盈亏问题

盈亏问 1．钢笔与圆珠笔每支相差1元2角，小明带的钱买5支钢笔差1元5角，买8支圆珠笔多6角。问小明带了多少钱？ ：关键在于条件的转换，要么都转换成钢笔，要么都转换成圆珠笔， 解1：都转换成钢笔；买5支钢笔差15角，买8支钢笔差（12×8－6）=90角，这是双亏：分差是（8－5）=3支，总差是（90－15）=75角，就是说多买3支，就多差75角；这样就可求出1支钢笔多少钱；继而求出小明带了多少钱。 　 ［（12×8－6）－15］÷（8－5）＝75÷3＝25（角）--钢笔的价钱 　　 25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数 解2：都转换成圆珠笔；买5支圆珠笔多（12×5－15）45角，买8支圆珠笔多6角。 ［（12×5－15）－6］÷（8－5）＝39÷3＝13（角）--圆珠笔的价钱 　　 13×8＋6＝104＋6＝＝110（角）＝11（元）--小明带得钱数 2．某校到了一批新生，如果每个寝室安排8个人，要用33个寝室；如果每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，问这批学生可能有多少人？ 解答：关键在于条件的理解， 每个寝室安排8个人，要用33个寝室；因没说盈或亏， 我们只能认为至少有：（33－1）×8＋1＝257（人）；至多有：33×8＝264（人）； 每个寝室少安排2个人，寝室就要增加10个，也没说盈或亏， 我们也只能认为至少有：（33＋10－1）×（8－2）＋1＝253（人）；至多有：（33＋10）×（8－2）＝258（人）； 根据这两个条件可以得到人数在257与258之间。　　（至少取大数，至多取小数，） 3．有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加1条船，正好每条船坐6人；如果减少1条船，正好每条船坐9个人。问：这个班共有多少名同学？ 分析：条件可以这样理解，每条船坐6人，多6人；每条船坐9人，差9人。 解：（9＋6）÷（9－6）＝5（条）；5×6＋6＝36（人） 4．“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等。花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个。因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？ 分析：根据题意我们可知盒内的球的数量一定是2、3、5的倍数，假设1份球数是30个；原来各买一份要： 　　 30÷2＋30÷3＝15＋10＝25（元）；现在要（30＋30）÷5×2＝24（元）；即小明每买30＋30＝60个球，就可以少花1元钱，那么小明一共就买了4×60＝240个球。 解：假设1份球数是30个；4÷［（30÷2＋30÷3）－（30＋30）÷5×2］＝4（份） 　 （30＋30）×4＝240（个）　　　　　 答：小明共买了240个球。 5．一群猴子分桃子。如果每只猴子分5个，还剩下59个桃子；如果每只猴子分10个，就有3只猴子一个也没分着，还有一只猴子分到4个。这群猴子有多少只？它们分多少个桃子？ 分析与解 已知每只猴子分10个桃子，就有3只猴子一个也没分着，还有一只猴子只分到4个，也就是说，每只猴子分10个缺少10×3＋（10-4）=36（个）桃子；而每只猴子分5个，则还剩下59个桃子，这就转化为一般的盈亏问题了。 5.有若干个苹果和若干个梨。如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨。问：苹果和梨各有多少个？ 分析与解：第一种是1个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨。如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”若干个梨，那么问题就好解决了。将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨； 　 　 有梨15×2-4＝26（个）。 6．乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟。问：乐乐家离学校有多远？ 分析与解：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有50×8＝400（米）；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走（50＋10）×5＝300（米）。所以盈亏总额，即总的路程相差 　　400＋300＝700（米）。 　　两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为 　　700÷10＝70（分）， 　　也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟。所以乐乐家到学校的距离为 　　50×（2＋70＋8）＝4000（米）， 　　或 50×2＋60×（70——5）＝4000（米）。 7．王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。工作4天后，由于改进了技术，每天可多加工5个，结果提前3天完成。问：这批零件有多少个？ 分析与解：每天加工20个，如果一直加工到时间，那么将多加工20个零件；改进技术后，如果一直加工到计划时间，那么将多加工（20＋5）×3＝75（个）。盈亏总额为75——20＝55（个）。两种加工的速度比较，每天相差5个。根据盈亏问题的公式，从改进技术时到计划完工的时间是55÷5＝11（天），计划时间为11＋4＝15（天），这批零件共有20×（15——1）＝280（个）。  8.实验学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？ 解 每辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为： 　　（65+15）÷5=80÷5=16（辆）. 　　学生人数为： 　　60×（16-1）+15=60×15+15 　　=900+15=915（人）. 　　答：一共有16辆车，915名学生. 问题25.3 小胖的爷爷买回一筐梨，分给全家人.如果小胖和小妹二人每人分4个，其余每人分2个，还多出4个，如果小胖1人分6个，其余每人分4个，又差12个.问小胖家有多少人？这筐梨子有多少个？ 分析 这个问题稍微复杂一点，可以这样来想： 　　第一次分法是小胖、小妹各4个，其余每人2个，多余4个.假设小胖、小妹也分2个，那么会多多少个梨呢？很容易想，那就会多出：2×2+4=8（个）. 　　第二次分法是小胖一人得6个，其余每人4个，差12个，假如小胖也只分4个呢，那么就只差：12-2=10（个）. 　　这样一想，就变成和前面讲的例子一样了. 解 小胖家的人数为： 　　［2×2+4+（12-2）］÷2=（8+10）÷2=9（人）. 　　梨子数为： 　　4×2+2×（9-2）+4=8+14+4=26（个）， 　　或者 6+4×（9-1）-12=6+32-12=26（个）. 　　答：小胖家有9人，这筐梨有26个. 问题25.4 用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深. 分析 这还是一个盈亏问题，为了帮助思考，我们画一个示意图，见图25-1.从图中看出，当绳子长一定，井深度一定，绳子折2折比井深多5米，实际意思是绳子长度是井深的2倍多10米［即5×2=10（米）］. 　　绳子折3折，差4米，就是说绳子的长是井深的3倍差12米［即4×3=12（米）］，由此我们就很容易计算出绳子长和井深了. 解 井的深度为： 　　（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）. 　　绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米）， 　　或者 （22-4）×3=18×3=54（米）. 　　答：井深22米，绳长54米. 问题25.5 食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元.已知牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？ 分析 这里有两种肉，思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，买牛肉18千克差4元，而买猪肉20千克还多2元，说明牛肉贵一些.每千克贵8角，如果18千克牛肉换成18千克猪肉，就要少花 　　8×18=144（角）=14元4角. 　　这样就会多出 14元4角-4元=10元4角. 　　因此问题就可变为： 　　“小李买猪肉18千克多余10元4角，买20千克多余2元，求猪肉单价和钱数.” 　　虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的差÷两次千克量差. 解 由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵8角.18千克牛肉比18千克猪肉贵 　　8×18=144（角）=14元4角. 　　因此小李若买18千克猪肉就会多余 　　14元4角-4元=10元4角. 　　由已知小李买20干克猪肉多余2元，所以猪肉每千克价格为 　　（104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角） 　　=4元2角. 　　所以牛肉每千克价格为： 　　4元2角+8角=5元. 　　小李带的钱为：4.2×20+2=86（元）. 　　答：猪肉每千克4元2角，牛肉每千克5元.小李带的钱为86元. 问题25.6 王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？ 分析 和上例一样，把苹果换为桔子，就容易思考多了. 解 因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）. 　　苹果个数为13×7-5=86（个）. 　　桔子数为 13×3+4=43（个）. 　　答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.