4Q=0.014立方米/秒 2Q=0.012立方米/秒0.10.20.30.40.50.60.70.80.91风速(米/秒) 25Q=0.01立方米/秒 。图2 不同流量和风速对应的喷泉水柱高度() ,,900 20 Q=0.02立方米/秒 15 Q=0.018立方米/秒 10Q=0.016立方米/秒 Q=0.014立方米/秒水花落地半径(米)5Q=0.012立方米/秒 Q=0.01立方米/秒 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91风速(米/秒) 。 图3 不同流量和风速对应的喷泉水花落地半径() ,,900 从图2和图3中可看出，当风速比较大时为了保证水花落在5米之内，必须极大地减小喷泉的流量。而流量的减小使得喷泉水柱的高度大大降低，影响了行人观赏的效果。因此可尝试调整喷射的垂直角度Ф(水平角度根据风向而定，保持迎风即可)，以达到赏心悦目的0 景象和行人淋水浸湿之间的平衡。 3图4给出了喷泉以不变的流量(0.02)分别用90度和80度倾角向上喷射的水柱ms/ 轨迹。可见在一定风速下，通过调整喷射的角度可以使得原本落在水池之外的水花重新又落回到水池半径之内，并且基本不影响水柱的高度，达到了较理想的效果。 15 风速 J=0.5米/秒流量Q=0.02立方米/秒 10喷射角90度喷射角80度 垂直高度(米)5 0-2024681012水平半径(米) 图4 调整喷射角度对水柱轨迹的影响 6 7 最终算法 根据以上的计算与分析结果，可以得到随着风力的变化来调整喷泉水流的具体方法。先确定该喷水池的参数，包括水池半径、喷口直径、最大喷射流量等数据。接着运用喷泉水柱的轨迹模型计算出一定风速下水花的落地半径。如果水花落点位于水池之外，则往迎风方向逐步地调整喷射角度(每次减小ΔФ度)，若喷射角调整至最大倾角仍不满足要求，则需要减小喷泉的流量(每次减少ΔQ立方米/秒)，具体流程算法见图5。 风速计测量风向和速度 qqQ,,,ii，1 ,,,,,,ii，1 qQ, 初始流量 1。 喷角,,901 否是 轨迹模型计算水花落点 ,,,,,,i 判断是否在水池半径之内 否 是 q,输出调整后的喷角 和流量ii 图5 喷泉水流调整算法流程 8 结论 本文建立了喷泉水流的轨迹模型，可根据风速计给出的风力数据，计算出最佳的流量和喷角。结果表明，该模型及算法既保证了水花不落在水池之外，又最大限度地提高了水柱的高度，对喷水池的自动控制有着重要的意义。 7 8