取矩阵的对角线元素 正交矩阵的对角线元素

取矩阵的对角线元素 正交矩阵的对角线元素 正交矩阵的对角线元素 L.米尔斯基，英国谢菲尔德大学 1. 下面出现的所有数字均被认为是实数，用 示 来 之中全部负数的个数.通过一点我们可以构造一个为 线性空间.一个正交矩阵被称为特正交矩阵或非正常正交阵，是依据它的行列式的值是+1还是-1.所有矩阵被认为是 矩阵. 以下引人关注的结论由A. Horn([1] 定理8)创立. 定理1 数字 是一个特正交矩阵的对角线元素当且仅当 的点的复包线上. 位于有偶数个负坐标的形如 以上定理说明的对象是从这个结果中获得一个有效的标 1 准，来判断给定的个数是否是特正交矩阵的对角线元素.实际上，我们有以下结论: 定理2 数字 要条件是 (1) 是一个特正交矩阵的对角线元素的充分必 (2) 其中被赋值为1或0是根据 Horn([1] 定理9)得出定理2是在当以及当N( 是偶数还是奇数. 全是非负的情况下， )是偶数时;此外，在所有情况下,条件1和条件2 的必要性包含在他的论据中([1] p.627).上面给出的证明结合了不同的理论. 我们注意到定理2的2个结果. 推论1 数字 要条件是 (1) 是一个特正交矩阵的对角线元素的充分必 2 (2) 其中被赋值为1或0是根据N )是偶数还是奇数 推论2 数字 是特正交矩阵的对角线元素，同时也是非 正常正交阵的对角线元素的充分必要条件是 (1) (2) 很明显，推论2由定理2和推论1得出，推论1由定理2 得出，凭借的事实是 是非正常正交阵的对角线元素当且仅当 是特正交矩阵的对角线元素. 我对他提供有用意见表示感谢. 2. 这里我们将需要一些初步的结果 引理1 对任意数字 ( ) ，我们有 3 最大数在所有 中产生, = ( ) (3) 最大数在所有 中产生, = 首先，我们 同样，根据可得 ?0或 赋值为+1或-1 这证明了(1).下面有 如果 4 满足(3),对于符合条件 ?0的，我们有 再次，根据 ?0或者是 赋值为+1或-1，那么(3)得到满足， 显然，()式得证. 推论2 令, . 位于点有 的复包线上当且仅当，对任何数字.我们 很明显的，这一结果表明了事实位于没有超平面可以把P 从所有入的细节，请参看([2] pp.23-24) 作为定理1和引理2的导出结果，我们有 的复包线上当且仅当 中分开.对这个结果的更深 推论3 数字 5 于任何数字(4) (5) 是一个特正交矩阵的对角线元素当且仅当对我们能找到数字 , 3. 现在我们对定理2进行证明.首先假设数字 一个特正交矩阵的对角线元素，条件(1)显然满足，用形如 (6) , 是 然后，满足(4)的合适的,关系(5)是有效的.由于=1，至少有一 个值.因此 (7) 其中数列 的最大数满足(6)式 如果如果 是奇数，或是偶数. 由推论1，这个最大数等于这个最大数等于 6 由(7)式可知，推论(2)是成立的.这证明了(1)和(正交矩阵的 对角线元素2)的必要性. 下面，假设(1)和(2)以给出.令显有: (8) 为任何值 由(1)我们明 现在，假设 的,我们有 (9) 是奇数， 是偶数. 对满足 当 ,都是奇数时，这种不平衡显然存在. , 是奇数时 利用(9)(1)和(2).我们推断，当 因此，有式子(8)可知，我们有满足任何值的(10) 7 但是，由引理1，选取适合条件(4)的数字这样(10)式的右边 就等于 是有可能的， 从而，选取同时满足(4)和(5)的数字所述 是特正交矩阵的对角线元素 参考文献 是可能的，如推论3 [1] A. Horn, Doubly stochastic matrices and the diagonal of a rotation matrix, Amer. J. Math. vol. 76, 1954, pp. 620-630. [2] T. Bonnesen and W.Fenchel,Theorie der konvexen Korper,Berlin,1934 百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网 92to.com,您的在线图馆 8