2010四川高考文科数学

2010四川高考文科数学 数学周报www.mwp.com.cn专业辅导数学学习 绝密?启用前 2010年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学(文史类) 本试卷分第?卷(选择题)和第?卷(非选择题)两部分.第?卷1至2页，第?卷3至10 页.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第?卷 注意事项: 1(答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2(每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上. (本试卷共12小题，每小题5分，共60分(在每小题给出的四个选项中，只有一项是3 符合题目要求的。 参考公式: 如果事件A、B互斥，那么 球的面积公式 2P(A+B) =P(A)+P(B) sR,4, 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A?B)=P(A)?P(B) 球的体积公式 42如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 ,,vR3 在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 kknk, PkCppkn()(1)(0,1,2,...),,,nn 一、选择题 (1)设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5， 7，8}，则A?B等于 (A){3，4，5，6，7，8} (B){3，6} (C) {4，7} (D){5，8} (2)函数y=log的图象大致是 x2 数学周报www.mwp.com.cn专业辅导数学学习 (A) (B) (C) (D) 2(3)抛物线的焦点到准线的距离是 yx,8 (A) 1 (B)2 (C)4 (D)8 (4)一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是 (A)12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6 2(5)函数的图像关于直线对称的充要条件是 fxxmx()1,，，x,1 (A) (B) (C) (D) m,,2m,2m,,1m,1 2(6)设点M是线段的中点，点A在直线外，， BCBCBC,16 ，则, ABACABAC，,,AM (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 ,(7)将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的yx,sin10 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是 ,,(A) (B) y,yx,,sin(2)sin(2)x,105 1,1,(C) (D) y,,,,yxsin()sin()x220210 (8)某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱 AA原料需耗费工时10小时可加工出7千克产品，每千克产品获利40元.乙车间加工一箱原 BB料需耗费工时6小时可加工出4千克产品，每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产为 (A)甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 (B)甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 数学周报www.mwp.com.cn专业辅导数学学习 (C)甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 (D)甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 (9)由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是 (A)36 (B)32 (C)28 (D)24 22xy(10)椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为(在椭圆A，,10a,b,x，，22ab 上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 211(A)(0，] (B)(0，] (C)[，1) (D)[，1) 21,222 112(11)设，则的最小值是 a,b,0a，，abaab,，， (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (12)半径为R的球的直径AB垂直于平面，垂足为B，是平面内边长为,aO,BCD的正三角形，线段、分别与球面交于点、RADMAC ，那么M、两点间的球面距离是 NN 1718(A) (B) RarccosRarccos2525 14(C) (D) ,,RR153 二、填空题 24(13)(x,)的展开式中的常数项为______________(用数字作答) x 22(14)直线与圆相交于A、B两点，则 . xy,，,250xy，,8,,,AB (15)如图，二面角的大小是60?，线段.， ,,,,lAB,,Bl,,,A ,ABAB与所成的角为30?.则与平面所成的角的正弦值是 . ,l, B(16)设S为复数集R的非空子集.若对任意x,yS,，都有xy,xy,xyS，,,，则称S为封闭集。下列命题: ?集合S,{a，b|为整数}为封闭集; a,b3 ?若S为封闭集，则一定有; 0,S ?封闭集一定是无限集; T?若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集. STR,, 数学周报www.mwp.com.cn专业辅导数学学习 其中真命题是 (写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分) 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内 1印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 6 (?)求三位同学都没有中奖的概率; (?)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. (18)(本小题满分12分) 在正方体ABCD,A′B′C′D′中，点M是棱AA′的中点，点O是对角线BD′的中点. D,(?)求证:OM为异面直线AA′和BD′的公垂线; C,(?)求二面角M,BC′,B′的大小; A,B, O, M,D C AB (19)(本小题满分12分) 1(?)?证明两角和的余弦公式; C:cos()coscossinsin,,,,,,，,,,,， 2 ?由推导两角和的正弦公式. S:sin()sincoscossin,,,,,,，,，C,,，,,， 431,(?)已知，求cos(),,，,,,,,,cos,(,),tan,(,),,,,,,,, 5232 (20)(本小题满分12分) 已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。 {}an (?)求数列的通项公式; {}an n,1*{}b(?)设baqqnN,,,,(4)(0,)，求数列的前n项和S nnnn 数学周报www.mwp.com.cn专业辅导数学学习 (21)(本小题满分12分) 1已知定点A(,1，0)，F(2，0)，定直线l:x,，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到2 直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分 别交l于点M、N (?)求E的方程; (?)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由. (22)(本小题满分14分) x1，a设(且)，g(x)是f(x)的反函数. f(x),a,0a,1x1,a (?)求; gx() t(?)当时，恒有()log成立，求t的取值范围; x,[2,6]gx,a2(1)(7)xx,, 1(?)当0,a?时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与的大小，并说明理由. n，42 数学周报www.mwp.com.cn专业辅导数学学习 数学(文史类)答案及评分参考 2315125,,,,( ,,，，,,13,,,,66627,,,, 25或( PABCABCABCABC,,，,,，,,，,,,，，27 25 答:三位同学中至少有两位没有中奖的概率为(„„„„„„„„„„„(12分) 27 (18)本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识，并考查空 间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力( 解法一 (?)连结AC，取AC的中点K，则K为BD的中点，连结OK( ,,因为点M是棱AA′的中点，点O是BD的中点， ??1,所以， AMDDOK,,2 ? 所以( MOAK, ,,由AAAK,，得 MOAA, ,,,因为AKBD,AKBB,AK,BDDB，，所以平面， ,AKBD,所以( ,所以( MOBD, 数学周报www.mwp.com.cn专业辅导数学学习 ,, 又因为OM与异面直线和都相交， AABD ,, 故OM为异面直线和’的公垂线(„„„„„(5分) AABD ,,,,(?)取的中点N，连结MN，则平面(过点N作于H，连BBMN,BCCBNHBC, ,,,结MH，则由三垂线定理得，(从而，为二面角的平面角( BCMH,，MHNMBCB,, 122设，则，( AB,1MN,1NHBN,,,sin45224 MN1在中，( Rt,MNHtan22MHN,,,NH2 4 ,, 故二面角的大小为(„„„„„„„„„„„(12分) MBCB,,arctan22 解法二 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(设，则，AB,1Dxyz,A1,0,0，， ,,,，，，，( B1,1,0C0,1,0A1,0,1C0,1,1D0,0,1，，，，，，，，，， ,(?)设平面的一个法向量为nxyz,,,( BMC，，1 1,,,BC,,1,0,1 ，( BM,,0,1,，，,,2,, 1,,nBM,0,,，,yz0,,,1 即 2,,,nBC,0.,,1,,，,xz0., z,2n,2,1,2 取，则，(从而( y,1x,2，，1 ,,n,0,1,0 取平面的一个法向量为( BCB，，2 数学周报www.mwp.com.cn专业辅导数学学习 nn1112 ( cos,nn,,,12391nn12 ,, 由图可知，二面角的平面角为锐角， MBCB,, 1,, 故二面角的大小为(„„„„„„„„„„„(12分) MBCB,,arccos3 ππ,,,,?由?易得，，( ,,,,cossin,,sincos,,,,,,22,,,, ππ，，，，,, ,,,,,,sincoscos，,,，,,，,，，，，，，,,,,,,22，，,,，， ππ,,,,,,,, ,,,,,,coscossinsin，，，，,,,,22,,,, ,，sincoscossin,,,,( ？，,，sinsincoscossin,,,,,,(„„„„„„„„„„„(6分) ，， 34,,(?),，( ,,,,π,πcos,,25,, 数学周报www.mwp.com.cn专业辅导数学学习 3( ？,,,sin5 π1,,，( ,,,,,,πtan,,23,, 31010，( ？,,,,,sincos1010 coscoscossinsin,,,,,,，,,，， ,,4310310310,,,, („„„„„„„„„(12分) ,,，,,,，,,,,,,,,,55101010,,,,,, n,1(?)由(?)得解答可得，，于是 bnq,n 0121n, ( Sqqqnq,，，，，123n 121nn, 若，将上式两边同乘以q有( q,1qSqqnqnq,，，，,，121，，n 两式相减得到 nn121, qSnqqqq,,,,,,,11，，n nq,1n ,,nqq,1 nn，1nqnq,，，11，， ( ,q,1 nn，1nqnq,，，11，，于是( S,n2q,1，， nn，1，，若，则( q,1Sn,，，，，,123n2 数学周报www.mwp.com.cn专业辅导数学学习 nn，1,，，,1,q,，，,2,所以，„„„„„„„„„„„„„(12分) S,nn，1,nnqnq,，，11，，,,1.q,，，2,q，，,1, 2y2与双曲线方程联立消去得 x,,1y3 2222( (3)4(43)0,，,，,kxkxk 2由题意知，且( 30,,k,,0 224k43k，设，则，， BxyCxy(,),(,)xx,xx，,1122121222k,3k,3 22 yykxxkxxxx,,,,,，，(2)(2)[2()4]11112222 22438kk，2 ,,，k(4)22kk,,33 2,9k ( ,2k,3 因为， xx,1,,12 y3y111ABM所以直线的方程为，因此点的坐标为， yx,，(1)(,)x，122(1)x，11 3y31( FM,,(,)22(1)x，1 数学周报www.mwp.com.cn专业辅导数学学习 3y32同理可得( FN,,(,)221x，2 339yy12因此 FMFN,,，,，()()22411xx，，，，，，12 2,8k 29k,3 ,，224,,434kk，41，，,,22kk,,33,, ( ,0 (22)本小题考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合 等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力( y,1x解:(?)由题意得，， a,y，1 x,1故，(„„„„„„„„„„„„„„„„(3分) x,,,,，,(,1)(1,)gx()log,ax，1 xt,1(?)由得 gx()loglog,,aa2xxx，,,1(1)(7) xt,1?当时，( a,1,,02x，1xx,,17，，，， 2又因为x,2,6，所以017,,txx,,( ，，，，,, 232hxxxxxxx,,,,,，,，,179157,2,6令， ，，，，，，,, 2,则hxxxxx,,，,,,,,31815315( ，，，，，， 数学周报www.mwp.com.cn专业辅导数学学习 列表如下: x 2 5 6 2,55,6，，，， , + 0 , hx，， 5 25 ? 极大值32 ? hx，， 所以， hx,5，，最小值 所以( 05,,t 当时， n,2 ,设，时， k,2k,N k122，a则( fk,,，,，11，，122kkkk1,，，，aCpCpCp11，,p，，kkk 2244所以( fk,，,，,，,111，，12CCkkkk，，，11，，kk 44从而( fffnnn2311，，，,,，,，,，，，，，，21n，所以( fffnfnn12114，，，，，,，,，，，，，，，， 综上(„„„„„„„„„„(14分) fffnn124，，，，,，，，，，，