磁路及电感计算

磁路及电感计算PAGE1PAGE40第三章磁路和电感计算不管是一个空心螺管线圈，还是带气隙的磁芯线圈，通电流后磁力线分布在它周围的整个空间。对于静止或低频电磁场问题，可以根据电磁理论应用有限元分析软件进行求解，获得精确的结果，但是不能提供简单的、指导性的和直观的物理概念。在开关电源中，为了用较小的磁化电流产生足够大的磁通(或磁通密度)，或在较小的体积中存储较多的能量，经常采用一定形状规格的软磁材料磁芯作为磁通的通路。因磁芯的磁导率比周围空气或其他非磁性物质磁导率大得多，把磁场限制在结构磁系统之内，即磁结构内磁场很强，外面很弱，磁通的绝大部分经过磁芯而形成一个固定的通路。在这种情况下，上常常忽略次要因素，只考虑导磁体内磁场或同时考虑较强的外部磁场，使得分析计算简化。通常引入磁路的概念，就可以将复杂的场的分析简化为我们熟知的路的计算。3.1磁路的概念从磁场基本原理知道，磁力线或磁通总是闭表3.1磁电模拟对应关系磁路电路磁动势F电动势E磁通电流I磁通密度B电流密度J磁阻Rm=l/A电阻R=l/A磁导Gm=A/l电导G=A/l磁压降Um=Hl电压U=IRRm=(3.3)Rm—称为磁路的磁阻，与电阻的表达式相似，正比于路的长度l，反比于截面积A和材料的磁导率；其倒数称为磁导(3.3a)式(3.1)即为磁路的欧姆定律。在形式上与电路欧姆定律相似，两者对应关系如表3.1所示。磁阻的单位在SI制中为安/韦，或1/亨；在CGS制中为安/麦。磁导的单位是磁阻单位的倒数。同理，在磁阻两端的磁位差称为磁压降Um，即Um=Rm=BA×=Hl(安匝)(3.4)引入磁路以后，磁路的计算服从于电路的克希荷夫两个基本定律。根据磁路克希菏夫第一定律，磁路中任意节点的磁通之和等于零，即(3.5)根据安培环路定律得到磁路克希菏夫第二定律，沿某一方向的任意闭合回路的磁势的代数和等于磁压降的代数和(3.6)或(3.6a)AφIlF=NIRN(a)(b)图3.1环形磁芯线圈和等效磁路式(3.5)对应磁场的高斯定理，即穿过任何闭合曲面的磁通之和为零。而式(3.6)则为磁路的欧姆定律。应当指出的是磁路仅在形式上将场的问题等效成路来考虑，它与电路根本不同：(1)电路中，在电动势的驱动下，确实存在着电荷在电路中流动，并因此引起电阻的发热。而磁路中磁通是伴随电流存在的，对于恒定电流，在磁导体中，并没有物质或能量在流动，因此不会在磁导体中产生损耗。即使在交变磁场下，磁导体中的损耗也不是磁通‘流动’产生的。(2)电路中电流限定在铜导线和其它导电元件内，这些元件的电导率高，比电路的周围材料的电导率一般要高1012倍以上(例如空气或环氧板)。因为没有磁“绝缘”材料，周围介质(例如空气)磁导率只比组成磁路的材料的磁导率低几个数量级。实际上，磁导体周围空气形成磁路的一部分，有相当部分磁通从磁芯材料路径中发散出来，并通过外部空气路径闭合，称为散磁通。对于磁路中具有空气隙的磁路，没有磁芯的空心线圈更是如此。一般情况下，在磁路中各个截面上的磁通是不等的。附带说明：这里所谓“散磁通”是指所有不经过整个磁芯磁路的磁通。因为在上一章我们定义了漏磁通只在耦合磁路中存在。散磁通也可能是互感的一部分，如果采用电磁电器中不经过主气隙的磁通（不产生力）就是漏磁，对应的电感称为漏感，就会在变压器中造成混淆，故引出散磁通。(3)在电路中，导体的电导率与导体流过的电流无关。而在磁路中，磁路中磁导率是与磁路中磁通密度有关的非线性参数。即使磁通路径铁磁结构保证各处截面积相等，但由于有散磁通存在，在磁芯中各截面的磁通密度仍不相等。磁芯材料非线性使得不同，导致相同磁路长度，不同的磁压降。需要由磁通求磁阻，又由磁阻求磁通反复试探，作出系统的磁化曲线，这样工作量很大。虽然空气的磁导率是常数，但气隙磁场与结构有关，很难准确计算。(4)由于有散磁通的存在，即使均匀绕在环形磁芯上的两个线圈也不能做到全耦合，漏磁通一般很难用分析的方法求得，通常采用经验公式计算。（5）直流（即恒定）磁场已经相当复杂，如果是交流激励的磁场，在其周围有导体，在导体中产生涡流效应，涡流对激励线圈来说相当于一个变压器的次级，涡流产生的磁通对主磁通产生影响，磁场分布更加复杂。可见，磁路计算是近似的。为了得到较精确的结果，首先应对静态磁场分布情况应当有较清晰的概念，才能作出合乎实际的等效磁路。例3：一个环形磁芯线圈的磁芯内径d=25mm，外径D=41mm,环高h=10mm（见图例3）。磁芯相对磁导率μr＝50。线圈匝数N＝50匝。通入线圈电流为0.5A。求磁芯中最大、最小以及平均磁场强度，磁通，磁链和磁通密度。解：磁芯的截面积磁路平均长度线圈产生的磁势dDh图例3磁芯中最大磁场强度发生在内径处最小磁场强度发生在外径处平均磁场强度磁芯中平均磁通密度磁芯中磁通或磁芯线圈的磁链从磁芯中最大和最小磁场强度可以看到，内外径相差很大，可见磁芯中磁通密度是不均匀的。一般希望内径与外径比在0.8左右。3.3磁芯磁场和磁路3.3.1无气隙磁芯磁场如果电路中两点之间有电位差，就可能在两点之间产生电流。同理，在磁路中两点之间有磁位差，在两点之间就可能产生磁通。图3.2(a)所示为一等截面环形磁芯，线圈均匀分布在磁芯上。这种磁路系统完全对称，可以应用相似于电路中电位分析方法，作出磁位分布图。根据磁位分布图，可以了解散磁场的分布，确定等效磁路。(A)均匀绕线环形磁芯首先在磁路的平均长度上选取一点(或一个截面)作为磁位的参考点(即x=0)，并假定沿磁芯中磁通的正方向x取正值，然后求磁路中某x点相对于参考点的磁位差Ux。根据磁路克希荷夫第二定律，沿图示虚线闭合回路得到Fx=Ucx+Ux(3.7)式中Fx－0x段磁路所匝链的线圈磁势，Ucx－0x段磁芯的磁阻压降。由于线圈均匀绕，所以x段线圈匝数为Nx=Nx/l，x段磁势(3.8)FNNIφ0lxF=NIRmxUcxNIфUxlxxI0lxx=0(a)(b)(c)图3.2等截面均匀绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路磁芯中的磁场强度H=IN/l，应有（3.9)式中IN—线圈总磁势；l—磁路平均长度。因此，沿磁路平均长度展开，Fx和Ucx的分布情况如图3.2(b)所示。由图3.2(b)可见，Ucx的分布和Fx完全相同。由式(3.7)得到x点与基准的磁位差Ux=Fx-Ucx(3.10)也就是说，将图形Fx减去Ucx图形，就得到Ux分布情况。显然,Ux处处为零（式(3.8)~(3.9)。即等截面均匀绕线的环形磁铁任意点间没有磁位差，即等磁位。在环外不会有任何散磁通，磁力线局限于导磁体内。根据式(3.1)和(3.3)，因为磁场集中在线圈磁芯内，各截面磁通相等，故可将磁势和磁阻画成集中元件。图3.2(a)的等效磁路如图3.2（c）所示。(B)集中绕线的等截面环形磁芯将图3.3(a)中磁芯线圈集中绕在一边。如果线圈长度为lw，取其线圈中点为参考点。应用相似的方法，得到磁势Fx分布图(图3.3(b))。在x方向lw/2至l-lw/2段，没有增加匝链磁势，故为一水平线。如果有散磁存在，磁芯各截面的磁通密度和Hx不再是常数，Ucx也就不能用式(3.9)来计算。如果散磁通的比例很小，假设Hx为常数，可以作出Ucx分布图如图3.3(b)。由上述两个图相减，就得到磁位差Ux分布图。由图可见，除对称轴(x=0和l/2)外，磁路中Ux都不等于零，因此有散磁通分布于圆环周围空间，如图3.3(c)所示。由于对称，通过x=0和x=l/2的平面定义为0等磁位面。在磁芯中存在若干磁位相等的磁位面，简称0等位面Flw/2φINRiφσφlφsUcxlw/2lxRσRlφlwINFIUxlxxx=0lw/2lx(a)(b)(c)图3.3等截面集中绕线环形磁芯磁位分布图和等效磁路等位面。和电场一样，在周围空间也存在等磁位面，磁力线垂直于等位面，终止在电流上（图1.3~1.4和图3.3(a)）。由图3.3(a)可见，在磁芯中x=0处磁通最大，由于磁芯截面积是均匀的，x=0处的磁通密度也就最大；而x=l/2处,磁通最小，磁通密度最低。在+lw/2和-lw/2之间磁位差最大，因此磁力线最密。尽管散磁通是分布的，在画等效磁路时，可近似等效为散磁通是在最大磁位差的地方(±lw/2)流出的。因此有φ＝φc＋φs式中φc－全部经过磁芯的磁通；φs－“散”磁通。散磁通φs是部分通过磁芯经过周围空气路径闭合的磁通。如果是电感线圈，它是电感磁通的一部分；如果是变压器，φs可能是主磁通的一部分，其余是漏磁通，也可能全部是漏磁通，即部分或全部不与次级耦合。等效磁路如图3.3(c)所示。图中Ri=lw/μA－lw段磁阻，相当于总磁势的内阻；而Rl=(l-lw)/μA－lk以外的磁芯磁阻。Rs－散磁磁阻，则由经验决定。(C)有气隙时环形磁芯磁场图3.4(a)为线圈均匀绕，等截面环形有气隙为的磁芯线圈。线圈磁势降落在磁芯和气隙两部分式中Hc和H分别为磁芯和气隙的磁场强度。虽然气隙不大，因空气磁导率比磁芯磁导率低得多，所以气隙磁场强度H比磁芯磁场强度Hc大得多。因此，H占有总磁势的较大的比例。仍然取线圈中心为参考。F，Hcl和H的分布图如图3.4(b)中实线所示，磁芯的磁势图为线性增加。如仍假设Hc为常数，与没有气隙一样，Ux不等于零，因此，也有散磁通s，所不同的是对称面左右两侧的磁位差比前者大，所以散磁通也大。当磁芯有气隙时，集中绕线将对称线圈放置在气隙正对面（图3.4(c))时，磁位分布图如图3.4（b）中虚线所示，在大部分磁通路径上，磁位差很大，从图(c)看到，集中绕线比均匀分布绕线具有更大的散磁。如果将集中对称线圈放置在气隙上，在绕线长度上磁势大部分降落在气隙上，在线圈以外的磁芯上磁位差很小，散磁也很小，如图(b)中虚线所示。AFAINIUcxlxlIX=0lINNUxlxN0lx(a)(b)(c)图3.4磁路中有气隙时磁位分布图3.3.2E型磁芯磁场和等效磁路E型磁芯是最常用的磁芯形状。其它形状如C型（硅钢片），ETD型，EC型，RM型等等（铁氧体）的等效磁路与E型相似。这些磁芯，为了便于装配线圈，通常是两个相同的“E”形状磁芯开口相对合成一个封闭磁芯。根据等截面原理，E型磁芯（图3.5）的两个边柱的截面积之和等于中柱截面积。线圈一般绕在中柱上。无气隙时等效磁路和磁位图半个E型磁芯尺寸如图3.5所示。中柱的截面积A2A1DEACFB图3.5E型磁芯尺寸图边柱截面积端部面积将两个磁芯柱端相对合在一起，形成闭合磁路，称为变压器磁芯（图3.6(a)）。中柱上绕有激励线圈N。假设忽略散磁通，则在磁芯整个截面上磁通密度是均匀的，磁通的平均路径如图中虚线所示。因此因此各磁路段磁阻为R1R2R3磁路总激励磁势F=NI，其等效磁路如图3.6(b)所示。如果进行磁位分析，磁位分布图相似于图3.4。因集中线圈占平均磁路长度的大部分，比环形磁路短，磁芯磁导率很高，散磁通很少，通常忽略周围空气中磁场。因为两个边柱是对称的，可合并成一路，R2’=R2/2=l2/2μA2，R3’=R3/2=l3/2μA3。简化的等效磁路如图3.6(c)所示。中柱通过的磁通（3.11）因为A1=2A2=2A3,因此R=R1+R2’+2R3’=2(l1+l3)/μA1=1/G。式(3.11)可简化为=NIG(3.11a)式中G－总磁导。最后等效磁路如图3.6(d)所示。l3R3R3R3φ1φ2R1φ2R2R1φl2=l1R2φ1φR2F=INR(G)F=NIF=INR3R3(a)(b)(c)(d)图3.6E型磁芯等效磁路(B)带气隙E型磁芯带气隙的E型磁芯线圈一般作为直流滤波电感或反激变压器。如果线圈匝数为N,激磁磁势为F=NI。它的磁位分布图类似集中线圈的带气隙环形磁芯磁位图。当带有气隙时，一般可能有两种情况：EE型磁芯中柱和边柱相同的空气隙，边柱气隙和中柱气隙相等，以及只有中柱气隙。l2FFl1ININA0x0xUCINUCINxδ/20x0xx=0UcxUcxδ0x2l1+δxδ/2δ/22l1+2l2+δ(a)(b)(c)图3.7E型磁芯中柱、边柱有气隙和只中柱有气隙磁位图因磁芯磁导率远大于空气磁导率，尽管气隙长度很小，但磁阻很大（式3.3）。两种情况磁位图3.7(b)和图3.7(c)所示。比较图(b)和图(c)可见，图(b)在很长的磁路上磁位差较大，尤其在边柱部分较大，这样引起较大的散磁通。如果磁场是脉动的，将对周围电路引起严重的干扰磁场。而图(c)仅在中柱有较大的磁位差，在相同的磁势下，磁位差明显小于图(b)。这说明仅中柱有气隙比三个芯柱都有气隙好。3.3.3气隙磁导的计算（A）气隙尺寸相对端面尺寸很小时磁导计算在图3.4和图3.7中，如果气隙相对气隙端面尺寸很小(<5%),可以忽略散磁，认为磁芯气隙端面面积就是气隙截面积。因此气隙磁导(3.12)对于E型磁芯，如果只是中柱带有气隙，同时气隙尺寸δ<<(C,D)时，气隙磁导如果中柱和边柱都带有相同的气隙δ，则中柱（G1δ）和一个边柱(G2δ)磁导分别（尺寸参看图3.5）为G1δ和G2δ总的气隙磁导(3.13)aδφ图3.8边缘磁通(B)气隙较大时，气隙磁导计算在大多数情况下，气隙相对端面尺寸较大，磁通不仅经过磁芯的端面，而且还通过气隙的边缘，尖角，气隙附近的磁芯侧表面流通（图3.8），这些磁通通常统称为边缘磁通。端面磁导仍然可按式（3.12）计算。边缘磁通计算十分复杂，有分析法，经验公式法，许多文献进行了讨论。对于规则形状可按以下经验公式求得：相对正方形端面气隙磁导（图3.9）端面G(3.14)δaaxx图3.9正方形端面气隙当时，由端面至x处的侧表面G(3.14a)通常取x=2～3δ。总磁导为式(3.14),(3.14a)之和。如果正方形端面对一个比端面大得多的平板，式(3.14)和（3.14a）计算值放大一倍。相对圆形端面气隙磁导（图3.10）端面G(3.15)xxdδ图3.10圆形端面气隙当时，由端面至x处的侧表面G(3.15a)一般x=(2～3)。两个相等的矩形端面间气隙磁导ab2m1δ4m2图3.11矩形磁极之间的边缘磁导用有限元以及电磁场相似原则分析磁场虽然准确，但使用的情况毕竟有限。比较实用的方法是可以估计磁通可能的路径，把整个磁场分成几个简单的几何形状的磁通管。然后用分析法求解，或用以下近似公式：（3.16）式中Abav—磁通管的平均截面积(米2);lbav—磁通管内力线的平均长度(m);Vb—磁通管的体积(m3);k—磁通管号码。整个气隙磁导是这些磁导总和。1－半圆柱G1δalbav2－半圆筒G2aδm3－1/4球G3δ4－1/4球壳G4mδ图3.12矩形端面分割的磁通管方形磁极图3.11是一个正方形磁极。将气隙磁通路径分成的几何形状如图3.11中1－半圆柱，2－半圆筒，3－1/4圆球，4－1/4圆球壳。分割的各磁通管如图3.12所示。以2号半圆筒为例，平均磁路长度lbav=π(δ+m)/2。截面积Abav=m×a。根据式(3.16)求得半圆筒磁导(3.17)式中m=(1~2)δ。当<3m时,(3.17a)同理得到其它分割的磁导半圆柱:(3.18)1/4球(3.19)1/4球壳(3.20)由式（3.12）得到端面间气隙磁导(3.21)总的气隙磁导为如果端面是a×b的矩形。取m=δ，则总磁导为(3.22)圆柱形磁极圆柱形磁极之间的气隙磁导也可用正方形的分割法计算，将边缘磁导分成圆环和圆环壳。如柱的直径为d，气隙长度为δ，用分割法求得圆柱总气隙磁导为(3.23)(C)气隙磁导粗略估算从图3.4和图3.7可见，在气隙附近磁位差很大，存在强烈的边缘磁通，向外扩展超过气隙的边界，有效的气隙截面积大于磁芯端面截面积，即等效的气隙截面积加大了。为避免过大的误差，计算时必须根据有效截面积，而不是极端面积。经验近似方法是加一个气隙长度到磁芯端面尺寸上。对于边长a和b矩形极，有效气隙面积Ae近似为：Ae=(a+δ)×(b+δ)(3.23a)对于直径为D园端面截面:(3.23b)当δ＝0.1D时，面积校正系数Ae/A为1.21。A－磁极端面面积。当校正系数低于20％以上的校正系数是有帮助的。较精确计算用前面经验公式。更加精确的校正需要用有限元求解，例4：磁极尺寸如图例5（a），磁芯中柱一边短3mm，即磁极气隙δ＝3mm。求中柱气隙磁导。解：从图例5（a）得到磁极的尺寸C=27mm，D=19.8mm，是一个矩形截面。中柱边缘磁通扩展宽度m和边柱与中柱之间的距离（m<(E-d)/2）有关,这里选取m=1.5δ.由式(3.22)得到气隙总磁导Gδ=0.3062×10-6(H)如果采用粗略估算公式（3.12）和（3.23a）计算(H)式中μ0＝4π×10－7H/m。上述两种方法计算结果相差小于10％。例5：图例5所示变压器磁芯为EE65。标称尺寸A=65mm，B=32.6mm，C=27mm，D=19.8mm，E=44.2mm，F=22.6mm。假定磁芯μ＝μ0×2000，线圈绕在中柱上，匝数N1=25匝，N2=5匝。初级加一个幅值为400V，脉冲宽度Ton=3.6μs。次级电流峰值为I2p=30A的矩形波。求：1.作出等效磁路图；2.计算磁芯最大磁感应Bmax；3.计算次级电压u2；4.计算初级电流最大幅值。如果在两半磁芯结合部有一个0.05mm的气隙，重复以上的计算。解：1.磁芯是由两半的一副组成。上下两半是对称的。平均磁路参考图3.7(a)：mm=2.76cm=l2=2.24cmR3R3CR2R1R2F=INFBR2R1R2DR3R3EA(b)图例5E型磁芯线圈中柱截面积边柱截面积=2.81cm2端部截面积=2.7cm2等效磁阻R1R2R3得到等效磁路中R1，R2，R3。等效磁路如图例5(b)所示。2.当输入电压为400V，持续时间Ton=3.5μS，由式（2.19）得到中柱中磁通中柱中最大磁通密度因中柱总磁通分成相等两部分通过边柱，边柱(端部)面积之和大于中柱面积，故磁通密度小于中柱。3.根据式（2.21）得到4.根据式（2.24）得到初级电流次级反射电流根据磁势平衡定律，由式(3.6)得到因此得到2.045+3.91+3.3)×104=0.127(A)输入峰值电流如果两半磁芯结合处有0.05mm气隙，仅在每个磁路中增加一个气隙磁阻，因气隙相对端面尺寸很小，可忽略边缘磁通，两边柱气隙磁阻相等Rδ2中柱磁阻Rδ1初级磁化电流磁芯仅50μm气隙，气隙磁阻比总磁芯磁阻还要大，磁化电流增加一倍多，磁芯气隙对磁化电流影响很大。初级总的输入电流3.4电感计算有电流流通，就建立磁场。根据式（2.1）电感系数的定义(3.24)这就是说，一段导线，一个线圈都存在电感，只是大小不同。在有些情况下必须考虑，而在有些情况下，则可以忽略。在开关电源中，电路的工作状态一直处于瞬时变化状态，某些在前面讨论的静态磁场和低频磁场可以忽略的问题，随着工作频率的提高，变得越来越重要，而且成为主要矛盾，因此，定量或至少定性分析电感量是十分必要的。从式（3.24）可见，一般计算载流导体的电感是十分困难的。除了线圈带有高磁导率磁路闭合磁芯，或磁路中很小气隙外，磁链ψ的计算十分复杂。一般采用经验公式。3.4.1导线和无磁芯线圈的电感计算－经验公式A.导线电感(1)一定长度的导线电感载流导线总是闭合的，包围的面积越大，磁链ψ越大，电感就越大。一段导线是总自感的一部分。导线长度为l(cm),直径为d(cm),磁导率为μ=μ0，则低频电感×10-7(H)（3.25）如果导线长度很短(l<100d)，在括号内增加一项d/2l。在很高频率(大于1GHz)时，导线电感趋于极限值×10-7(H)(3.25a)高频时，由于导线的集肤效应减少了磁场空间，使得磁场减少，电感量减少。一般用式（3.25）计算，中频时（数百kHz）最大有6％的误差，高频时只有2％误差。这在工程上完全允许的。例6：求一段直径为1mm，长50cm的铜连接线的低频电感量。解：根据公式(3.25)得到=0.546μH（2）单导线对大平面(地回路)之间电感(图3.13)单导线直径为d(m)，长度为l（m）,导线与平面之间平行，导线与平面间距离为h(m),其电感量×10-7(H)+×10-7(H)(3.26)如果d<>h时，以上公式可进一步简化为×10-7(H)(3.26c)（3）两根平行导线电感（图3.14）dda图3.14平行导线两根平行导线，电流从一根导线流进，从另一根流出。平行导线长为l(m)，导线直径为d(m),导线距离为a(m)。导线电感为×10-7(H)(3.27)例7：远程输出双铜导线长25米，导线直径为2.5mm,两线间距离15cm。求低频电感量。解：根据式(3.27)得到(4)单根同轴电缆的电感(图3.15)dD图3.15同轴电缆低频时单根同轴电缆的电感为×10-7(H)(3.28)式中D－外导体的内径；d－内导体的外径。l－导线长度。B．单匝空心线圈电感圆导线直径为d（m）的单匝直径为D（m）（图3.16）的线圈低频电感×10-7(H)(3.29)宽度为b(m)的铜带（厚度与宽度比可以忽略不计）的电感Dd图16单匝线圈×10-7(H)(3.30)(3)单匝规则形状线圈电感的一般公式为×10-7(H)(3.31)式中l－导线长度（m）；d－导线直径；C－与导线或线圈形状有关的系数。圆形：C=2.451；正方形：C=2.853；等边三角形：C=3.197。C．单层线圈的电感(1)圆导线做成的单层圆柱形线圈电感×10-7(H)(3.32)式中D－线圈的平均直径（m）；l－线圈的长度(m);k－与D/l有关的系数,可采用以下的拟合公式(3.32a)式中的系数a,b,c如表3.2，与实际误差在5%以下。表3.2k的拟合系数表D/labc<11.23173.7453.051～4.54.6630.38036.41474.5～1006.1350.0075.71例8：用1.6mm铜导线绕成1层圆柱形电感，共20匝。圆柱平均直径2cm，柱长4cm。求低频电感量。解：因D/l小于1，从k拟合系数表中得到，a=1.2317,b=3.745和c=3.05。由式（3.32a）求得＝1.232×ln0.5+0.5×3.744+3.05=4.08根据式（3.32）得到×10-7＝4.07×202×0.02×10-7=3.256μH(2)圆截面环形线圈电感（图3.17）圆截面直径为D1，环的平均直径为D2，匝数为N，低频时电感为D1D1图3.17圆截面环形线圈(H)(3.33)如果D1/D2小于0.1时，可近似表示为(H)(3.33a)(3)矩形截面的环形线圈电感（图3.18）(H)(3.34)式中h－环高度(m)；d－环内径(m)；D－环外径(m)。圆导线扁线圈低频电感（图3.19）导线绕成扁环形N匝线圈，环的平均直径为D，环宽w，低频电感量为hdD图3.18矩形截面环形线圈(H)(3.35)式中(3.35a)例9：紧贴在印刷电路板上的扁平线圈平均直径为5cm,环宽为1cm,共25匝。求低频电感。解：根据公式(3.35a)求得wD图3.19扁线圈=6.194×(ln5+0.92)=15.667由式(3.35)得到＝0.05×252×15.667×10－7＝48.96μH(5)扁平框形线圈的电感扁平长框的平均边长为l1和l2，平均对角线,匝数为N。导线线径d，匝间距离为D(图3.20)。低频时电感为l2l1Dd图3.20扁平框形线圈(3.36)式中A与d/D关系为(3.36a)B与匝数N的关系(3.36b)D.多层线圈长圆柱形线圈低频电感hlD图3.21长圆柱形线圈图3.21所示圆柱多层线圈的长度l大于等于线圈厚度h时，称为长圆柱线圈。低频时电感为×10－7(H)(3.37)式中N－总匝数；D－平均直径(m)；k－根据D/l由式(3.32a)决定；h－线圈厚度(m)；l－线圈长度(m)；C－与l/h有关的函数由下式决定：(3.37a)矩形截面的多层线圈电感（图3.22）×10－7(H)(3.38)式中N－匝数；l1，l2－矩形平均边长（m）；b，c－线圈的厚度和宽度(m)；－对角线长度(m)。E.互感导线之间互感两根平行导线之间的互感cbl1l2图3.22矩形截面线圈两根导线距离为D（cm），导线长为l(m)，设导线之间距离D远远大于导线的直径，它们之间的互感为×10－7(H)(3.39)两根一端相靠近并列的导线段之间的互感（图3.23）两根导线分别长l1（m）和l2(m),其互感为l1l2图3.23并列导线互感(H)(3.40)如果两导线接近端分开距离为D(m)，其互感为（H）(3.41)两根平行导线段之间的互感(图3.24)两根平行导线段长分别是l1(m)和l2(m)，分开距离是D(m)。他们之间的互感为×10-7（H）(3.42)例10：求两根相距1cm，长分别为50cm和45cm的导线的互感。D2l12l2图3.24平行线段解：在式(3.42)中先计算代入式(3.42)得到两导线之间的互感为=1.6×10－6（H）两对长l的对称导线之间的互感（图3.25）(3.43)线圈互感ⅡbaⅠ图3.25两对导线两个平行同轴的圆线圈之间的互感（图3.26）(H)(3.44)式中r1和r2－圆线圈半径(m)。ξ－与b/d有关的系数，线段d和b是两个圆周间最大和最小距离：br1dr2a图3.26同轴圆线圈(3.44a)式中拟合系数m、n和p由表3.3决定（误差在7％以内）。表3.3ζ拟合系数表范围0.01`0.10.1~0.50.5~0.99m57.6932.5918.04n79615352.6p4439135.434.6两个大小相等，平行并同轴边长l1×l2长方线圈，相距为D之间的互感实际上,长方框线圈电感是相对边互感之和。邻近边互感大，远离边互感小。又因相对两边电流方向相反，互感相减。两长方框互感(H)（3.45）如果是正方形，只要将式(3.45)中l1=l2＝l。式（3.45）可大大简化。同平面各边彼此平行长方线圈的互感（图3.27）(H)(3.46)若两长方形同心排列，则M15=M37,M26=M48,M17=M35,M28=M46,因此26157384图3.27同平面平行框互感(H)(3.47)式中各单项互感按式（3.24）计算。两个同轴同心的圆柱形单层线圈之间的互感(外线圈长)(图(3.28))两个长分别为2ll，2l2(l1