两个互质数相加减

两个互质数相加减 两个互质数相加减: 如果两个数不互质，如6和8，(有公约数2)那么无论怎么加或减，所得数都是偶数(2的倍数)。 如果两个数互质，那么只用这两个数相加减，就可以求出所有自然数。(1，2，3，4，„„„„) 以互质的两个数5和7为例: 算式: +5 +5 -7 +5 -7 +5 +5 -7 +5 -7 +5 -7 得数: 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7 0 (或者:) 算式: +7 -5 +7 -5 +7 -5 -5 +7 -5 +7 -5 -5 得数: 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 0 注意:加5则减7，加7则减5: 要么5前面总是“+”号，7前面总是“-”号; 或者7前面总是“+”号，5前面总是“-”号。 使得数保持在0,11之间。(11,5+7-1) “加5减7”，或者“加7减5”不重不漏地求出0到11.以上所写有什么用呢,下面举一个实例: 问题:有两只水桶，小水桶容量5升，大水桶容量7升。现在需要1升水。 解答:根据算式5+5-7+5-7,1: 1.用小水桶取5升水，倒入大水桶中; 此时大水桶里有水5升; 2.再用小水桶取5升水，倒入大水桶中，(使大水桶刚刚倒满); 此时大水桶里有水7升，小水桶里有水3升; 3.把大水桶里的水倒回水源，把小水桶里的水倒入大水桶中; 此时大水桶里有水3升，小水桶里有水0升; 4.用小水桶取5升水，再倒入大水桶中，(使大水桶刚刚倒满); 此时大水桶里有水7升，小水桶里有水1升; 完毕:此时小水桶里水已经得到1升水。 (注:小水桶取5升水，意思是“+5”， 大水桶里的7升水倒回水源，意思是“-7”;) 什么时候能够不用“减法”，只用“加法”就能解决问题呢, 24,5×2，7×2 30,5×6 36,24，12,24，5，7 25,5×5 31,5×2，7×3 37,25，12,25，5，7 26,5，7×3 32,5×5，7 38,26，12,26，5，7 27,5×4，7 33,5，7×4 „„„„ 28,7×4 34,5×4，7×2 29,5×3，7×2 35,5×7,7×5 看来凡是大于35(35,5×7)的数用5和7的“加法”，不用“减法”就能求出。 [包括35在内，往里数12个数，(12,5，7)即从24到35也可以只用“加法”求出。] 如需要32升水，用5升水桶取水5次，再用7升水桶取水1次即可; 如需要33升水，用5升水桶取水1次，再用7升水桶取水4次即可; 如需要34升水，用5升水桶取水4次，再用7升水桶取水2次即可; „„„„ 根据所有以上可以建立一个表格: 先建立5×表格:行数为7，列数为5，2;从上至下，从左到右填写自然数1、2、3„„35。 1 8 15 22 29 2 9 16 23 30 3 10 17 24 31 4 11 18 25 32 5 12 19 26 33 6 13 20 27 34 7 14 21 28 35 再建立7×表格:行数为5，列数为7，2;从上至下，从左到右填写自然数1、2、3„„35。 1 6 11 16 21 26 31 2 7 12 17 22 27 32 3 8 13 18 23 28 33 4 9 14 19 24 29 34 5 10 15 20 25 30 35 (注:左边两列用来填写乘数。) 然后再在两个表格中分别填写乘数:5×表格: 1 8 15 22 29 2 9 16 23 30 3 10 17 24 31 4 11 18 25 32 5 12 19 26 33 6 13 20 27 34 7 14 21 28 35 1 2 3 4 5 7×表格: 1 6 11 16 21 26 31 2 7 12 17 22 27 32 3 8 13 18 23 28 33 4 9 14 19 24 29 34 5 10 15 20 25 30 35 1 2 3 4 5 6 7 在7×表格中:(用粗笔) 下面1对应着5，就在5×表格中找到5，沿着这一行在最左边的空格里填1， 下面2对应着10，就在5×表格中找到5，沿着这一行在最左边的空格里填2， „„„„ 下面7对应着35，就在5×表格中找到35，沿着这一行在最左边的空格里填0;(而不是7) 按照相同的方法，在5×表格中:(用粗笔) 下面1对应着7，就在7×表格中找到7，沿着这一行在最左边的第二个空格里填1， 下面2对应着14，就在7×表格中找到14，沿着这一行在最左边的第二个空格里填2， „„„„ 下面5对应着35，就在7×表格中找到35，沿着这一行在最左边的第二个空格里填0.(而不是5) 于是得到:5×表格: 1 8 15 22 29 3 2 9 16 23 30 6 3 10 17 24 31 2 4 11 18 25 32 5 5 12 19 26 33 1 6 13 20 27 34 4 7 14 21 28 35 0 7×表格: 1 6 11 16 21 26 31 3 2 7 12 17 22 27 32 1 3 8 13 18 23 28 33 4 4 9 14 19 24 29 34 2 5 10 15 20 25 30 35 0 在5×表格中，两列乘数，每一行的一对乘数和都为7; 在7×表格中，两列乘数，每一行的一对乘数和都为5; 按照这个规律，把两个表格中的乘数都填完: 5×表格: 4 1 8 15 22 29 3 1 2 9 16 23 30 6 5 3 10 17 24 31 2 2 4 11 18 25 32 5 6 5 12 19 26 33 1 3 6 13 20 27 34 4 7 7 14 21 28 35 0 (最左边一列数字是“，3,4”，第二列数字是“，4,3”)[其中3，4,7] 7×表格: 2 1 6 11 16 21 26 31 3 4 2 7 12 17 22 27 32 1 1 3 8 13 18 23 28 33 4 3 4 9 14 19 24 29 34 2 5 5 10 15 20 25 30 35 0 (最左边一列数字是“，2,3”，第二列数字是“，3,2”)[其中2，3,5] 5×表格、7×表格中数字的最后一行，都用粗笔(描)写: 得到: 5×表格: 4 1 8 15 22 29 3 1 2 9 16 23 30 6 5 3 10 17 24 31 2 2 4 11 18 25 32 5 6 5 12 19 26 33 1 3 6 13 20 27 34 4 7 0 7 14 21 28 35 7×表格: 2 1 6 11 16 21 26 31 3 4 2 7 12 17 22 27 32 1 1 3 8 13 18 23 28 33 4 3 4 9 14 19 24 29 34 2 5 0 5 10 15 20 25 30 35 5×表格中最后一行7、14、21、28、35已是粗体字。在7×表中找到这些数字，也(描)写 为粗体，并且把这些数字右边的所有数字也(描)写为粗体;同样的， 7×表格中最后一行5、10、15、20、25、30、35已是粗体字。在5×表中找到这些数字，也(描) 写为粗体，并且把这些数字右边的所有数字也(描)写为粗体。 最终表格为:5×表格: 4 1 8 3 15 22 29 1 2 9 16 23 6 30 5 3 2 10 17 24 31 2 4 11 18 5 25 32 6 1 5 12 19 26 33 3 6 13 4 20 27 34 7 0 7 14 21 28 35 7×表格: 2 1 6 11 16 3 21 26 31 4 2 1 7 12 17 22 27 32 1 3 8 13 18 23 4 28 33 3 4 9 2 14 19 24 29 34 5 0 5 10 15 20 25 30 35 使用方法:从1到35这些数字，“细写体”用差求，“粗写体”用和求。 查一个数字，比如16(细体):在5×表格中查得6，1;在7×表格中查得2，3; 于是知道16,5×6,7×2;或者16,7×3,5×1.(16等于6个5相加，再减去2个7; 或者3个7相加，再减去1个5) 再比如34(粗体):在5×表格中查得4，3;在7×表格中查得3，2; 于是知道34,5×4，7×2.(34等于4个5相加，再加上2个7) 对于超过35(35,5×7)的数字Q，可以用以下公式: (Q,MN,1)?(M，N),K„„L(L是余数)， 其中M和N代表互质的两个数， Q,(K，1)(M，N)，{MN,(M，N)，L，1}。 { }内的数一定可以用M和N的加法求得。 比如查数字Q,69，(其中M,5，N,7) (69,5×7,1)?(5，7),2„„9 69,(2，1)(5，7)，{5×7,(5，7)，9，1}即69,3×(5，7)，33 查表知33,5×1，7×4，即69,3×(5，7)，5×1，7×4 最后得出答案:69,5×4，7×7(由于35,5×7,7×5)所以还有69,5×11，7×2 注:能建立互质数加减关系表的不一定都是质数，也可以是合数:如4和9. 现在建立两个互质数4和9的加减关系表: 4×表:行数为9，列数为4，2; 9×表:行数为4，列数为9，2; 表格内从上至下，从左到右填写数字1、2、3„„36.(36,4×9) 4×表: 1 10 19 28 2 11 20 29 3 12 21 30 4 13 22 31 5 14 23 32 6 15 24 33 7 16 25 34 8 17 26 35 9 18 27 36 9×表: 1 5 9 13 17 21 25 29 33 2 6 10 14 18 22 26 30 34 3 7 11 15 19 23 27 31 35 4 8 12 16 20 24 28 32 36 然后填写乘数: 4×表: 2 1 10 19 28 7 4 2 11 20 29 5 6 3 12 21 30 3 8 4 13 22 31 1 1 5 14 23 32 8 3 6 15 24 33 6 5 7 16 25 34 4 7 8 17 26 35 2 9 9 18 27 36 0 9×表: 3 1 5 9 13 17 21 25 29 33 1 2 2 6 10 14 18 22 26 30 34 2 1 3 7 11 15 19 23 27 31 35 3 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 0 最后(描)写数字区1到36的粗体字: 4×表: 2 1 10 19 7 28 4 2 11 5 20 29 6 3 3 12 21 30 8 1 4 13 22 31 1 5 14 23 8 32 3 6 15 6 24 33 5 7 4 16 25 34 7 2 8 17 26 35 9 0 9 18 27 36 9×表: 3 1 5 1 9 13 17 21 25 29 33 2 2 6 10 14 2 18 22 26 30 34 1 3 7 11 15 19 23 3 27 31 35 4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 注:以上不是只有5和7，或者4和9才能建立加减关系表; 只要两个数互质，(两个数都不等于1)就可以建立加减关系表。这是普遍的规律。 如果两个数M和N互质，(其中M?1，且N?1)那么“加M减N”，或者“加N减M”，[使得数保持在0,(M，N,1)之间]可以不重不漏地求出从0到(M，N,1). 如果不懂得什么是“互质数”，可以阅读以下内容: 约数，倍数:一个数A能被数B整除，那么A就是B的倍数，B就是A的约数(或叫因数)。 例如:10是5的倍数，5是10的约数; 12是4的倍数，4是12的约数; 公约数，公倍数: 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数;几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 例如10的约数有1、2、5、10;而15的约数有1、3、5、15.于是知道10和15的公约数有1和5. 互质数:公约数只有1的两个数，叫做互质数。