[指南]自然数的正整数次幂的个位数规2

[指南]自然数的正整数次幂的个位数规2 自然数的正整数次幂的个位数的规律 【摘要】自然数的正整数次幂的个位数的计算错综复杂，但是在这看似变化无常中却 89自隐藏着令人回味无穷的规律(例如求1023的个位数，常规方法:先求出结果，再确定个位数(这种方法在没有现代高级计算机的情况下，似乎是“山重水复疑无路”，但如果掌握了然数的正整数次幂的个位数规律，即可“柳暗花明又一村”( 【关键词】自然数 正整数次 幂 个位数 计算 规律 一、0-9的正整数次幂的个位数规律 n经研究发现(可用数学归纳法)，a(0?a,10，a?N,n?N*)的个位数，具有以下规律: (1)0，1，5，6的正整数次幂的个位数是它本身( 42n 例如:5的个位数是5，6(n?N*)的个位数是6. (2)4，9的奇数次幂的个位数是它本身，偶数次幂的个位数分别是6，1. 59606970 例如:4的个位数是4，4的个位数是6;9的个位是9，9的个位数是1( (3)2，3，7，8的正整数次幂的个位数是循环重复出现的( 4n-34n-24n-14n 例如:2，2，2，2(n?N*)的个位数分别是2，4，8，6; 4n-34n-24n-14n 3，3，3，3(n?N*)的个位数分别是3，9，7，1; 4n-34n-24n-14n 7，7，7，7(n?N*)的个位数分别是7，9，3，1; 4n-34n-24n-14n 8，8，8，8(n?N*)的个位数分别是8，4，2，6; 因此，对某个数a而言，特定倍数幂的结果总是相同的尾数:如3的4n(n?N*)次幂总是以1结尾，也很容易计算出4n+1次方的尾数为1*3， 4n+2次方的尾数 1*3*3,9， 4n+3 次方的尾数为 1*3*3*3=27，即为7，这样就可以计算出3的任意次方的结果的尾数( 把上述规律整理，总结成一个数组如下: 0， 0， 0， 0; 1， 1， 1， 1; 2， 4， 8， 6; 3， 9， 7， 1; 4， 6， 4， 6; 5， 5， 5， 5; 6， 6， 6， 6; 7， 9， 3， 1; 8， 4， 2， 6; 9， 1， 9， 1. 数组的第一维(行)的四个数字，依次为指数n变化时幂的个位数; 数据的第二维(列)对应底数a，a从0到9. 通过数组，发现: n1( a(0?a,10，a?N,n?N*)的个位数，与a有关:a不同，则幂的个位数可能相同，也可能不同;当a为奇数时，则幂的个位数为奇数，当a为偶数时，则幂的个位数为偶数;反过来，当幂的个位数为0时，a只能为0，而幂的个位数为5时，a只能为5. 2(数组的第一列正好对应a从0到9的竖直变化;第二列、第四列去掉首行0以后,呈上下对称;第四列如果a与10互素，则幂的个位数为1;第一列、第二列、第三列的数字之和均为45. 3(相同的a，如果它的指数是4n(n?N*)，无论n是多少，其个位数数都是相同的，这个问题可以转化为: 假设m， n均为自然数，MOD为取余数计算符( MOD 10即取个位数)( (m^4n) MOD 10 = (m^(4*(n+1)) MOD 10. ----- (1) (m^(4n+1)) MOD 10 = m MOD 10. ----- (2) 二、10以上的自然数的正整数次幂的个位数规律 n对于求a(a?10，a?N,n?N*)的个位数，可以由二项式定理可以推出(令r=a MOD 10，r为a的个位数，则a-r的个位数为0( nn?a=[(a-r)+r] 1nnn-111n-1n 0n,1=(a-r)+(a-r)r+„+C(a-r)r+,r CCnnnn 1n0n-1n-21n,1n-1n =(a-r)[(a-r)+C(a-r)r+„+Cr]+,r Cnnnn 10n-1n-21n,1n-1而(a-r)[(a-r)+C(a-r)r+„+Cr]的个位数为0Cnnn nnnn? 求a(a?10，a?N,n?N*)的个位数，只需求,r=r的个位数;n 因此，我们知道:10以上的自然数(也称多位数)的正整数次幂的个位数只与多位数的个位有关，而与多位数的十位、百位、千位„„无关(故只要掌握0-9的正整数次幂的个位数的求法，对于求多位数的正整数次幂的个位数,便可迎刃而解( 898989现在来求1032的个位数(依上面的结论:求1032的个位数，只需求2的个位数，894×22+189因为2=2的个位数为2，所以1032的个位数为2( 三、运算规律 若自然数a， b， c， d满足: a MOD 10 = c MOD 10 ，b MOD 10 = d MOD 10. 1(加法(+) (a MOD 10 + b MOD 10)MOD 10 =(a+b) MOD 10. (a+b) MOD 10 = (c+d) MOD 10. 2(减法(-) (a-b) MOD 10 = a MOD 10 – b MOD10. ( a MOD 10 ? b MOD 10 ) (a-b) MOD 10 = 10+a MOD 10 – b MOD 10. ( a MOD 10 , b MOD 10 ) (a-c) MOD 10 = 0 = (b-d) MOD 10. 3(乘法,*, (a MOD 10 * b MOD 10)MOD 10 =(a*b) MOD 10. (a*b) MOD 10=(c*d) MOD 10. 4. 乘方,^, (a^n) MOD 10 = (b^n) MOD 10. 10以上的自然数的正整数次幂的个位数规律可用下式述: (a^n) MOD 10 = ((a MOD 10)^n) MOD 10. 对于上面各式的证明，只需 令a=10*A+m， c=10*C+m， b=10*B+n，d=10*D+n， 代入上面加、减、乘法式即得，对于乘方式子重复运用乘法部分即得 ( 5(除法(\) 由于除法极易得到小数，所以不考虑其运算规律( 6(特别地 若a与10互素(a只能取1或3或7或9)，则存在整数k，使得 (a*k) MOD 10 = 1. 证明: 因为a与10互素，由Eulid辗转相除法知，存在整数k，n使得 a*k = 1+ 10*n. 因此 (a*k) MOD 10 = (1+10*n) MOD 10 = 1 MOD 10 + (10*n) MOD 10 = 1. 四、综合应用 掌握了自然数的正整数次幂的个位数规律，结合数字的四则运算和二项式定理，可以求 解近年来常出现的个位数字计算技巧的题型，而且计算速度往往比计算机还要快( 【例1】:求下列算式的个位数( 18556 18556 (1) 7+438和7×438 1854×46+1 解:?7=7，其个位数是7;5656564×14 又?438的个位数与的8个位数相同，8=8其个位数为6; 18556 ? 7+438的个位数为7+6的个位数; 18556 7×438是个位数为7×6的个位数; 18556 ? 7+438的个位数字为3;18556 7×438 的个位数字为2( 6440345 (2)(2-3) 6440解:?2的个位数为6，3的个位数为1 6442?2-3的个位数为5 ?5的正整数次幂的个位数为5 6442345 ?(2-3)的个位数为5. 240 642340(3)(4+4„+4)×7 CCC404040 123404023400C解:?4+4„„+4=(1+4)- (+4) CCCC4040404040 40 =5-(1+40×4) 又?5的正整数次幂的个位数为5 23402340?(4+4„„+4)的个位数为4. CCC404040 64又?7的个位数为1 2340 642340?(4+4„„+4)×7的个位数为4. CCC404040 【例2】:某个自然数的偶数次幂是千位数字为3(个位数字为5的四位数，求这个自然数. 解:设存在此自然数为N，则N^2k=3??5，则(N^k)^2=3??5，说明此四位数A为某自然数B的平方，且这个自然数B为两位数，因为只有个位数为5的自然数的指数幂的个位数为5，所以N的个位数为5，又由于四位数A的千位为3，则自然数B的十位数只能为5，所以B=55，即N^k=55，所以题目要求的自然数N只能为55( 【例3】:(,,,,年全国初中数学联赛题)填空: ,,,,,„„，,,,,,,,,,的平方和的个位数的数字是( ) 22222解:?,+2+3+„„+9+10的个位数的和等于1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=45， 而11到20,21到30,31到40，„„，123456781到123456789的平方的个位数的和也都为45. ?本题所求的个位数字是45*(12345678+1)的个位数字5. 【参考文献】 数学》第五册(人民教育出版社，,,,,([ 1 ] 全日制普通高级中学教科书(《 [ 2 ]《一个自然数幂尾数规律的数学归纳法证明》(科教文汇，,,,,，,上半月刊( [ 3 ] 普通高中课程实验教科书(《数学》1(必修)(人民教育出版社,版，,,,,(