函数的幂级数的展开与技巧

函数的幂级数的展开与技巧 1引言 函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之 前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地 位。一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用 积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。 2 泰勒级数 f泰勒定理指出:若函数在点的某个邻域内存在直至阶的连续导数，则 xn0 2xx,，，0'' fxfxfxxxfx,，,，，，，，，，，，，，00002! nxx,，，0(n) ， (1) ，，，fxRx，，，，0n!n n，，，，ox,x这里=称为皮亚诺型余项。如果增加条件“有阶连续，，n，1Rx，，fx0n 导数”，那么还可以写成三种形式 ，，Rxn 1n，1n，1，，Rxfxx,,,() (拉格朗日余项) ，，，，n0n，1!，， 1nn，1(1)n， (柯西余项) ,，,,,fxxxxx,,[()]1，，，，00n! x1(1)，nn ， (积分型余项) ,,ftxtdt，，，，,x0n! f如果在(1)中抹去余项，那么在附近可用(1)式中右边的多项式来近似代，，Rxxn0 替。 f如果函数在处有任意阶的导数，这时称形式为: x,x0 n，，fxfx"，，，，2n00fxfxxxxxxx，,，,，，,，' (2) ，，，，，，，，，，000002!!n ff的级数为函数在的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在附近确切地达，xx00 ff或说在泰勒级数在附近的和函数是否就是，这是我们现在要讨论的问xx00 题。下面我们先看一个例子: , ,,1例1 由于函数 1,,,2x,ex,0,, ，，fx,, ,0,0,x,, ，，nf在处的任何阶导数都为0，即 所以在处的泰x,0，，x,xf0,0,n,1,2,？,0 勒级数为: 002n ， 0，0,x，x，？，x，？2!n! 上收敛，且其和函数， 由此看到对一切都有 显然，它在x,0，，，，,,,，,Sx,0 ， ，，，，fx,Sx 这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有 ，，limRx,0 n,,n 时才能够。 的展开式。这时(2)也可以写成 在实际应用上主要讨论在x,00 '''，，nf0f0f，，0，，，，2n，，f0，x，x，？，x，？， 1!2!n!称为麦克劳林级数。 3 函数的幂级数展开与技巧 3.1一般的泰勒展开法(直接展开法) 我们主要通过例题来表现幂级数的展开与技巧:首先用直接展开法讨论初等 函数的幂级数展开形式。通常有三种展开思路:1、统一用柯西余项来估计余项 RxRx;2、统一用积分余项来估计余项;3、柯西余项(或积分余项)结，，，，nn Rx合拉格朗日余项来估计余项。本文采用第二种思路。 ，，n 例2 求k次多项式 2k，， fx,c，cx，cx，？，cx， ，，k,N012k的展开式。 解:由于 , ncnk!,,,nk，， f0,，，,0,nk,, 总有 ，，， limRx,0nn,, 因而 k，，'ff00，，，，'2kfxffxxx,，，，，00 ，，，，，，2!!k 2k， ,，，，，ccxcxcx012k即多项式函数的幂级数展开就是它本身。 x，，fx,e例3 求函数的展开式。 解:因为 ，，，，nxn， ， ，，，，fx,ef0,1，，n,1,2,？,,,,，,x(,)有 x1(1)，nn Rxftxtdt,,()()()n,0n! nxx1ntx()n,,， ; 10,,,,exdte,0!!nn 从而 111x2n， 。 e,1，x，x，？，x，？，，x,,,,，,1!2!n! 例4 求函数的展开式。 ，，fx,sinx 解:由于 n,,,，，n，，n,1,2,？fx,sinx，，， ,,2,,,,,,，,x(,)有 x1(1)，nn Rxftxtdt,,()()()n,0n! x11n，n,,，,sin()()txtdt ,0n!2 , n，1xx1n()n,, ，; ,,xdt,,01,0n!!n 所以 在 内能展开为麦克劳林级数: ，，，，fx,sinx,,,，, 352n,1xxxn，1，，sinx,x,，，？，,1，？ ; ，，3!5!2n1!,同样可证(更简单的方法是对上面的展开式逐项求导): sinx 242nxxxn，，cosx,1,，，？，,1，？ 。 ，，n2!4!2! ,,1例5 求函数fxx,，ln1的展开式。 ，，，， fxx,，ln1解:注意到，函数 的各阶导数是 ，，，， n,1!，，n,1，，n，，，，fx,,1 ， n，，1，x 从而 n,1n，，fn011!,,,， ，，，，，，,,,x(1,1)有 x1(1)，nn Rxftxtdt,,()()()n,0n! ,,n1xx1xt,1nnn,,,，,ntxtdt(1)!(1)(),()dt; ,,00n!11，，xt xt,xt,tx,[0,][,0]x注意到，当或时，不变符号且关于变量单调，因此总是t1，t1，t nxt,0在时取最大值，从而 x1nn()n,,Rxxdtxx,,，,()ln(1)0，; n,0，t1 f所以的麦克劳林级数是 234nxxxx,n1,，,,，,，，,，ln11fxxx， (3) ，，，，，，234n R,1x,1x,,1用比式判断法容易求得(3)的收敛半径，且当时收敛，时发散， , 故级数域。 (1,1], 将(3)式中换成就得到函数 fxx,ln在处的泰勒展开式: x,1x,1x，， 231n,xxx,,,111，，，，，，n,1， lnxx,,,，，，,，11，，，，，，23n它的收敛域为。 (0,2] mfxx,，1例6 讨论:二项式函数展开式。 ，，，， f解:当为正整数时，有二项式定理直接展开得到的展开式，这已经在前m 面例2中讨论过了。 下面讨论不等于正整数时的情形，这时: m mn,n，，fxmmmnx,,,，，111n,1,2,，， ，，，，，，，， n，，fmmmn011,,,，n,1,2,，; ，，，，，， 于是的麦克劳林级数是 ，，fx mmmmmn,,,，111，，，，，，m2n11，,，，，，，xmxxx， (4) ，，2!!n R,1运用比式判别法可得(4)的收敛半径。 ,,,x(1,1)mN,*mN,*设(由二项式定理易证的情形)，有 x1(1)，nn Rxftxtdt,,()()()n,0n! x1,,1mnn ,,,，,mmmntxtdt(1)()(1)(),0n! xmmmnxt(1)(),,,,1nm,,，()(1)tdt ,0nt!1， xmmmn(1)(),,,1nm,,，xtdt(1) ,0n! m1，x，，mmmn(1)()1,,n()n,,,0，。 ,,,xnmm! mmmn(1)(),,mmmn(1)(),,nnxx由比式判别法知级数收敛，故通项,n!n! 趋于0,因此 , 。 lim()0Rx,n,,n 所以，在上有 ，，,1,1 mmmmmn,,,，111，，，，，，m2n11，,，，，，，xmxxx ， (5) ，，2!!n对于收敛区间端点的情形，它与的取值有关，其结果如下: m 当时，收敛域为;当时，收敛域为;当时，m,1,,,10mm,0，，，,,1,1,1,1收敛域为;在(5)式中，令就得到 m,,1,,,1,1 1n2n ， (6) ，，，，,1,x，x，？，,1x，？,,1,11，x 1当时，得到 m,,2 111313523，,,1,x，，x,，，x，？,,1,1 。 (7) 2242461，x 22例7 以与分别代入(6) (7)得到 x,x 1n242n， (8) ，，，，,1,x，x，？，,1x，？,,1,121，x 1113135246，,,1，x，，x，，，x，？,,1,1， (9) 22242461,x 对于(8) (9)分别逐项可积，可得函数与arcsinx的展开式 arctanx xdt arctanx,2,01，t 2521n，xxxn[1,1],,,，，，,，1x，， ，，3521，n xdtarcsinx, ,201,t 35721n，21!!n,113135xxx，，x,，，,,，,,,x。 ，，，,,,1,1x,,2324524672!!21nn，，，这说明，熟悉某些初等函数的展开式，对于一些函数的幂级数展开是极为方便的， 特别是上面介绍的基本初等函数的结果，对于用间接方法求幂级数展开式特别有 用。 , 3.2 通过变形、转换、利用已知的展开式 2fxxx,，，ln43例8 将函数展开式的幂级数并指出收敛半径。 x，，，， ln1，x分析:将变为的形式。 ，，fx，， 解:因为 2fxxx,，，ln43 ，，，， ,，，ln3xx1,，，，ln3ln1xx ，，，，，，，， xx,,,,,，，，ln31ln1x,，，，，ln3ln1ln1x ，，，，,,,,33,,,, n，1,,11xnn,,n1，，,x1 ,，,ln31，，，，,,,,n，1n，13,,n0,n,0 n，1,113，nn，1,，,,ln31xR,1，。 ，，,n，1n，13n,0 26xy,1,x例9 求的麦克劳林展开式(至含的项)。 解:由于 mm,1mmmn,,，11，，，，，，m2n11，,，，，xmxx，，x， ，，2!n!故 2yx,,1 2311111111222 ,，,，,,，,,,，1(1)(1)(2)xxx，，，，，，22!223!222 111246， ,,,,，1xxx2816 1因 故收敛区间为。 m,,0,,,1,12 2,,x,,24,,x例10 将展开成的幂级数(至含项)。 ，，fx,1，cosxx,,2,, 解:由的展开式得 cosx 12 。 fxxxx()coscos,，2 , 24224,,,,xxxxx ,,，，，,,，，11,,,,2!4!22!4,,,, 54 ,,，1x24 3.3 利用逐项积分方法 ,,22fxxx,，，ln1例11 将函数展开成的幂级数，并求其收敛区间。 x，，，， 11，分析:该题可化为ln1，x的形式展开，但这样的展开式中变成的，，2x 幂次，而不是的幂次，我们知道: x '12，，ln1xx，，,， ，，,,2，，1，x 1将展开再积分就方便了 。 21，x 解:因为 '1'2，，fxxx,，，,ln1， ，，，，,,2，，1，x而 11,2,，1x， ，，2，1x 113135246,,,11x，， ,,，,,,,，1xxx，，224246 对上式两端积分可得: 113135,,,2357， lnxxxxxx，，,,，,，1，，23245246,,,,,,7x,,1当时，上式为交错级数， 21!!n,，，1， 0,,,un2!!21nn,,，，21n， limu,0u,ux,,1显然有 且，依莱布尼茨判别法知:当时，级数收敛，nnn，1,n,, 因此收敛区间为。 ,,,1,1 , 3.4 逐项微分法 2x,,de,1例12 将展开成的幂级数。 fx,,x，，,,dxx2,, 分析:先展开，再逐项微分。 解:因为 2n2x,,22xx，，，，e,11 ,，，，，2x,,,,222!!xxn,, nn,,1122xx,，，，，1， 2!!n注意到，所以 ，，f0,1 21xn,,,,,dedx,1n,1nn12n,1,,，,,,,，,x。 2,,,2x，，,,,,dxxdxn2!n，1!，，n,1n1,,, dxcos1,,,,例13 将展开成的幂级数。 x,,dxx2,, 解:因为 21n,,cos1xx,nx,,,，,,，， ,,1，，，，,22!xn，，n,1 所以 ,dxncos1121,,n,,22n, 。 ,,,,1x，，,,,dxxn222!，，,,1n, 注:值得注意的是逐项积分法或逐项微分法，常常在区间内部进行，但并不 是绝对的，这里就不再证明了。 3.5 待定系数法 ,,3例14 求下列函数的幂级数展开。 2lnxx，，1，，xsin,(1); (2)。 22,，12cosxx,1，x 解:(1) 设 2lnxx，，1,，，n， yax,,,n2n,01，x , 因为 2，，lnxx，，1，，1',,yx,,1 ， 2,,21，x1，x,,，， 2'11，,,xyxy，故 所以，， ,,21nn,11，,,xanxxax ，，,,nnnn,,10 即 ,naaxananx，，，，,211，， ，，，，,1211nn，,，，2n, ,n,,,1axax， ,01n,0n,比较系数得: ， ， ，， a,12a,,a42aaa，,,3a，a,,a？203111422由，得: ，，y0,0,a,00 ， a,02n 2n!!，，224n，，a,,1，，， a,,a,1a,,,,2，1n351，，2n，1!!335从而 ,2!!n，，n21n，，,,,11x。 ,,yx1，，,，21!!n，，n0, (2)设 ,,sinxny,,ax， ,n212cos,,x，x0n,则 ,2nxxxaxsin12cos,,,,， ，，,nn0, 23 ,，，，，aaxaxax 0123 23,,2cosax,,,，2cos2cosaxax,, ，，，，，，012 ,, 23， ，，，axax01 比较等式两边同次幂系数得: ，，，， an,sin,a,0a,sin,01n这里利用了三角恒等式 n,2,3,sin12sincossin1nn，,,,,,,,， ，，，， 所以 xxsin 212cos,，xxx 2n,，，，xxxnsinsin2sin,,,。 ,n,xnsin, ,n,1 3.6 微分方程法 2lnxx，，1，，,,4例15 求的幂级数展开形式。 21，x 注:在前面例14中用待定系数法已求出幂级数展开式，现在用微分方程法 n，，,f0，，n，，nf0计算，从而得到 。 x，，,n!0n, 解: 设 2lnxx，，1，，， y,21，x因此 2，，xxx,，，ln1，，1',,y,,1， 2,,21，x1，x,,，， 即 2'， 〈1〉 ，，1，xy,1,xy由〈1〉两边同时求阶导数得: n 2，，1，n，，，，n2n,1， 〈2〉 ，，，，1，xy，2n，1xy，ny,0 ,, 令 得: x,0 ，，，，1，nn,12， 〈3〉 y,,ny00这儿下标“0”表示在处的值，在〈1〉式中令得: x,0x,0 '， y,10 在〈3〉式两边微商一次得， '2'''， 2xy，，，1，xy,,y,xy ''令，知，得: x,0y,,y,00 '"y,1，y,0， 00 代入公式〈3〉得: 2n2n，21n，，，，n,1,2,y,0， ，， yn,,12!!，，，，，，，，00，，故 22lnxx，，1,，，，，2n!!，，n，，n，21 〈4〉 ,,1x，，,221!!n，，，n,01，x 这里“”表示右边的级数为左边函数的泰勒级数，容易证明右边的级数的收敛, R,1ySx,半径，利用逐项微分法可以验证级数的和函数是〈1〉给定的微分，，方程的解，且，而函数 ，，S0,0 2lnxx，，1，， y,21，x ,在x,,1处连续，故〈4〉式中“”改为“”对x,,1也成立。 , 3.7 利用级数的运算 例16 利用函数的幂级数展开，求下列极限。 x,arcsinxlim(1); (2)。 limln1lnnnn，，，,，，3，，x,0n,,sinx 解:(1)因为 limln1lnxxx,，,，，，，，，x,, 11111,,x,,,，,,lim ,,23x,,xxx23,, ,, 1111,,,,,，,,,lim11， ,,22x,,xx23,, 所以 。 limln1ln1nnn，，，,,，，，，n,, (2)由基本初等函数的幂级数展开式得 ,，，2,1!!n2n1，arcsinx,x，x， ,n，，2!2，1nnn0, 2n,13,，，3n321n，xx， sin1,,,，，,n421!，，，,n1 x,arcsinx代入，即得 3sinx ,21!!n,，，21n，xxx,,,n2!21nn，，，xx,arcsinn1, limlim,32nxx00,,,sinx13,，，3n21n，,,1x，，,421!n，，，n1, 13,，x123，lim,,, 。 x,06,，,18，，，，33x，,,43!，， 11,,3例17 计算积分。 lndx,01,x 解:因为 231xxx,1lnln1,,,,，，，xx ，， ，，123,x x,r,(r,1)x,1故级数在上一致收敛，故可逐项积分。当时有 234x1xxxlndt,，，，， ,01122334,,,,t x,1而当时有 23xx，， 1223，， 111 ,，，，122334，，， ,, 11111,,,,,,,,，,，,，,11 ， ,,,,,,22334,,,,,, 由阿贝尔定理得 234x,,1xxx， limlnlim1dt,，，，,,,,0,,,,xx10101122334t,,,,,, 即 11 。 ln1dx,,01,x 4结论 我们是在泰勒级数基础上研究幂级数的展开式，利用以上几种方法可以对“幂级数的展开式”这一块内容有深刻的认识，且利用这些展开式解决问题，为我们在今后研究幂级数中提供了工具。 致谢 对在研究及撰写过程中给予帮助的组织或个人表示衷心感谢～ ,, 参考文献: [1] 数学分析.第三版.华东师范大学数学系，2002，52-58. [2] 高等数学精选题解.华中理工大学出版社，2000，492-498. [3] 数学分析内容方法与技巧.华中科技大学出版社，2003，164-178. [4] 裴礼文.数学分析中的典型问题与解法.第二版.高等教育出版，2003，447-453. [5] 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲.北京:高等教育出版社，1982，125-162. [6] 数学分析.复旦大学数学系编.第二版(下册).高等教育出版社，2002，324-336. [7] 钱吉林.数学分析题解精粹.武汉:崇文局，2003，213-238. [8] 吴良森，毛羽铭.数学分析习题精解.北京:科学出版社，2004，58-127. ,,