定积分的计算

定积分的计算 ?8.4 定积分的计算 一、按照定义计算定积分 定积分的定义其实已经给出了计算定积分的，即求积分和的极限: nbf(x)dx,f(,),x,kklim,a(),0lT,1k 但在定义中，分法T是任意的，ξk的取法也是任意的，这给我们的计算带来了困难。因此，一般我们都是对已知是可积的函数才用定义求它的定积分。这时，我们可以选用特殊的分割T(比如用等分)和特殊的点ξk(比如取每个小区间的右端点、或左端点、或中点等等)来计算。 2y,x例1 求由抛物线，，及所围平面图形的面积。 x,[0,1]y,0 12解 根据定积分的几何意义，就是要计算定积分xdx .显然，这个定积分是存在的。 ,0 k,1,n取分割T为等份，并取，。则所求面积为: k,1,2,？,n,kn nn1k,111222Sxdx,,,lim(k,1)lim(),,3,0n,,n,,nnn,,1k1k = (n1)n(2n1)1,,lim =。 ,3n,,36n 二、积分上限函数 从上面的例子看到，用定积分的定义计算定积分是相当麻烦的。下面我们探讨计算定积分的简便方法。为此，先引入积分上限函数的概念。 设函数f(x)[a,b],x,[a,b]f(x)[a,x]在区间上可积，，函数在区间上可积。于是，由 x,(x),f(t)dt， x,[a,b] ,a x定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为积分上限函数。 x,(x),f(t)dt定理1(原函数存在定理) 若函数f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上处处可导，且,a xd,x,[a,b],(x),f(t)dt,f(x)，。 ,adx 此定理沟通了导数与定积分之间的关系，也就沟通了不定积分(原函数)与定积分的关系。同时也证明了 x,(x),f(t)dtf(x)连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了的一个原函数。 ,a三、微积分的基本公式 有了上述的定理1以后，就很容易证明下列的定理: f(x)[a,b]F(x)f(x)[a,b]定理2(微积分基本定理) 若函数在上连续，且存在原函数，则在上可积，且 bf(x)dx,F(b),F(a) ,a 这称为微积分基本公式，也称为牛顿—莱布尼茨公式。 bF(b),F(a)常记为F(x)，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写为: a bb f(x)dx,F(x),F(b),F(a),aa 有了牛顿—莱布尼茨公式后，计算定积分关键就是找的一个原函数。这就转化为不定积分的问f(x)F(x)题了。 例如，前面讲过的例1，用牛顿—莱布尼茨公式计算就很方便了。 12求 xdx,0 1123322解:先求函数的一个原函数。因为，取的一个原函数，则 xxdx,x，Cxx,33 111123 xdx,x,,0330 再看其它的例子。 1dx例3(求 2,01，x dx 解:已知,arctanx，C2,1，x 1dx,1arctanarctan1arctan0? ,x,,,,20041，x 可以看到，计算定积分与计算不定积分差不多，只不过就多写了积分的上下限。所以，熟练以后，上面的 步骤可不用分两步写，只写第二步即可，前面第一步可省略。 edx例4(求 ,1x 解:(略) 四、定积分的分部积分法 与不定积分的计算一样，定积分的计算也可以用分部积分法: bbbbbb,,u(x)v(x)dx,u(x)dv(x),u(x)v(x),v(x)du(x),u(x)v(x),u(x)v(x)dx ,,,,aaaaaa此式称为定积分的分部积分法。 2,xxedx例5(求 ,0 解:(略) 12arcsinxdx例6(求 ,0 解:(略) ,2nI,sinxdx例7(求 n,0 解:(略) 五、定积分的换元积分法 定积分的计算还可以使用换元法: f(x)[a,b],(x)[,],,定理3 若函数在上连续，在上连续可微，且满足 ,(,),a,(,),ba,,(t),bt,[,,,]，，，， b,,,则有 。 f(x)dx,f,((t)),(t)dt,f(,(t))d,(t),,,a,, 这就是定积分的换元积分公式。 应用定积分的换元积分公式计算定积分时，要注意积分上、下限的变化。 a22例8(求 a,xdx,0 122例9(求 x1,xdx,0 ln2x例10(求 e,1dx,0 上面几个例子都是被积函数带有根号的定积分，解题的思路是通过变量替换把根号去掉。注意换元后积分上、下限的变化。 例11(设函数在上连续，证明: f(x)[,a,a] aa若是奇函数，则 f(x)f(x)dx,2f(x)dx,,,a0 a若f(x)是偶函数，则f(x)dx,0 ,,a 例12(证明:若函数f(x)是以T为周期的连续函数，则 a，TTf(x)dx,f(x)dx ,,0a 讲解时注意讲清解题的思路、方法和技巧。 例12说明:以T为周期的连续周期函数，在任意一个长度为T的区间上的积分总是相等的。 掌握了定积分的计算后，有时可以利用定积分的定义计算某些和的极限。这时这个和应能够看作某一函数的积分和，那么根据定积分的定义，就可以把这个和的极限转化为某个函数的积分和的极限，从而转化为定积分。 nk例13(求极限 3,lim2n,,k,1n nk22n,k例14(求极限 ,lim3n,,n,1k